Aufgabensammlung Mathematik: Abgeschlossene Mengen kompakter Räume sind kompakt

Abgeschlossene Mengen kompakter Räume sind kompakt

Beweise, dass jede abgeschlossene Menge $A$ eines kompakten Raums $X$ kompakt ist.

Beweis

Sei $I$ eine Indexmenge und $\bigcup _{i\in I}O_{i}$ eine Überdeckung offener Mengen $O_{i}$ von $A$. Weil $A$ abgeschlossen ist, ist $A^{C}=X\setminus A$ offen und damit $\left(\bigcup _{i\in I}O_{i}\right)\cup A^{C}$ eine offene Überdeckung von $X$. Weil $X$ kompakt ist, gibt es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$, so dass $\left(\bigcup _{j\in J}O_{j}\right)\cup A^{C}$ eine Überdeckung von ganz X ist. Da $A$ und $A^{C}$ disjunkt sind, muss $\bigcup _{j\in J}O_{j}$ die Menge $A$ überdecken. Dies beweist, dass es eine endliche Teilüberdeckung von $\bigcup _{i\in I}O_{i}$ gibt, womit $A$ kompakt ist.