Zeige für alle
n
∈
N
≥
1
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geq 1}}
∑
k
=
1
n
arctan
(
x
1
+
k
(
k
+
1
)
x
2
)
=
arctan
(
(
n
+
1
)
x
)
−
arctan
(
x
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\arctan {\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)=\arctan {\left(\left(n+1\right)x\right)}}}-\arctan {\left(x\right)}.}
Lösungshinweis
Verwende folgendes Additionstheorem:
arctan
(
x
)
−
arctan
(
y
)
=
arctan
(
x
−
y
1
+
x
y
)
{\displaystyle \arctan {\left(x\right)-\arctan {\left(y\right)=\arctan {\left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)}}}}
Sicherlich geht es in der Mathematik nicht darum, einfach eine große Menge an Formeln abzuspeichern. Aber die eine oder andere parat zu haben, schadet auch nicht; hier beispielsweise macht sie das Fortkommen sehr viel leichter.
Beweis
Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für
n
∈
N
≥
1
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geq 1}}
∑
k
=
1
n
arctan
(
x
1
+
k
(
k
+
1
)
x
2
)
=
arctan
(
(
n
+
1
)
x
)
−
arctan
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\arctan {\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)=\arctan {\left(\left(n+1\right)x\right)}}}-\arctan {\left(x\right)}}
1. Induktionsanfang:
∑
k
=
1
1
arctan
(
x
1
+
k
(
k
+
1
)
x
2
)
=
arctan
(
x
1
+
1
⋅
2
⋅
x
2
)
=
arctan
(
2
x
−
x
1
+
2
x
⋅
x
)
=
arctan
(
2
x
)
−
arctan
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{1}{\arctan {\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)}}=\arctan {\left({\frac {x}{1+1\cdot 2\cdot {x}^{2}}}\right)}=\arctan {\left({\frac {2x-x}{1+2x\cdot x}}\right)=\arctan {\left(2x\right)-\arctan {\left(x\right)}}}}
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
∑
k
=
1
n
arctan
(
x
1
+
k
(
k
+
1
)
x
2
)
=
arctan
(
(
n
+
1
)
x
)
−
arctan
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\arctan {\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)=\arctan {\left(\left(n+1\right)x\right)}}}-\arctan {\left(x\right)}}
2b. Induktionsbehauptung:
∑
k
=
1
n
+
1
arctan
(
x
1
+
k
(
k
+
1
)
x
2
)
=
arctan
(
(
n
+
2
)
x
)
−
arctan
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}{\arctan {\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)}}=\arctan {\left(\left(n+2\right)x\right)-\arctan {\left(x\right)}}}
2c. Beweis des Induktionsschritts:
∑
k
=
1
n
+
1
arctan
(
x
1
+
k
(
k
+
1
)
x
2
)
=
∑
k
=
1
n
(
x
1
+
k
(
k
+
1
)
x
2
)
+
arctan
(
x
1
+
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
x
2
)
=
I
V
arctan
(
(
n
+
1
)
x
)
−
arctan
(
x
)
+
arctan
(
(
n
+
2
)
x
−
(
n
+
1
)
x
1
+
(
n
+
2
)
(
n
+
1
)
x
2
)
=
arctan
(
(
n
+
1
)
x
)
−
arctan
(
x
)
+
arctan
(
(
n
+
2
)
x
)
−
arctan
(
(
n
+
1
)
x
)
=
arctan
(
(
n
+
2
)
x
)
−
arctan
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}{\arctan {\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)}}&=\sum _{k=1}^{n}{\left({\frac {x}{1+k\left(k+1\right){x}^{2}}}\right)}+\arctan {\left({\frac {x}{1+\left(n+1\right)\left(n+2\right){x}^{2}}}\right)}\\&{\overset {IV}{=}}\arctan {\left(\left(n+1\right)x\right)}-\arctan {\left(x\right)+\arctan {\left({\frac {\left(n+2\right)x-\left(n+1\right)x}{1+\left(n+2\right)\left(n+1\right){x}^{2}}}\right)}}\\&=\arctan {\left(\left(n+1\right)x\right)}-\arctan {\left(x\right)+\arctan {\left(\left(n+2\right)x\right)}}-\arctan {\left(\left(n+1\right)x\right)}\\&=\arctan {\left(\left(n+2\right)x\right)}-\arctan {\left(x\right)}.\end{aligned}}}
Beweis einer Identität (2).svg){kind=small}
