Aufgabensammlung Mathematik: Beweise für diverse Ungleichungen

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Beweise für diverse Ungleichungen[Bearbeiten]

Auf dieser Seite findest du Aufgaben zum Beweis von Ungleichungen.

Aufgabe 1[Bearbeiten]

Zeige in einem ersten Schritt, dass für alle gilt:

Diese Ungleichung wird gelegentlich auch als "binomische Ungleichung" bezeichnet.

Folgere mit ihrer Hilfe dann nachstehenden Sachverhalt:

wobei

Lösungshinweis[Bearbeiten]

Zum ersten Aufgabenteil: Du weißt, dass das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Starte also mit

Zum zweiten Aufgabenteil: Wende die binomische Ungleichung an mit anstelle von und anstelle von Was folgt für ? Analog für und


Beweis[Bearbeiten]

Es ist

Weiter gilt

Schon bist du mit dem ersten Aufgabenteil durch.

Dem Hinweis folgend, halten wir fest:

Analog folgen die Beziehungen


Somit gilt letztendlich

Aufgabe 2[Bearbeiten]

Zeige in einem ersten Schritt, dass für alle gilt:

Folgere mit Hilfe dieser Ungleichung dann die nachstehende:

wobei

Lösungshinweis[Bearbeiten]

Zum erstem Abschnitt: Verwende .

Zum zweiten Abschnitt: Wende die Erkenntnis aus dem ersten Abschnitt auf jeden der Summanden an.

Beweis[Bearbeiten]

Mit (Zähler und Nenner sind beide positiv!) folgt die Behauptung.

Dem Lösungshinweis folgend, gelangst du schnell zur Lösung des zweiten Abschnitts:

Aufgabe 3[Bearbeiten]

a) Zeige, dass für alle gilt:

Da der Quotient als "arithmetisches Mittel" bezeichnet wird und der Wurzelterm als "geometrisches Mittel", heißt diese Beziehung die "Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel". Diese gibt es auch in allgemeinerer Form; hier begnügen wir uns mit der Version für zwei Zahlen.

b) Zeige, dass für alle gilt:

Die Summe aus einem Quotienten und seinem Kehrwert ist also größer/gleich (insofern hätte als Bedingung an und auch gelten können: Mit folgt, dass die Summe aus einer beliebigen positiven Zahl und ihrem Inversen größer/gleich ist.

c) Zeige, dass für alle gilt:

Lösungshinweis[Bearbeiten]

Zu a): Nutze wieder die Tatsache, dass das Quadrat einer reellen Zahl nicht-negativ ist; steige ein mit

Zu b): Verwende a)

Zu c): Verwende zuerst a) und anschließend b)

Beweis[Bearbeiten]

a) , also

Dies ist äquivalent zu sowie

b) Setze die nicht-negativen Zahlen und in die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ein:

c)