Aufgabensammlung Mathematik: Alle endlichen Mengen sind kompakt

Alle endlichen Mengen sind kompakt

Beweise, dass alle endlichen Mengen kompakt sind.

Beweis

Sei $X$ eine endliche Menge mit den Elementen $x_{1},\,x_{2},\,\ldots x_{n}$. Sei $\bigcup _{i\in I}O_{i}$ eine offene Überdeckung von $X$. Für jedes $x_{j}$ aus $X$ gibt es damit mindestens eine offene Menge $O_{j}$ aus der offenen Überdeckung $\bigcup _{i\in I}O_{i}$. Die Vereinigung all dieser $O_{j}$ ist damit eine endliche offene Überdeckung von $X$. Dies beweist, dass $X$ kompakt ist, weil jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.