Aufgabensammlung Mathematik: Kompakte Mengen in Hausdorff-Räumen sind abgeschlossen

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Kompakte Mengen in Hausdorff-Räumen sind abgeschlossen

Sei eine kompakte Menge eines Hausdorff-Raums . Beweise, dass abgeschlossen ist.

Beweis

Sei beliebig. Da ein Hausdorff-Raum ist, gibt es für jedes offene Mengen und mit , und .

Nun ist eine offene Überdeckung von . Da kompakt ist, gibt es endlich viele Punkte bis , so dass . Nun ist disjunkt zu , denn

Weil und weil ist, ist auch . Als endlicher Schnitt offener Mengen ist eine offene Menge um (denn liegt in allen ), welche ganz in liegt. ist damit ein innerer Punkt von . Weil jeder Punkt von ein innerer Punkt von ist, ist offen und damit abgeschlossen.