Zum Inhalt springen

Aufgabensammlung Mathematik: Kompakte metrische Räume sind beschränkt

Aus Wikibooks

Kompakte metrische Räume sind beschränkt

Sei ein kompakter, metrischer Raum. Beweise, dass beschränkt ist (also dass es ein mit für alle gibt).

Beweis

Wenn leer ist, ist beschränkt. Sei also nicht leer und beliebig. Nun ist eine offene Überdeckung von , wobei ist. Da kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung von und damit ein mit . Es gilt also für alle . Sei nun beliebig. Es ist dann:

Damit ist beschränkt.