Aufgabensammlung Mathematik: Kettenregeln für die partielle Ableitung

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Allgemeine Funktionen

Seien Zustandsgrößen, von denen jede von jeweils zwei anderen abhängt. Für gibt es also Funktionen , sowie . Analoges gilt für die anderen drei Zustandsgrößen. Außerdem sei . Man beweise:

Lösung zur 1. Teilaufgabe

Es ist

Nun kann die Gleichung in die Gleichung für eingesetzt werden. So erhält man

Also ist

Da und linear unabhängig sind, muss gelten:

und

Aus der ersten Gleichung folgt

Lösung zur 2. Teilaufgabe

In der Lösung zu zweiten Teilaufgabe wurde gezeigt, dass

Daraus folgt, dass

Lösung zur 3. Teilaufgabe

Es ist

Wenn man nun die ersten beiden Gleichungen gleichsetzt und in dieser Gleichung durch den Term ersetzt, dann erhält man

Da und linear unabhängig sind, ist

und damit