Aufgabensammlung Mathematik: Alle ungeraden Zahlen sind durch 2 teilbar

Alle ungeraden Zahlen sind durch 2 teilbar

Behauptung: Alle ungeraden Zahlen sind durch 2 teilbar.

Beweis: Sei $n$ die $n$-te ungerade Zahl, welche durch 2 teilbar ist. Die $(n+1)$-te ungerade Zahl ist dann $n+2$ ist damit eine Summe aus zwei durch 2 teilbaren Summanden und damit wieder durch 2 teilbar. Aus der vollständigen Induktion folgt, dass alle ungeraden Zahlen durch 2 teilbar sind.

Wo liegt der Fehler?

Der Beweis enthält nur den Induktionsschritt, aber nicht den Induktionsanfang. Da der Induktionsanfang fehlt, ist der obige Beweis unvollständig und das ist der oben gemachte Fehler. Der Induktionsanfang ist im Übrigen unbeweisbar. Dieser würde nämlich „1 ist durch 2 teilbar“ lauten und diese Aussage ist falsch.