Aufgabensammlung Mathematik: Die disjunkte Vereinigung kompakter Mengen ist nicht zusammenhängend

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Die disjunkte Vereinigung kompakter Mengen ist nicht zusammenhängend

Sei und zwei disjunkte kompakte Mengen eines Hausdorff-Raums . Beweise, dass nicht zusammenhängend ist, dass es also zwei disjunkte offene Mengen und mit und gibt.

Beweis

Behauptung 1: Für alle gibt es disjunkte offene Mengen und mit und

Sei beliebig. Weil ein Hausdorff-Raum ist, gibt es für alle disjunkte offene Mengen und mit und . Es ist eine offene Überdeckung von und da kompakt ist, gibt es eine endliche Menge mit .

Setze nun und . Beide Mengen sind offen, denn ist ein endlicher Schnitt offener Mengen und eine Vereinigung offener Mengen. Weil für alle , ist auch . Dass wurde bereits gezeigt. Außerdem sind und disjunkt, denn es ist

Behauptung 2: ist nicht zusammenhängend

Nach Behauptung 1 gibt es für alle disjunkte offene Mengen und mit und . Damit ist eine offene Überdeckung von und es gibt eine endliche Menge mit . Setze nun und . Analog zur ersten Behauptung kann man nun beweisen, dass und zwei disjunkte und offene Mengen sind mit und . Dies beweist, dass nicht zusammenhängend sind.