Aufgabensammlung Mathematik: Beweis einer Identität (2)

Beweis einer Identität (2)

Zeige für alle $n\in {\mathbb{N}}_{\ge 1}$ die nachstehende Beziehung: $\sum _{k=1}^n\arctan \left(\frac{x}{1+k(k+1)x^2}\right)=\arctan \left((n+1)x\right)-\arctan \left(x\right).$

Lösungshinweis

Verwende folgendes Additionstheorem:

$\arctan \left(x\right)-\arctan \left(y\right)=\arctan \left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$

Sicherlich geht es in der Mathematik nicht darum, einfach eine große Menge an Formeln abzuspeichern. Aber die eine oder andere parat zu haben, schadet auch nicht; hier beispielsweise macht sie das Fortkommen sehr viel leichter.

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in {\mathbb{N}}_{\ge 1}$ bewiesen werden soll:

$\sum _{k=1}^n\arctan \left(\frac{x}{1+k(k+1)x^2}\right)=\arctan \left((n+1)x\right)-\arctan \left(x\right)$

1. Induktionsanfang:

$\sum _{k=1}^1\arctan \left(\frac{x}{1+k(k+1)x^2}\right)=\arctan \left(\frac{x}{1+1\cdot 2\cdot x^2}\right)=\arctan \left(\frac{2x-x}{1+2x\cdot x}\right)=\arctan \left(2x\right)-\arctan \left(x\right)$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$\sum _{k=1}^n\arctan \left(\frac{x}{1+k(k+1)x^2}\right)=\arctan \left((n+1)x\right)-\arctan \left(x\right)$

2b. Induktionsbehauptung:

$\sum _{k=1}^{n+1}\arctan \left(\frac{x}{1+k(k+1)x^2}\right)=\arctan \left((n+2)x\right)-\arctan \left(x\right)$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{n+1}\arctan \left(\frac{x}{1+k(k+1)x^2}\right)& =\sum _{k=1}^n\left(\frac{x}{1+k(k+1)x^2}\right)+\arctan \left(\frac{x}{1+(n+1)(n+2)x^2}\right)\\ & \stackrel{IV}{=}\arctan \left((n+1)x\right)-\arctan \left(x\right)+\arctan \left(\frac{(n+2)x-(n+1)x}{1+(n+2)(n+1)x^2}\right)\\ & =\arctan \left((n+1)x\right)-\arctan \left(x\right)+\arctan \left((n+2)x\right)-\arctan \left((n+1)x\right)\\ & =\arctan \left((n+2)x\right)-\arctan \left(x\right).\end{array}$