Aufgabensammlung Mathematik: Abgeschlossene Mengen kompakter Räume sind kompakt

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Abgeschlossene Mengen kompakter Räume sind kompakt

Beweise, dass jede abgeschlossene Menge eines kompakten Raums kompakt ist.

Beweis

Sei eine Indexmenge und eine Überdeckung offener Mengen von . Weil abgeschlossen ist, ist offen und damit eine offene Überdeckung von . Weil kompakt ist, gibt es eine endliche Teilmenge , so dass eine Überdeckung von ganz X ist. Da und disjunkt sind, muss die Menge überdecken. Dies beweist, dass es eine endliche Teilüberdeckung von gibt, womit kompakt ist.