Aufgabensammlung Mathematik: Beweis einer Produktformel

Beweis einer Produktformel

Beweise, dass für $n\geq 2$ gilt:

$\prod _{k=2}^{n}\left(1-{\frac {2}{k\cdot (k+1)}}\right)={\frac {1}{3}}\cdot \left(1+{\frac {2}{n}}\right)$

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für alle natürlichen Zahlen $n\geq 2$ bewiesen werden soll:

$\prod _{k=2}^{n}\left(1-{\frac {2}{k\cdot (k+1)}}\right)={\frac {1}{3}}\cdot \left(1+{\frac {2}{n}}\right)$

1. Induktionsanfang:

Für $n=2$ ist die Aussage korrekt, da

$\prod _{k=2}^{2}\left(1-{\frac {2}{k\cdot (k+1)}}\right)=1-{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{2}}\right)$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$\prod _{k=2}^{n}\left(1-{\frac {2}{k\cdot (k+1)}}\right)={\frac {1}{3}}\cdot \left(1+{\frac {2}{n}}\right)$

2b. Induktionsbehauptung:

$\prod _{k=2}^{n+1}\left(1-{\frac {2}{k\cdot (k+1)}}\right)={\frac {1}{3}}\cdot \left(1+{\frac {2}{n+1}}\right)$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

${\begin{aligned}\prod _{k=2}^{n+1}\left(1-{\frac {2}{k\cdot (k+1)}}\right)&={\color {OliveGreen}\left[\prod _{k=2}^{n}\left(1-{\frac {2}{k\cdot (k+1)}}\right)\right]}\left(1-{\frac {2}{(n+1)\cdot (n+2)}}\right)\\[5px]&\qquad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung einsetzen}}\right.}\\[5px]&={\color {OliveGreen}{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)}\cdot \left(1-{\frac {2}{(n+1)\cdot (n+2)}}\right)\\[5px]&={\frac {1}{3}}-{\frac {2}{3(n+1)(n+2)}}+{\frac {2}{3n}}-{\frac {4}{3n(n+1)(n+2)}}\\[5px]&={\frac {1}{3}}+{\frac {2(n+1)(n+2)-2n-4}{3n(n+1)(n+2)}}\\[5px]&={\frac {1}{3}}+{\frac {2n^{2}+4n}{3n(n+1)(n+2)}}\\[5px]&={\frac {1}{3}}+{\frac {2n(n+2)}{3n(n+1)(n+2)}}\\[5px]&={\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{n+1}}\right)\\\end{aligned}}$