Astronomische Berechnungen für Amateure/ Himmelsmechanik/ n-Körperproblem

Im Kapitel „Zweikörperproblem“ haben wir die Bewegung von Sonne und Planet unter der gegenseitigen Schwerkraftanziehung behandelt. Dabei haben wir ausser Betracht gelassen, dass auf diese beiden Körper weitere Kräfte wirken: die übrigen Planeten und Körper des Sonnensystems üben ebenfalls eine Anziehungskraft aus. Diese Kräfte sind sehr viel kleiner als die Anziehungskraft der Sonne, aber sie verschwinden nicht.

Beispiel:

Wir vergleichen die durch die Planeten am Ort der Erde hervorgerufene Beschleunigung mit derjenigen der Sonne. Letztere ist für die elliptische Bewegung der Erde verantwortlich. Wir nehmen an, dass die Planeten in der erdnächsten Position stehen. In der ersten Spalte der folgenden Tabelle stehen die jeweiligen Himmelskörper. In der zweiten Spalte die Distanzen in der Einheit m – für die Sonne zur Erde, für alle übrigen die mittlere Entfernung zur Sonne. In der dritten Spalte die kürzeste Entfernung Planet – Erde. In der vierten Spalte die Beschleunigung in m/s², die am Ort der Erde hervorgerufen wird:

$F\quad =\quad m\cdot a\quad =\quad G\cdot {\frac {m\cdot M}{r^{2}}}\qquad \Leftrightarrow \qquad a\quad =\quad {\frac {G\cdot M}{r^{2}}}$

In der letzten Spalte ist die relative Grösse der Fallbeschleunigung bezogen auf den von der Sonne verursachten Wert, dazu in Klammern der Rang gegeben. Man sieht: der Jupiter hat den grössten Einfluss, aber die von ihm verursachte Beschleunigung beträgt nur 0.0054% der von der Sonne verursachten Beschleunigung.

Himmelskörper	Distanz		Beschleunigung
Sonne	1.496 ∙ 1011	–	5.93 ∙ 10–03	–
Merkur	5.79 ∙ 1010	9.17 ∙ 1010	2.62 ∙ 10–09	4.41 ∙ 10–07 (5)
Venus	1.08 ∙ 1011	4.14 ∙ 1010	1.89 ∙ 10–07	3.19 ∙ 10–05 (2)
Mars	2.28 ∙ 1011	7.84 ∙ 1010	6.97 ∙ 10–09	1.17 ∙ 10–06 (4)
Jupiter	7.78 ∙ 1011	6.29 ∙ 1011	3.21 ∙ 10–07	5.40 ∙ 10–05 (1)
Saturn	1.43 ∙ 1012	1.28 ∙ 1012	2.30 ∙ 10–08	3.88 ∙ 10–06 (3)
Uranus	2.87 ∙ 1012	2.72 ∙ 1012	7.81 ∙ 10–10	1.32 ∙ 10–07 (6)
Neptun	4.50 ∙ 1012	4.35 ∙ 1012	3.61 ∙ 10–10	6.07 ∙ 10–08 (7)

Die Aufgabe, diejenigen Bahnen zu berechnen, die n Körper unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Gravitationsanziehung beschreiben, nennt man in der Himmelsmechanik das n-Körperproblem. Das Zweikörperproblem ist ein Spezialfall und gleichzeitig der einzige Fall, der allgemein lösbar ist. Ist n ≥ 3, dann ist das Problem analytisch nur lösbar, wenn einschränkende Bedingungen festgelegt werden. Im allgemeinen aber ist das Problem nur numerisch lösbar. Dafür stehen zwei grundsätzlich verschiedene Verfahren zur Verfügung:

• Numerische Integration

• Reihenentwicklungen

Numerische Integration heisst in diesem Zusammenhang: man kennt z.B. zu einem bestimmten Zeitpunkt T₀ durch genaueste Beobachtung die heliozentrischen kartesischen Ekliptikkoordinaten x, y, z und die entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten v_x, v_y und v_z. Ausgehend von diesen Daten werden nun schrittweise neue Werte für die Position x = (x, y, z) und die Geschwindigkeit ${\boldsymbol {v}}=(v_{x},v_{y},v_{z})={\boldsymbol {\dot {x}}}=({\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})$ berechnet, wobei das Vorgehen ähnlich demjenigen ist, das wir im vorangehenden Kapitel für den Beweis des Flächensatzes verwendet haben. Die bekannteste Ephemeride, die numerisch integriert wird, ist die vom Jet Propulsion Laboratory JPL in Pasadena (CA) zur Verfügung gestellte Ephemeride DExxx (aktuellste Nummer DE405/406). Sie gibt Ephemeriden für die Zeit von 1600 bis 2200. Für den Amateur von Interesse dürfte sein, aus den Grunddaten auf dem Server der NASA mit dem Programm HORIZONS gezielt einzelne Ephemeriden berechnen zu lassen.

Bei der Reihenentwicklung geht es darum, eine Lösung in der Form einer unendlichen Reihe zu finden. In der Praxis muss die Reihe zwar nach einer endlichen Zahl Gliedern abgebrochen werden, doch sind einige hundert Terme, die zu berechnen sind, keineswegs die Ausnahme. Der bekannteste Vertreter einer solchen Lösung ist die von Bretagnon entwickelte Theorie VSOP87, die wir im nächsten Kapitel vorstellen wollen. Allein die Datei für die heliozentrische Länge und Breite sowie den Abstand des Planeten zur Sonne enthält für den Saturn mehr als 5 500 Summanden!

Nachweis: