Aufgabensammlung Mathematik: Abgeschlossenheit und Offenheit
Abgeschlossenheit und Offenheit
Beweise, dass jede abgeschlossene Menge eines kompakten Raums kompakt ist.
Sei eine kompakte Menge eines Hausdorff-Raums . Beweise, dass abgeschlossen ist.
Untersuchung der Sphäre, der offenen und der abgeschlossenen Kugel auf Offenheit bzw. Abgeschlossenheit
Sei ein metrischer Raum und sei sowie beliebig. Beweise, dass die folgende Menge offen ist:
Beweise außerdem, dass folgende Mengen und abgeschlossen sind:
Sei ein metrischer Raum und sowie beliebig. Sei der Abschluss des offenen Balls . Sei außerdem der abgeschlossene Ball um mit Radius . Beweise
- Ist ein normierter Raum mit als Norm, so ist .
- Es gibt metrische Räume mit einem Punkt und einem Radius , so dass .