Kompakte Mengen in Hausdorff-Räumen sind abgeschlossen
Sei
A
{\displaystyle A}
eine kompakte Menge eines Hausdorff-Raums
X
{\displaystyle X}
. Beweise, dass
A
{\displaystyle A}
abgeschlossen ist.
Beweis
Sei
x
∈
A
C
{\displaystyle x\in A^{C}}
beliebig. Da
X
{\displaystyle X}
ein Hausdorff-Raum ist, gibt es für jedes
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
offene Mengen
O
a
{\displaystyle O_{a}}
und
O
~
a
{\displaystyle {\tilde {O}}_{a}}
mit
a
∈
O
a
{\displaystyle a\in O_{a}}
,
x
∈
O
~
a
{\displaystyle x\in {\tilde {O}}_{a}}
und
O
a
∩
O
~
a
=
∅
{\displaystyle O_{a}\cap {\tilde {O}}_{a}=\emptyset }
.
Nun ist
⋃
a
∈
A
O
a
{\displaystyle \bigcup _{a\in A}O_{a}}
eine offene Überdeckung von
A
{\displaystyle A}
. Da
A
{\displaystyle A}
kompakt ist, gibt es endlich viele Punkte
a
1
{\displaystyle a_{1}}
bis
a
n
{\displaystyle a_{n}}
, so dass
A
⊆
⋃
i
=
1
n
O
a
i
{\displaystyle A\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}O_{a_{i}}}
. Nun ist
⋂
i
=
1
n
O
~
a
i
{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{i}}}
disjunkt zu
⋃
i
=
1
n
O
a
i
{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}O_{a_{i}}}
, denn
(
⋂
j
=
1
n
O
~
a
j
)
∩
(
⋃
i
=
1
n
O
a
i
)
=
⋃
i
=
1
n
(
(
⋂
j
=
1
n
O
~
a
j
)
∩
O
a
i
)
↓
∀
i
∈
{
1
,
2
,
…
n
}
:
⋂
j
=
1
n
O
~
a
j
⊆
O
~
a
i
⊆
⋃
i
=
1
n
(
O
~
a
i
∩
O
a
i
)
⏟
=
∅
=
⋃
i
=
1
n
∅
=
∅
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\bigcap _{j=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{j}}\right)\cap \left(\bigcup _{i=1}^{n}O_{a_{i}}\right)&=\bigcup _{i=1}^{n}\left(\left(\bigcap _{j=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{j}}\right)\cap O_{a_{i}}\right)\\&\qquad \left\downarrow \ \forall i\in \{1,2,\ldots n\}:\bigcap _{j=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{j}}\subseteq {\tilde {O}}_{a_{i}}\right.\\&\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}\underbrace {\left({\tilde {O}}_{a_{i}}\cap O_{a_{i}}\right)} _{=\,\emptyset }\\&=\bigcup _{i=1}^{n}\emptyset \\&=\emptyset \end{aligned}}}
Weil
A
⊆
⋃
i
=
1
n
O
a
i
{\displaystyle A\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}O_{a_{i}}}
und weil
(
⋂
j
=
1
n
O
~
a
j
)
∩
(
⋃
i
=
1
n
O
a
i
)
=
∅
{\displaystyle \left(\bigcap _{j=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{j}}\right)\cap \left(\bigcup _{i=1}^{n}O_{a_{i}}\right)=\emptyset }
ist, ist auch
⋂
i
=
1
n
O
~
a
i
∩
A
=
∅
{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{i}}\cap A=\emptyset }
. Als endlicher Schnitt offener Mengen ist
⋂
i
=
1
n
O
~
a
i
{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}{\tilde {O}}_{a_{i}}}
eine offene Menge um
x
{\displaystyle x}
(denn
x
{\displaystyle x}
liegt in allen
O
~
a
{\displaystyle {\tilde {O}}_{a}}
), welche ganz in
A
C
{\displaystyle A^{C}}
liegt.
x
{\displaystyle x}
ist damit ein innerer Punkt von
A
C
{\displaystyle A^{C}}
. Weil jeder Punkt von
A
C
{\displaystyle A^{C}}
ein innerer Punkt von
A
C
{\displaystyle A^{C}}
ist, ist
A
C
{\displaystyle A^{C}}
offen und damit
A
{\displaystyle A}
abgeschlossen.