Aufgabensammlung Mathematik: Irrationalitätsbeweis

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Irrationalitätsbeweis

Zeige, dass für alle die folgende Aussageform allgemeingültig ist:

ist irrational.

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für bewiesen werden soll:

ist irrational.

1. Induktionsanfang:

Für ist die Aussage korrekt, da bekanntlich irrational ist.

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

ist irrational.

2b. Induktionsbehauptung:

ist irrational.

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Widerspruchsbeweis: Angenommen ist nicht irrational, sondern rational. Dann folgt, dass für teilerfremde, geeignete ist.

Quadrieren führt auf , d.h. ist rational. Dies steht aber gerade im Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung. Ergo ist irrational.