Aufgabensammlung Mathematik: Grundlegende Beweise für offene und abgeschlossene Mengen

Grundlegende Beweise für offene und abgeschlossene Mengen

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und $A$ eine Teilmenge von $X$. Sei $A^{\circ }=\left\{x\in X:x{\text{ ist innerer Punkt von }}A\right\}$ das Innere und ${\overline {A}}=\left\{x\in X:x{\text{ ist Ber}}{\ddot {\mathrm {u} }}{\text{hrungspunkt von }}A\right\}$ der Abschluss von $A$. Man Beweise

1. $A$ ist genau dann offen, wenn $A=A^{\circ }$
2. $A^{\circ }$ ist offen
3. $A$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $A={\overline {A}}$
4. ${\overline {A}}$ ist abgeschlossen
5. Der Rand $\partial A$ von $A$ ist abgeschlossen

Beweis

Teilaufgabe 1

Behauptung 1.1: $A{\text{ offen}}\Rightarrow A=A^{\circ }$

Wenn $A$ offen ist, dann ist jedes Element $a$ von $A$ ein innerer Punkt von $A$, denn $a\in A\subseteq A$ ($a$ ist Element der offenen Teilmenge $A$ von $A$).

Behauptung 1.2: $A=A^{\circ }\Rightarrow A{\text{ offen}}$

Sei $A=A^{\circ }$ und damit jedes Element von $A$ ein innerer Punkt von $A$. Damit existiert für jedes $a\in A$ mindestens eine offene Menge $O_{a}\in {\mathcal {T}}$ mit $a\in O_{a}\subseteq A$. Es ist

${\begin{aligned}A&=\bigcup _{a\in A}\{a\}\\&\quad \left\downarrow \ O_{a}\subseteq A\right.\\&=\bigcup _{a\in A}O_{a}\end{aligned}}$

Weil jede Vereinigung offener Mengen wieder offen ist und $A$ eine Vereinigung offener Mengen ist, ist auch $A$ offen.

Teilaufgabe 2

Sei $a$ ein innerer Punkt von $A$, also $a\in A^{\circ }$. Es gibt dann eine offene Menge $O$ mit $a\in O\subseteq A$. Ebenso ist aber jedes Element von $O$ ein innerer Punkt von $A$ und damit $O\subseteq A^{\circ }$. Damit ist aber auch $a$ ein innerer Punkt von $A^{\circ }$. Es folgt $A^{\circ }=\left(A^{\circ }\right)^{\circ }$ und damit ist $A$ offen.

Teilaufgabe 3

${\begin{aligned}&A{\text{ ist abgeschlossen}}\\\Leftrightarrow \ &A^{C}{\text{ ist offen}}\\\Leftrightarrow \ &\forall x\in A^{C}:x{\text{ ist innerer Punkt von }}A^{C}\\\Leftrightarrow \ &\forall x\in A^{C}\ \exists O\in {\mathcal {T}}:x\in O\subseteq A^{C}\\\Leftrightarrow \ &\forall x\in A^{C}\ \exists O\in {\mathcal {T}}:x\in O\land O\cap A=\emptyset \\\Leftrightarrow \ &\forall x\in A^{C}:x{\text{ ist kein Ber}}{\ddot {\mathrm {u} }}{\text{hrungspunkt von }}A\\\Leftrightarrow \ &{\overline {A}}\subseteq A\\&\quad \left\downarrow \ A\subseteq {\overline {A}}\ \left({\text{Jedes }}a\in A{\text{ ist Ber}}{\ddot {\mathrm {u} }}{\text{hrungspunkt von }}A\right)\right.\\\Leftrightarrow \ &A={\overline {A}}\\\end{aligned}}$

Teilaufgabe 4

Sei $a\in {\overline {A}}^{C}$, also $a$ ist kein Berührungspunkt von $A$. Es gibt dann eine offene Menge $O$ mit $a\in O\subseteq A^{C}$. Für alle ${\tilde {a}}\in O$ gilt ${\tilde {a}}\in O\subseteq A^{C}$, womit $O$ kein Berührungspunkt von $A$ enthält. Es folgt $a\in O\subseteq \left({\overline {A}}\right)^{C}$ und damit ist $a$ ein innerer Punkt von ${\overline {A}}^{C}$. Es folgt $\left({\overline {A}}^{C}\right)^{\circ }={\overline {A}}^{C}$. ${\overline {A}}^{C}$ ist damit offen und somit ${\overline {A}}$ abgeschlossen.

Teilaufgabe 5

Es ist

${\begin{aligned}\partial A&=\{x\in X:x{\text{ ist Randpunkt von }}A\}\\&=\{x\in X:\forall O\in {\mathcal {T}}:x\in O\Rightarrow O\cap A\neq \emptyset \land O\cap A^{C}\neq \emptyset \}\\&=\left\{x\in X:\left(\forall O\in {\mathcal {T}}:x\in O\Rightarrow O\cap A\neq \emptyset \right)\land \left(\forall O\in {\mathcal {T}}:x\in O\Rightarrow O\cap A^{C}\neq \emptyset \right)\right\}\\&=\left\{x\in X:\left(\forall O\in {\mathcal {T}}:x\in O\Rightarrow O\cap A\neq \emptyset \right)\land \left(\neg \exists O\in {\mathcal {T}}:x\in O\subseteq A\right)\right\}\\&=\left\{x\in X:x{\text{ ist Ber}}{\ddot {\mathrm {u} }}{\text{hrungspunkt von }}A{\text{, aber kein innerer Punkt von }}A\right\}\\&={\overline {A}}\setminus A^{\circ }\end{aligned}}$

Nun ist die Menge $\partial A^{C}$ offen, denn

${\begin{aligned}\partial A^{C}&=\left({\overline {A}}\setminus A^{\circ }\right)^{C}\\&=\underbrace {A^{\circ }} _{\text{offen}}\cup \underbrace {{\overline {A}}^{C}} _{\text{offen}}\end{aligned}}$

und somit ist $\partial A^{C}$ als Vereinigung der beiden offenen Mengen $A^{\circ }$ und ${\overline {A}}^{C}$ wieder offen. Weil $\partial A^{C}$ offen ist, ist $\partial A$ abgeschlossen.