Aufgabensammlung Mathematik: Kompaktheit

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Kompaktheit

Beweise, dass alle endlichen Mengen kompakt sind.

Beweise, dass jede abgeschlossene Menge eines kompakten Raums kompakt ist.

Beweise, dass jedes Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung kompakt ist.

Sei und zwei disjunkte kompakte Mengen eines Hausdorff-Raums . Beweise, dass nicht zusammenhängend ist, dass es also zwei disjunkte offene Mengen und mit und gibt.

Sei ein kompakter, metrischer Raum. Beweise, dass beschränkt ist (also dass es ein mit für alle gibt).

Sei eine kompakte Menge eines Hausdorff-Raums . Beweise, dass abgeschlossen ist.