Aufgabensammlung Mathematik: Die disjunkte Vereinigung kompakter Mengen ist nicht zusammenhängend

Die disjunkte Vereinigung kompakter Mengen ist nicht zusammenhängend

Sei $K$ und $L$ zwei disjunkte kompakte Mengen eines Hausdorff-Raums $X$. Beweise, dass $K\cup L$ nicht zusammenhängend ist, dass es also zwei disjunkte offene Mengen $U$ und $V$ mit $K\subseteq U$ und $L\subseteq V$ gibt.

Beweis

Behauptung 1: Für alle $k\in K$ gibt es disjunkte offene Mengen $U_{k}$ und $V_{k}$ mit $k\in U_{k}$ und $L\subseteq V_{k}$

Sei $k\in K$ beliebig. Weil $X$ ein Hausdorff-Raum ist, gibt es für alle $l\in L$ disjunkte offene Mengen $U_{l}$ und $V_{l}$ mit $k\in U_{l}$ und $l\in V_{l}$. Es ist $\bigcup _{l\in L}V_{l}$ eine offene Überdeckung von $L$ und da $L$ kompakt ist, gibt es eine endliche Menge ${\tilde {L}}\subseteq L$ mit $L\subseteq \bigcup _{l\in {\tilde {L}}}V_{l}$.

Setze nun $U_{k}:=\bigcap _{l\in {\tilde {L}}}U_{l}$ und $V_{k}:=\bigcup _{l\in {\tilde {L}}}V_{l}$. Beide Mengen sind offen, denn $U_{k}$ ist ein endlicher Schnitt offener Mengen und $V_{k}$ eine Vereinigung offener Mengen. Weil $k\in U_{l}$ für alle $l\in {\tilde {L}}$, ist auch $k\in \bigcap _{l\in {\tilde {L}}}U_{l}=U_{k}$. Dass $L\subseteq \bigcup _{l\in {\tilde {L}}}V_{l}$ wurde bereits gezeigt. Außerdem sind $U_{k}$ und $V_{k}$ disjunkt, denn es ist

${\begin{aligned}\left(\bigcap _{l\in {\tilde {L}}}U_{l}\right)\cap \left(\bigcup _{{\tilde {l}}\in {\tilde {L}}}V_{\tilde {l}}\right)&=\bigcup _{{\tilde {l}}\in {\tilde {L}}}\left(\left(\bigcap _{l\in {\tilde {L}}}U_{l}\right)\cap V_{\tilde {l}}\right)\\[5px]&\qquad \left\downarrow \ \bigcap _{l\in {\tilde {L}}}U_{l}\subseteq U_{\tilde {l}}\right.\\[5px]&=\bigcup _{{\tilde {l}}\in {\tilde {L}}}\left(U_{\tilde {l}}\cap V_{\tilde {l}}\right)\\[5px]&\qquad \left\downarrow \ U_{\tilde {l}}\cap V_{\tilde {l}}=\emptyset \right.\\[5px]&=\bigcup _{{\tilde {l}}\in {\tilde {L}}}\emptyset \\[5px]&=\emptyset \end{aligned}}$

Behauptung 2: $K\cup L$ ist nicht zusammenhängend

Nach Behauptung 1 gibt es für alle $k\in K$ disjunkte offene Mengen $U_{k}$ und $V_{k}$ mit $k\in U_{k}$ und $L\subseteq V_{k}$. Damit ist $\bigcup _{k\in K}U_{k}$ eine offene Überdeckung von $K$ und es gibt eine endliche Menge ${\tilde {K}}\subseteq K$ mit $K\subseteq \bigcup _{k\in {\tilde {K}}}U_{k}$. Setze nun $U:=\bigcup _{k\in {\tilde {K}}}U_{k}$ und $V:=\bigcap _{k\in {\tilde {K}}}V_{k}$. Analog zur ersten Behauptung kann man nun beweisen, dass $U$ und $V$ zwei disjunkte und offene Mengen sind mit $K\subseteq U$ und $L\subseteq V$. Dies beweist, dass $K\cup L$ nicht zusammenhängend sind.