Aufgabensammlung Mathematik: Alle endlichen Mengen sind kompakt

Aus Wikibooks

Alle endlichen Mengen sind kompakt

Beweise, dass alle endlichen Mengen kompakt sind.

Beweis

Sei eine endliche Menge mit den Elementen . Sei eine offene Überdeckung von . Für jedes aus gibt es damit mindestens eine offene Menge aus der offenen Überdeckung . Die Vereinigung all dieser ist damit eine endliche offene Überdeckung von . Dies beweist, dass kompakt ist, weil jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.