Astronomische Berechnungen für Amateure/ Himmelsmechanik/ Keplergesetze

Tycho Brahe war der praktisch begabte Beobachter. Als es darum ging, das Datenmaterial mit fundierten mathematischen Kenntnissen auszuwerten, benötigte er Hilfe. Das war einer der Gründe, warum er Johannes Kepler nach Prag einlud. Nach Tychos Tod brauchte Kepler mehrere Jahre, bis er schliesslich anhand der Marsdaten die Zusammenhänge fand. Das Resultat wird heute als die drei Keplergesetze zitiert:

 1. Keplergesetz:
 Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem 
 Brennpunkt die Sonne steht.
 
 2. Keplergesetz:
 Der von der Sonne zum Planeten gezogene Vektor überstreicht 
 in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
 
 3. Keplergesetz:
 Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie 
 die dritten Potenzen ihrer grossen Bahnhalbachsen:
 
  $T_{1}^{2}\;:\;T_{2}^{2}\quad =\quad a_{1}^{3}\;:\;a_{2}^{3}$ 

      $\Leftrightarrow \qquad T_{1}^{2}\;:\;a_{1}^{3}\quad =\quad T_{2}^{2}\;:\;a_{2}^{3}\quad =\quad {\text{konst}}$

Die Bedeutung der drei Gesetze:

Das erste Keplergesetz klärt die Frage der Bahnform. Dabei bricht es mit zwei Lehrmeinungen des Ptolemaeus: das keplersche Weltbild ist heliozentrisch, und es bricht mit der Tradition, dass himmlische Bewegungen „perfekt“ im theologischen Sinne, also kreisförmig sein müssen. Faktisch ist aber die Abweichung der Bahnform vom Kreis bei den grossen Planeten gering, hingegen ist die „Verschiebung“ der Sonne aus dem Mittelpunkt der Bahn deutlich. In der ersten Näherung kann man die Planetenbahnen als exzentrische Kreise beschreiben^[1].

Beispiel: Bei der Erde beträgt der Unterschied zwischen grosser und kleiner Halbachse nur knapp 21 000 km, aber die Sonne ist um rund 2.5 Millionen km aus dem Zentrum der Bahn verschoben. Die Erde hat im Perihel, dem sonnennächsten Punkt ihrer Bahn – den sie anfangs Januar erreicht – einen Abstand von rund 147.1 Millionen km zur Sonne. Im Aphel, dem sonnenfernsten Punkt ihrer Bahn – den sie anfangs Juli erreicht – hat die Erde einen Abstand von rund 152.1 Millionen km zur Sonne^[2].

Das zweite Keplergesetz klärt die Art der Bewegung: in Perihelnähe bewegt sich ein Planet schneller als in Aphelnähe. Auf die Erde übertragen bedeutet dies: das Winterhalbjahr der Nordhalbkugel, das vom 23. September bis 21. März dauert, ist kürzer als das Sommerhalbjahr. Der Unterschied macht rund 7 Tage aus.

Das dritte Keplergesetz kann in seiner Bedeutung nicht hoch genug eingeschätzt werden. Die Umlaufzeiten können verhältnismässig leicht bestimmt werden. Die Abstände sind hingegen nur mit grossem Aufwand zu bestimmen. Das dritte Keplergesetz bietet nun aber die Möglichkeit, wenigstens das Verhältnis der Bahnhalbachsen allein aus den Umlaufzeiten zu berechnen. Dazu setzt man die grosse Bahnhalbachse der Erdbahn zu a = 1 AE. Vor diesem Hintergrund erklären sich die grossen Anstrengungen, eine Distanz im Sonnensystem durch Triangulation möglichst genau zu bestimmen. Dadurch wird dann der absolute Massstab im Sonnensystem festgelegt.

Nach der Erfindung des Fernrohrs durch Hans Lipper[s]hey (um 1570 – 1619) und seine Verbesserung durch Galilei und Kepler wurden nach und nach bei verschiedenen Planeten Mondsysteme entdeckt. Die Beobachtungen zeigten, dass die drei Keplergesetze auch für deren Bewegung gelten. Anstelle von „Sonne“ steht einfach „der umlaufene Planet“. Ausserdem hat die Konstante des 3. Keplergesetzes für jeden Planeten mit seinem Mondsystem einen anderen Wert.

Übungen

Welchen Wert hat die Konstante des dritten Keplergesetzes für das Sonnensystem? Überprüfen Sie den Wert anhand der Daten für Merkur, Venus, Erde und Mars aus dem Anhang.

Die Titius-Bode'sche Reihe sagte im 18. Jahrhundert im Abstand von rund 2.8 AU einen Planeten voraus – welche Umlaufzeit müsste dieser Planet haben? Welcher Himmelskörper erfüllt die Bedingungen?

Der Zwergplanet Eris aus der Gruppe der Plutoiden hat eine Umlaufzeit von 556.97 a um die Sonne. Wie gross ist die grosse Halbachse ihrer Umlaufbahn?

Zeigen Sie, dass für die vier Galileischen Monde des Jupiters das dritte Keplergesetz erfüllt ist. Welchen Wert hat die Konstante?

Welchen Abstand hat ein geostationärer Satellit vom Erdzentrum?

Nachweise:

↑ Das gilt aber nicht für die Mehrzahl der Kometen und Asteroiden.
↑ Der Abstand Erde – Sonne kann offensichtlich nicht die Ursache der Jahreszeiten sein, wenn ihr Abstand zur Sonne dann am kleinsten ist, wenn auf der Nordhalbkugel die kälteste Jahreszeit herrscht.

[1] Das gilt aber nicht für die Mehrzahl der Kometen und Asteroiden.

[2] Der Abstand Erde – Sonne kann offensichtlich nicht die Ursache der Jahreszeiten sein, wenn ihr Abstand zur Sonne dann am kleinsten ist, wenn auf der Nordhalbkugel die kälteste Jahreszeit herrscht.

[1]

[2]