Aufgabensammlung Mathematik: Allgemeine Bernoulli-Ungleichung

Allgemeine Bernoulli-Ungleichung

Zeige, dass für alle $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ gilt:$\prod _{k=1}^{n}{\left(1+{a}_{k}\right)\geq 1+\sum _{k=1}^{n}{{a}_{k},\ mit\ {a}_{k}}}\geq -1,$ wobei alle ${a}_{k}$ das gleiche Vorzeichen aufweisen.

Anmerkung: Setzt man hier ${a}_{1}={a}_{2}=...={a}_{n}=x,$ so erhält man die "gewöhnliche" Bernoulli-Ungleichung ${\left(1+x\right)}^{n}\geq 1+nx\quad \left(x\geq -1\right).$

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ bewiesen werden soll:

$\prod _{k=1}^{n}{\left(1+{a}_{k}\right)\geq 1+\sum _{k=1}^{n}{{a}_{k}}}$

1. Induktionsanfang:

$\prod _{k=1}^{1}{\left(1+{a}_{k}\right)=1+{a}_{1}\geq 1+\sum _{k=1}^{1}{{a}_{k}}}=1+{a}_{1}$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$\prod _{k=1}^{n}{\left(1+{a}_{k}\right)\geq 1+\sum _{k=1}^{n}{{a}_{k}}}$

2b. Induktionsbehauptung:

$\prod _{k=1}^{n+1}{\left(1+{a}_{k}\right)\geq 1+\sum _{k=1}^{n+1}{{a}_{k}=1+\sum _{k=1}^{n}{{a}_{k}+{a}_{n+1}}}}$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n+1}{\left(1+{a}_{k}\right)}&=\prod _{k=1}^{n}{\left(1+{a}_{k}\right)\cdot \left(1+{a}_{n+1}\right)}\\&{\geq \quad \left(1+\sum _{k=1}^{n}{{a}_{k}}\right)}\cdot \left(1+{a}_{n+1}\right)\quad \left(lt.\quad Induktionsvoraussetzung\right)\\&=1+\sum _{k=1}^{n}{{a}_{k}}+{a}_{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{{a}_{k}}\cdot {a}_{n+1}\\&\geq 1+\sum _{k=1}^{n}{{a}_{k}}+{a}_{n+1}\quad \left(\ast \right)\\&=1+\sum _{k=1}^{n+1}{{a}_{k}.}\end{aligned}}$

$\left(\ast \right)$ Es ist $\sum _{k=1}^{n}{{a}_{k}}\cdot {a}_{n+1}\geq 0,$ da ja alle ${a}_{k}$ dasselbe Vorzeichen haben.