Aufgabensammlung Mathematik: Abgeschlossenheit und Offenheit

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Abgeschlossenheit und Offenheit

Beweise, dass jede abgeschlossene Menge eines kompakten Raums kompakt ist.

Sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge von . Sei das Innere und der Abschluss von . Man Beweise

  1. ist genau dann offen, wenn
  2. ist offen
  3. ist genau dann abgeschlossen, wenn
  4. ist abgeschlossen
  5. Der Rand von ist abgeschlossen

Sei eine kompakte Menge eines Hausdorff-Raums . Beweise, dass abgeschlossen ist.

Sei ein metrischer Raum und sei sowie beliebig. Beweise, dass die folgende Menge offen ist:

Beweise außerdem, dass folgende Mengen und abgeschlossen sind:

Sei ein metrischer Raum und sowie beliebig. Sei der Abschluss des offenen Balls . Sei außerdem der abgeschlossene Ball um mit Radius . Beweise

  1. Ist ein normierter Raum mit als Norm, so ist .
  2. Es gibt metrische Räume mit einem Punkt und einem Radius , so dass .