Aufgabensammlung Mathematik: Zusammenhang zwischen dem abgeschlossenen Ball und dem Abschluss des offenen Balls
Zusammenhang zwischen dem abgeschlossenen Ball und dem Abschluss des offenen Balls
Sei ein metrischer Raum und sowie beliebig. Sei der Abschluss des offenen Balls . Sei außerdem der abgeschlossene Ball um mit Radius . Beweise
- Ist ein normierter Raum mit als Norm, so ist .
- Es gibt metrische Räume mit einem Punkt und einem Radius , so dass .
Beweis
Beweis zu
ist eine abgeschlossene Menge (Beweis siehe diese Aufgabe). Außerdem enthält nach Definition alle Element von . Da der Abschluss der Menge ist, ist es der Schnitt aller abgeschlossener Mengen, die enthalten. Damit ist auch eine solche Menge des Schnitts und somit .
Beweis, dass ist, wenn ein normierter Raum ist
Gerade haben wir bewiesen, dass ist. Somit muss nur noch bewiesen werden. Sei beliebig. Ist so ist .
Sei nun . Wir betrachten nun die Folge . Es ist
Damit ist für alle das Folgenglied . Außerdem gilt:
Damit ist . Da aber für alle das Folgenglied ist nach Definition des Abschlusses .
Damit ist , was zu zeigen war.
Beweis, dass es metrische Räume mit gibt
Sei ausgestattet mit der diskreten Metrik . Es ist
Außerdem ist
Damit ist
- .