Analysis: Grenzwerte

Grenzwerte von Folgen reeller Zahlen

Definition: Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen. Dann heißt $g\in \mathbb {R}$ Grenzwert der Folge genau dann, wenn $\forall \;\epsilon >0\;\exists \;n_{0}\in \mathbb {N}$ mit $|a_{n}-g|<\epsilon \;\forall \;n>n_{0}$.

Anschaulich bedeutet dies, dass zu einem beliebig (klein) vorgegebenen positiven "Abstand" $\epsilon$ ein Index $n_{0}$ existiert (der natürlich von $\epsilon$ abhängen darf), so dass alle Folgenglieder mit höherem Index einen kleineren Abstand zu $g$ haben als $\epsilon$.

Schreibweise: $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=g$.

Beispiel: Sei $a_{n}:={\frac {1}{n}}$ für $n\in \mathbb {N}$. Behauptung: $g:=0$ ist Grenzwert der Folge. Dazu müssen wir zeigen, dass $|a_{n}-g|$ kleiner ist, als jedes vorgegebene $\epsilon >0$, wenn nur der Index $n$ groß genug gewählt wird. Wegen $|a_{n}-g|=|a_{n}|={\frac {1}{n}}$ reicht es aus, $n_{0}>{\frac {1}{\epsilon }}$ zu wählen (die Existenz einer natürlichen Zahl größer als ${\frac {1}{\epsilon }}$ ist klar nach dem Archimedischen Axiom). Dann folgt für $n>n_{0}$ die Ungleichung $a_{n}={\frac {1}{n}}<{\frac {1}{n_{0}}}<\epsilon$ und damit ist gezeigt, dass $g=0$ Grenzwert der Folge ist.