Astronomische Berechnungen für Amateure/ Lösungen zu den Übungen/ Kap Kalender

Definitionen

• Ein Tag umfasst 24 Stunden oder 24 ∙ 60 Minuten = 1440 Minuten oder 24 ∙ 3600 Sekunden = 86 400 Sekunden. Ein Kalenderjahr umfasst 365 Tage bzw. 365 ∙ 1440 Minuten = 525 600 Minuten bzw. 365 ∙ 86 400 Sekunden = 31 536 000 Sekunden.
• Nach Abzug von Ferien und Feiertagsausfällen bleiben ca. 46 Arbeitswochen übrig, was einer Sollarbeitszeit von 46 ∙ 40 Stunden = 1840 Stunden entspricht. Alternative Lösung: ein Jahr hat 365 Tage; 4 ∙ 5 Tage = 20 Tage fallen wegen Ferien, 2 ∙ 5 Tage = 10 Tage wegen Feiertagen, 2 ∙ 52 Tage = 104 Tage wegen Wochenenden weg. Es verbleiben (365 – 20 – 10 – 104) Tage = 231 Tage für die Arbeit. Bei einer täglichen Arbeitszeit von 8 Stunden entspricht dies einer jährlichen Sollarbeitszeit von 1848 Stunden (Lösungsansatz von heuler06).
• Ein Monat hat die durchschnittliche Länge 365 Tage : 12 = 30.41667 Tage.
• Zuerst überprüfen wir, welche Bedingungen für ein 53-Wochen-Jahr überhaupt erfüllt sein müssen, danach prüfen wir, welches der kürzeste Abstand zwischen zwei solchen Jahren ist. Ein Gemeinjahr zu 365 Tagen umfasst 52 Sieben-Tage-Sequenzen plus 1 Resttag, ein Schaltjahr zu 366 Tagen umfasst 52 Sieben-Tage-Sequenzen plus 2 Resttage. Darum fällt nach einem Gemeinjahr der Neujahrtag auf den nächsten Wochentag, nach einem Schaltjahr auf den übernächsten Wochentag. So fiel z. B. Neujahr 2007 auf einen Montag, der Neujahrtag 2008 auf einen Dienstag, und der Neujahrtag 2009 auf einen Donnerstag. Damit ein Jahr 53 Wochen haben kann, muss es sich in der ersten und letzten Woche je 3 Tage vom vorangehenden bzw. folgenden Jahr borgen (Gemeinjahr) bzw. 2 oder 3 vom vorangehenden und 3 oder 2 vom nachfolgenden (Schaltjahr). Dieser Fall tritt ein, wenn in einem Gemeinjahr der 1. Januar auf einen Donnerstag fällt, bzw. wenn in einem Schaltjahr der 1. Januar auf einen Mittwoch oder Donnerstag fällt. Es ist also nicht möglich, dass die Bedingungen in zwei aufeinander folgenden Jahren erfüllt sind. Es braucht dazwischen 6 Jahre, es sei denn, der 1. Januar fällt in einem Schaltjahr auf den Donnerstag. Dann ist bereits 5 Jahre später wieder ein 53-Wochen-Jahr fällig. Beispiel: 2004/2009.

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Julianisches Datum

• Die folgende Tabelle gibt die gewünschten Daten

Julianische Daten für die Jahre 2008 und 2009

	2008	2009
0. Januar	2 454 465.5	2 454 831.5
0. Februar	2 454 496.5	2 454 862.5
0. März	2 454 525.5	2 454 890.5
0. April	2 454 556.5	2 454 921.5
0. Mai	2 454 586.5	2 454 951.5
0. Juni	2 454 617.5	2 454 982.5
0. Juli	2 454 647.5	2 455 012.5
0. Aug.	2 454 678.5	2 455 043.5
0. September	2 454 709.5	2 455 074.5
0. Oktober	2 454 739.5	2 455 104.5
0. November	2 454 770.5	2 455 135.5
0. Dezemeber	2 454 800.5	2 455 165.5

• Für die Lösung dieser Aufgabe gibt es viele Wege. Der einfachste Weg ist zugleich derjenige, von dem Sie erst im Kapitel „Kalenderrechnungen“ die Rechenvorschriften kennen lernen: wie man aus einem gegebenen Kalenderdatum das Julianische Datum berechnet und umgekehrt. Zum Kalenderdatum 1. Januar 1970 0 h UT bestimmen wir JD 2 440 587.5. Nach 2 147 583 647 Sekunden sind 24 855 Tage vergangen, Rest 11 647 Sekunden, was 3 h 14 Minuten 7 Sekunden entspricht. Folglich entspricht dem letzten, korrekt darstellbaren Datum JD = 2 440 587.5 + 24 855 = 2 465 442.5 um 3:14:07 h UT bzw. 19. Januar 2038 3:14:07 h UT. Mit der Addition der nächsten Sekunde läuft der Zähler über und der „Unix-Crash“ findet statt („Jahr-2038-Problem“).

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Julianischer und gregorianischer Kalender

• Der Unterschied zwischen julianischem und astronomischem Jahr beträgt 0.0078 Tage. Dieser Unterschied summiert sich nach 128.2 Jahren zu einem Tag. Zwischen Caesars und Gregors Kalenderreform liegen 1627 Jahre. In dieser Zeit hat sich der Fehler auf 1627 : 128.2 = 12.7 oder knapp 13 Tage aufsummiert. Zu Caesars Zeiten fand also das Frühlingsäquinoktium am 24. März statt, da es im Mittelalter auf den 11. März zurück gefallen war. Zwischen Dionysius' Festlegung und Gregors Reform liegen 1057 Jahre. In dieser Zeit hat sich der Fehler auf 8.2 Tage aufsummiert, dh. das Frühlingsäquinoktium fand zu Dionysius' Zeiten am 19. März statt. Am 21. März oder 10 Tage später als im Mittelalter fand das Frühlingsäquinoktium 10 ∙ 128.2 = 1282 Jahre vor Gregors Reform statt, dh. im Jahre 300 bzw. im 4. Jahrhundert. Schlussfolgerung: im Jahre 325 fand das Konzil zu Nicäa statt. Damals wurde die Osterregel festgelegt. Dionysius hat 200 Jahre später die Unsicherheiten dieser Regel beseitigt und als Frühlingsanfang fest den 21. März bestimmt, ohne zu prüfen, ob diese Festlegung mit der astronomischen Realität übereinstimmt: die Differenz betrug zu seiner Zeit schon 1.8 Tage oder knapp 2 Tage.
• Für die Jahre nach der Zeitenwende lässt sich über die Teilbarkeit durch 4 entscheiden, ob ein Jahr Schaltjahr ist oder nicht. Für die Jahre vor der Zeitenwende treffen wir zwei Abmachungen: wir verwenden die Schreibweise nach ISO 8601, und wir setzen die Regel, dass alle 4 Jahre ein Schaltjahr ist, über die Zeitenwende hinaus rückwärts fort. Dann gilt für die Frage nach einem Schaltjahr:

Jahr	2000	1968	1914	1900	1812	1456	900
jul. Kal.	JA	JA	nein	JA	JA	JA	JA
greg. Kal.	JA	JA	nein	nein	JA	JA	nein

Jahr	800	4	1 v. Chr.	44 v. Chr.	65 v. Chr.	100 v. Chr.	401 v. Chr.	701 v. Chr.	4713 v. Chr.
			0	–43	–64	–99	–400	–700	–4712
jul. Kal.	JA	JA	JA	nein	JA	nein	JA	JA	JA
greg. Kal.	JA	JA	JA	nein	JA	nein	JA	nein	JA

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Astronomische Grundlagen

• Die Ergebnisse finden Sie in der folgenden Tabelle:

Die verschiedenen Perioden von Erde, Mond und Sonne

Typ	Erdrotation	Mondumlauf	Erdumlauf
siderisch	23 h 56 min 4.099 sec	27 d 07 h 43 min 11 sec	365 d 06 h 09 min 10 sec
synodisch	24 h 00 min 0.000 sec	29 d 12 h 44 min 03 sec	365 d 05 h 48 min 46 sec
tropisch	23 h 56 min 4.091 sec	27 d 07 h 43 min 05 sec	365 d 05 h 48 min 46 sec
anomalistisch	–	27 d 13 h 18 min 33 sec	365 d 06 h 13 min 53 sec
drakonitisch	–	27 d 05 h 05 min 36 sec	–

• Im Laufe eines Jahres erhöht sich dieser Winkel auf total 360°, folglich beträgt der Winkel pro Tag 360° / 365.242199 d = 0.986°/d ≈ 1°/d (etwas weniger als 2 Sonnendurchmesser).

• Im Laufe eines siderischen Monats bzw. eines siderischen Jahres wächst der Winkel von 0° auf 360°, folglich gilt für den Mond: 360° / 27.32166 d = 13.2°/d = 0.55°/h, und für die Sonne: 360° / 365.256366 d = 0.986°/d = 0.04°/h. Überschlagsmässig bedeutet dies: der Mond bewegt sich im Laufe eines Tages um etwas weniger als 15° unter den Sternen weiter, sein Auf- oder Untergang verspätet sich im Mittel also um etwas weniger als 1 h (15° würde genau 1 h entsprechen). In 1 h bewegt sich der Mond unter den Sternen um etwas mehr als seinen eigenen Durchmesser (entspricht etwa ½°) weiter.

• Bezeichnen wir die siderische Rotationsperiode der Erde mit T, die synodische Rotationsperiode mit S, und die siderische Erdumlaufszeit mit J. Dann gilt: während t Tagen wächst der von der Erde überstrichene Rotationswinkel um $t\;\cdot \;{\frac {360^{\circ }}{T}}$. Dieser Winkel setzt sich zusammen aus einer Drehung relativ zur Sonne (synodische Rotation), berechnet zu $t\;\cdot \;{\frac {360^{\circ }}{S}}$ und dem in dieser Zeit auf der Bahn um die Erde überstrichenen Winkel von $t\;\cdot \;{\frac {360^{\circ }}{J}}$, als Formel: $t\;\cdot \;{\frac {360^{\circ }}{T}}\;=\;t\;\cdot \;{\frac {360^{\circ }}{S}}+t\;\cdot \;{\frac {360^{\circ }}{J}}$, woraus wir durch Kürzen erhalten: ${\frac {1}{T}}\;=\;{\frac {1}{J}}+{\frac {1}{S}}$. Auflösen nach T ergibt: $T\;=\;{\frac {S\;\cdot \;J}{J+S}}$. Mit S und J eingesetzt ergibt sich T = 0.99727 d = 23 h 56 min 4.1 sec (Vorsicht mit den Einheiten!). Die gleichen Überlegungen gelten für den Mond, und so findet man: T = 27.32166 d – in beiden Fällen bestätigt sich also der Zusammenhang zwischen den drei Zahlenwerten. Konsequenz: es genügt, zwei davon in der Natur zu beobachten, der dritte kann errechnet werden.

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Festkalender

• Zunächst die erste Tabelle mit den Tagesbuchstaben:

Tagesbuchstaben im Jahr

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
J	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C
F	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C
M	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F
A	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A
M	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D
J	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F
J	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B
A	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E
S	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G
O	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C
N	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E
D	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A	B	C	D	E	F	G	A

Feststellung: in einem Gemeinjahr haben der 1. Januar und der 1. Oktober den gleichen Wochentag; den gleichen Wochentag wie der 2. Januar hat nur der 1. Mai; den gleichen Wochentag wie der 3. Januar hat nur der 1. August; den gleichen Wochentag wie der 4. Januar haben der 1. Februar, der 1. März und der 1. November; den gleichen Wochentag wie der 5. Januar hat nur der 1. Juni; den gleichen Wochentag wie der 6. Januar haben der 1. September und der 1. Dezember, und den gleichen Wochentag wie der 7. Januar haben der 1. April und der 1. Juli. In einem Schaltjahr erhält der 29. Februar den Tagesbuchstaben D, der 1. März folglich den Tagesbuchstaben E, und alle weiteren Tagesbuchstaben rücken um 1 Buchstaben im Alphabet weiter. Folglich gilt: Tb = A für 1. Januar, 1. April und 1. Juli; Tb = B für 1. Oktober; Tb = C für 1. Mai; Tb = D für 1. Februar und 1. August; Tb = E für 1. März und 1. November; Tb = F für 1. Juni; Tb = G für 1. September und 1. Dezember.

Um den Sonntagsbuchstaben der Goldenen Zahl zuordnen zu können, müssen wir mit einem Jahr mit bekannter Goldener Zahl und bekanntem Sonntagsbuchstaben beginnen können. Für das Jahr 1900 ist z.B. GZ(1900) = 1 und der 1. Januar war ein Montag, der Sonntagsbuchstabe war also G. Im gregorianischen Kalender ist 1900 kein Schaltjahr. Dies bedeutet: die ersten 4 Jahre des 20. Jahrhunderts sind Gemeinjahre (1900, 1901, 1902 und 1903), erst ab 1904 folgt die regelmässige Abfolge von 3 Gemeinjahren und 1 Schaltjahr. Da 2000 ein Schaltjahr ist, 2100 aber nicht, ist der regelmässige Rhythmus von Gemein- und Schaltjahren bis 2099 ununterbrochen. Der Schaltzyklus hat in dieser Zeit eine Periode von 4 Jahren, der Wochenrhythmus umfasst 7 Tage, nach 4 ∙ 7 = 28 Jahren wiederholt sich die Abfolge der Tagesbuchstaben. Ein solcher 28-jähriger Zyklus beginnt mit dem Jahr 1904, das ohne Rest durch 28 geteilt werden kann. Somit lässt sich folgende Tabelle für das 20. und 21. Jahrhundert erstellen:

28-Jahr-Zyklus, Sonntagsbuchstabe und Goldene Zahl (1904 -2099)

Rest (Jahr;28)	Sb	1904 – 1931	1932 – 1959	1960 – 1987	1988 – 2015	2016 – 2043	2044 – 2071	2072 – 2099
0	CB	5	14	4	13	3	12	2
1	A	6	15	5	14	4	13	3
2	G	7	16	6	15	5	14	4
3	F	8	17	7	16	6	15	5
4	ED	9	18	8	17	7	16	6
5	C	10	19	9	18	8	17	7
6	B	11	1	10	19	9	18	8
7	A	12	2	11	1	10	19	9
8	GF	13	3	12	2	11	1	10
9	E	14	4	13	3	12	2	11
10	D	15	5	14	4	13	3	12
11	C	16	6	15	5	14	4	13
12	AB	17	7	16	6	15	5	14
13	G	18	8	17	7	16	6	15
14	F	19	9	18	8	17	7	16
15	E	1	10	19	9	18	8	17
16	DC	2	11	1	10	19	9	18
17	B	3	12	2	11	1	10	19
18	A	4	13	3	12	2	11	1
19	G	5	14	4	13	3	12	2
20	FE	6	15	5	14	4	13	3
21	D	7	16	6	15	5	14	4
22	C	8	17	7	16	6	15	5
23	B	9	18	8	17	7	16	6
24	AG	10	19	9	18	8	17	7
25	F	11	1	10	19	9	18	8
26	E	12	2	11	1	10	19	9
27	D	13	3	12	2	11	1	10

Die Tabelle wird wie folgt benutzt: man berechnet für das Jahr Rest(Jahr;28) und die Goldene Zahl. In der zugehörigen Spalte sucht man die beiden Zahlen und kann dann in der zweiten Spalte den Sonntagsbuchstaben ablesen. So ist z.B. für 2004 Rest(2004;28) = 16 und GZ(2004) = 10, folglich ist Sb(2004) = DC. Die Goldene Zahl dient eigentlich nur noch der Kontrolle.

• Es ist GZ(2009) = 15 und Rest(2009;28) = 21, folglich mit voranstehender Tabelle Sb(2009) = D. Mit der ersten Tabelle der voranstehenden Aufgabe folgt damit, dass der 1. Januar ein Donnerstag ist. Folglich hat das Jahr 2009 53 Kalenderwochen. Die erste dauert vom 29. Dezember 2008 bis 4. Januar 2009, die letzte Woche vom 28. Dezember 2009 bis 3. Januar 2010. Die Ostergrenze ist der 10. April, Tagesbuchstabe B, folglich ein Freitag. Ostern findet 2009 also am 12. April statt. Es ist JD = 2 454 933.5, somit z.B. für die Weiberfasnacht JD = 2 454 933.5 – 52 = 2 454 881.5, was dem bürgerlichen Datum 19. Februar entspricht (19 Tage nach JD 2 454 862.5, was 0. Februar entspricht). Wie wir der Tabelle mit den Tagesbuchstaben entnehmen, hat der 19. Februar den Tb A wie der 1. Januar, ist also tatsächlich ein Donnerstag. Für Muttertag suchen Sie in der Tabelle mit den Tagesbuchstaben den zweiten Tag im Monat Mai mit Tb = D, dem Sonntagsbuchstaben für 2009. Es ist dies der 10. Mai, folglich ist dies der Muttertag 2009. So erhalten Sie schliesslich folgenden Jahresfestkalender für 2009:

Januar: Neujahr Do 1. Januar; Berchtoldstag Fr 2. Januar; Dreikönigstag Di 6. Januar

Februar: Valentinstag Sa 14. Februar; Schmutziger Donnerstag/Weiberfasnacht Do 19. Februar; Rosenmontag 23. Februar; Aschermittwoch 25. Februar

April: Palmsonntag 5. April; Karfreitag 10. April (zufällig gleichzeitig Ostergrenze); Ostersonntag 12. April; Ostermontag 13. April; Weisser Sonntag 19. April

Mai: Tag der Arbeit Fr 1. Mai; Muttertag So 10. Mai; Auffahrt/Christi Himmelfahrt Do 21. Mai; Pfingstsonntag 31. Mai

Juni: Pfingstmontag 1. Juni; Fronleichnam Do 11. Juni

August: Nationalfeiertag Schweiz Sa 1. August; Mariä Himmelfahrt Sa 15. August

September: Eidgenössischer Dank-, Buss- und Bettag So 20. September

Oktober: Tag der deutschen Einheit (Nationalfeiertag Deutschland) Sa 3. Oktober; Nationalfeiertag Österreich Mo 26. Oktober

November: Allerheiligen So 1. November; Buss- und Bettag Mi 18. November; Totensonntag 22. November; 1. Advent So 29. November

Dezember: 2. Advent/Nikolaustag So 6. Dezember; Mariä Empfängnis Di 8. Dezember; 3. Advent So 13. Dezember; 4. Advent So 20. Dezember; Heiligabend Do 24. Dezember; Weihnacht Fr 25. Dezember; Stephanstag Sa 26. Dezember; Silvester Do 31. Dezember

• 12 synodische Monate sind 354.36708 Tage, plus 11 Tage ergibt 365.36708 Tage; 1 astronomisches Jahr hat durchschnittlich 365.242199 Tage, die Differenz beträgt 0.12488 Tage, was sich nach 8 Jahren zu 1 Tag summiert.
• 235 ∙ 29.53059 Tage = 6939.68865 Tage; 19 ∙ 365.25 Tage = 6939.75 Tage; Differenz: 0.06135 Tage; summiert sich nach 16.3 Zyklen oder rund 310 Jahren zu einer Differenz von 1 Tag – erinnern Sie sich an die Mondgleichung: 7 mal nach 300 Jahren und 1 mal nach 400 Jahren wird je 1 Tag korrigiert, dh. 8 Tage in 2500 Jahren. 8 ∙ 310 Jahre = 2480 Jahre.
• Es ist GZ(1981) = 6, die Ostergrenze ist der 19. April, was auf den 18. April zurück datiert wird. Der Sonntagsbuchstabe des Jahres 1981 ist D, folglich ist der 18. April ein Samstag, Ostern wurde also am 19. April gefeiert. Ohne die Ausnahmeregelungen hätte 1981 Ostern am 26. April gefeiert werden müssen. Der astronomische Ostervollmond trat 1981 tatsächlich am 19. April um 8:59 MEZ ein – die kirchliche Rechnung wäre ohne die Ausnahmeregelungen nicht falsch!

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