Astronomische Berechnungen für Amateure/ Himmelsmechanik/ Sonne

Die VSOP87-Theorie gibt – mit Ausnahme der Serie E – keine Entwicklung für die Koordinaten der Sonne bezogen auf ein Koordinatensystem, das fest mit der Erde verbunden ist. Dies ist auch nicht nötig: ist für einen bestimmten Zeitpunkt t der Positionsvektor r _SE von der Sonne zur Erde bekannt, so ist die Position der Sonne im erdbezogenen Koordinatensystem durch r _ES = –r _SE gegeben. Allerdings ist sorgfältig darauf zu achten, welches Koordinatensystem gemeint ist. r _SE wird in der Regel entweder auf den Schwerpunkt des Erd-Mond-Systems (Baryzentrum) oder aber auf den Erdmittelpunkt (Geozentrum) bezogen, während wir für Beobachtungen in der Regel den Beobachtungsort auf der Erdoberfläche benötigen (Topozentrum). Im weiteren ist darauf zu achten, für welches Äquinoktium die Koordinatensysteme festgelegt sind – sie müssen darin übereinstimmen. In einem späteren Kapitel werden wir zeigen, wie auf diese Weise Sonnenephemeriden berechnet werden können.

Die Erdbahn – und damit nach dem eben Gesagten auch die scheinbare Sonnenbahn – ist durch eine kleine Exzentrizität gekennzeichnet: e beträgt nur 0.0167. In diesem Fall ist es nicht nötig, die Keplergleichung zu lösen, um die wahre Anomalie v bestimmen zu können. Durch eine Näherungsformel kann sie direkt berechnet werden (auf der Basis einer Reihenentwicklung): ^[1]

{\begin{aligned}v\;-\;M\quad \equiv \quad C\quad &=\quad \left(2e\;-\;{\frac {e^{3}}{4}}\;+\;{\frac {5}{96}}e^{5}\right)\cdot \sin M\quad \\&+\quad \left({\frac {5}{4}}\;e^{2}\;-\;{\frac {11}{24}}\;e^{4}\right)\cdot \sin(2M)\qquad \\&+\;\left({\frac {13}{12}}\;e^{3}\;-\;{\frac {43}{64}}\;e^{5}\right)\cdot \sin(3M)\quad \\&+\quad {\frac {103}{96}}\;e^{4}\cdot \sin(4M)\quad +\quad {\frac {1097}{960}}\;e^{5}\cdot \sin(5M)\end{aligned}}

Diese Gleichung für die Grösse C ist bekannt unter dem Namen Mittelpunktsgleichung, das Ergebnis ist im Bogenmass. Die Grösse C gibt an, wieviel ein Planet auf einer Keplerbahn einem fiktiven Himmelskörper vorauseilt oder hinterher rennt, der die Sonne auf einer Kreisbahn gleichmässig umläuft.

Die Bewegung der mittleren Planeten kann statt durch $\scriptstyle M$ auch durch die mittlere Länge $\scriptstyle L$ beschrieben werden. Sie wird, wie die ekliptikale Länge $\scriptstyle \Lambda$ der Erde, ab dem Frühlngspunkt gemessen. Für die Erde gilt deshalb wegen $\scriptstyle C\equiv v-M$ auch

C=\Lambda -L

.

Für den Bahnradius r existiert ebenfalls eine Reihenentwicklung:

{\begin{aligned}{\frac {r}{a}}\quad &=\quad 1\quad +\quad {\frac {e^{2}}{2}}\quad -\quad \left(e\;-\;{\frac {3}{8}}\;e^{3}\;+\;{\frac {5}{192}}\;e^{5}\right)\;\cos M\quad \\&-\quad \left({\frac {e^{2}}{2}}\;-\;{\frac {e^{4}}{3}}\right)\;\cos(2M)\;\\&-\;\left({\frac {3}{8}}\;e^{3}\;-\;{\frac {45}{128}}\;e^{5}\right)\;\cos(3M)\quad \\&-\quad {\frac {e^{4}}{3}}\;\cos(4M)\quad -\quad {\frac {125}{384}}\;e^{5}\;\cos(5M)\end{aligned}}

Ist die Länge des Perigäums der Sonnenbahn in der Ekliptik bekannt, lassen sich damit zumindest genäherte Sonnenpositionen berechnen.

Quellen

Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung, 2. Auflage 2000, Heidelberg; Berlin: Spektrum, Akad. Verlag, (Spektrum- Hochschultaschenbuch), ISBN 3-8274-0574-2, S. 130
Oliver Montenbruck: Grundlagen der Ephemeridenrechnung, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 7. Auflage 2005, S. 66

Anmerkungen

↑ Die Näherungsformel geht auf eine aus der Bahndynamik des Keplerproblems herleitbare nichtlineare Differenzialgleichung der Form $\scriptstyle {\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}M}}=f(v,e)$ zurück. Deren (nicht analytisch darstellbare) Lösung $\scriptstyle v(M,e)$ lässt sich in einer Fourierreihe entwickeln, aus der unmittelbar die angegebene Fourierreihe von $\scriptstyle C$ folgt.

[1] Die Näherungsformel geht auf eine aus der Bahndynamik des Keplerproblems herleitbare nichtlineare Differenzialgleichung der Form $\scriptstyle {\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}M}}=f(v,e)$ zurück. Deren (nicht analytisch darstellbare) Lösung $\scriptstyle v(M,e)$ lässt sich in einer Fourierreihe entwickeln, aus der unmittelbar die angegebene Fourierreihe von $\scriptstyle C$ folgt.

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