Analysis: Grenzwerte

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Grenzwerte von Folgen reeller Zahlen[Bearbeiten]

Definition: Sei eine Folge reeller Zahlen. Dann heißt Grenzwert der Folge genau dann, wenn mit .

Anschaulich bedeutet dies, dass zu einem beliebig (klein) vorgegebenen positiven "Abstand" ein Index existiert (der natürlich von abhängen darf), so dass alle Folgenglieder mit höherem Index einen kleineren Abstand zu haben als .

Schreibweise: .

Beispiel: Sei für . Behauptung: ist Grenzwert der Folge. Dazu müssen wir zeigen, dass kleiner ist, als jedes vorgegebene , wenn nur der Index groß genug gewählt wird. Wegen reicht es aus, zu wählen (die Existenz einer natürlichen Zahl größer als ist klar nach dem Archimedischen Axiom). Dann folgt für die Ungleichung und damit ist gezeigt, dass Grenzwert der Folge ist.