Aufgabensammlung Mathematik: Beweise für diverse Ungleichungen

Beweise für diverse Ungleichungen

Auf dieser Seite findest du Aufgaben zum Beweis von Ungleichungen.

Aufgabe 1

Zeige in einem ersten Schritt, dass für alle $a,b\in \mathbb {R}$ gilt:

$ab\leq {\frac {1}{2}}\left({a}^{2}+{b}^{2}\right).$

Diese Ungleichung wird gelegentlich auch als "binomische Ungleichung" bezeichnet.

Folgere mit ihrer Hilfe dann nachstehenden Sachverhalt:

$\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\geq 8xyz,$ wobei $x,y,z\in \mathbb {R} _{+}.$

Lösungshinweis

Zum ersten Aufgabenteil: Du weißt, dass das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Starte also mit ${\left(a-b\right)}^{2}\geq 0.$

Zum zweiten Aufgabenteil: Wende die binomische Ungleichung an mit ${\sqrt {x}}$ anstelle von $a$ und ${\sqrt {y}}$ anstelle von $b.$ Was folgt für $x+y$? Analog für $y+z$ und $z+x.$

Beweis

Es ist ${\left(a-b\right)}^{2}\geq 0\quad bzw.\quad {a}^{2}-2ab+{b}^{2}\geq 0$

Weiter gilt ${a}^{2}-2ab+{b}^{2}\geq 0\Leftrightarrow {a}^{2}+{b}^{2}\geq 2ab\Leftrightarrow {\frac {1}{2}}\left({a}^{2}+{b}^{2}\right)\geq ab.$

Schon bist du mit dem ersten Aufgabenteil durch.

Dem Hinweis folgend, halten wir fest: ${\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\leq {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)\quad bzw.\quad 2{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\leq x+y.$

Analog folgen die Beziehungen $\ \quad 2{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}\leq y+z\quad und\quad 2{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}\leq z+x.$

Somit gilt letztendlich $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\geq {2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\cdot 2{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}\cdot 2{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}=8xyz.$

Aufgabe 2

Zeige in einem ersten Schritt, dass für alle $x,y\in \mathbb {R} _{+}$gilt:

${\frac {{x}^{2}}{x+y}}\geq {\frac {3x-y}{4}}.$

Folgere mit Hilfe dieser Ungleichung dann die nachstehende:

${\frac {{a}^{2}}{a+b}}+{\frac {{b}^{2}}{b+c}}+{\frac {{c}^{2}}{c+a}}\geq {\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right),$ wobei $a,b,c\in \mathbb {R} _{+}.$

Lösungshinweis

Zum ersten Abschnitt: Verwende $x\leq y\Leftrightarrow y-x\geq 0$.

Zum zweiten Abschnitt: Wende die Erkenntnis aus dem ersten Abschnitt auf jeden der Summanden ${\frac {{a}^{2}}{a+b}},{\frac {{b}^{2}}{b+c}},{\frac {{c}^{2}}{c+a}}$ an.

Beweis

${\frac {x^{2}}{x+y}}\geq {\frac {3x-y}{4}}\Leftrightarrow {\frac {{x}^{2}}{x+y}}-{\frac {3x-y}{4}}\geq 0.$

Mit ${\frac {{x}^{2}}{x+y}}-{\frac {3x-y}{4}}={\frac {4{x}^{2}-\left(3x-y\right)\left(x+y\right)}{4\left(x+y\right)}}={\frac {{\left(x-y\right)}^{2}}{4\left(x+y\right)}}\geq 0$ (Zähler und Nenner sind beide positiv!) folgt die Behauptung.

Dem Lösungshinweis folgend, gelangst du schnell zur Lösung des zweiten Abschnitts:

${\frac {{a}^{2}}{a+b}}+{\frac {{b}^{2}}{b+c}}+{\frac {{c}^{2}}{c+a}}\geq {\frac {3a-b}{4}}+{\frac {3b-c}{4}}+{\frac {3c-a}{4}}={\frac {2a+2b+2c}{4}}={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right).$

Aufgabe 3

a) Zeige, dass für alle $x,y\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ gilt:

${\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}.$

Da der Quotient ${\left(a+b\right)}/{2}$ als "arithmetisches Mittel" bezeichnet wird und der Wurzelterm ${\sqrt {ab}}$ als "geometrisches Mittel", heißt diese Beziehung die "Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel". Diese gibt es auch in allgemeinerer Form; hier begnügen wir uns mit der Version für zwei Zahlen.

b) Zeige, dass für alle $x,y\in \mathbb {R} _{+}$ gilt:

${\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}\geq 2.$

Die Summe aus einem Quotienten und seinem Kehrwert ist also größer/gleich $2$ (insofern hätte als Bedingung an $x$ und $y$ auch gelten können: $x,y\in \mathbb {R} _{-}).$ Mit $y=1$ folgt, dass die Summe aus einer beliebigen positiven Zahl und ihrem Inversen größer/gleich $2$ ist.

c) Zeige, dass für alle $a\in \mathbb {R} _{\geq 1},x\in \mathbb {R} _{>0}$ gilt:

${\frac {{a}^{x}+{a}^{{1}/{x}}}{2}}\geq a.$

Lösungshinweis

Zu a): Nutze wieder die Tatsache, dass das Quadrat einer reellen Zahl nicht-negativ ist; steige ein mit ${\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}\right)}^{2}\geq 0.$

Zu b): Verwende a)

Zu c): Verwende zuerst a) und anschließend b)

Beweis

a) ${\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}\right)}^{2}\geq 0$, also $x-2{\sqrt {xy}}+y\geq 0.$

Dies ist äquivalent zu $x+y\geq 2{\sqrt {xy}}$ sowie ${\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}.$

b) Setze die nicht-negativen Zahlen ${\frac {x}{y}}$ und ${\frac {y}{x}}$ in die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ein: ${\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}}{2}}\geq {\sqrt {{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {y}{x}}}}=1\quad bzw.\quad {\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}\geq 2.$

c) ${\frac {{a}^{x}+{a}^{{1}/{x}}}{2}}\geq {\sqrt {{a}^{x}{a}^{{1}/{x}}}}={\sqrt {{a}^{x+{1}/{x}}}}\geq {\sqrt {{a}^{2}}}=a.$