Aufgabensammlung Mathematik: Lokal Lipschitz-stetige Funktionen auf kompaktem Definitionsbereich sind global Lipschitz-stetig

Lokal Lipschitz-stetige Funktionen auf kompaktem Definitionsbereich sind global Lipschitz-stetig

Sei $f:(X,d_{X})\rightarrow (Y,d_{Y})$ eine lokal Lipschitz-stetige Funktion zwischen den metrischen Räumen $(X,d_{X})$ und $(Y,d_{Y})$, wobei $(X,d_{X})$ ein kompakter Raum ist. Beweise, dass $f$ global Lipschitz-stetig ist.

Beweis

Widerspruchsbeweis: Sei $f$ nicht global Lipschitz-stetig. Dann gibt es für alle $K\in \mathbb {R} ^{+}$ ein $x,y\in X$ mit $d_{Y}(f(x),f(y))>K\cdot d(x,y)$. Seien die Folgen $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ und $\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ aus $X$ so gewählt, dass $d_{Y}\left(f\left(x_{n}\right),f\left(y_{n}\right)\right)>n\cdot d_{X}\left(x_{n},y_{n}\right)$. Da $X$ kompakt ist, gibt es eine streng monoton steigende Folge $\left(n_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }$, so dass sowohl die Teilfolge $\left(x_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ als auch die Teilfolge $\left(y_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiert.

Weil $X$ kompakt ist, ist auch das Bild $f(X)$ kompakt und somit beschränkt. Also gibt es ein $M\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ mit $d_{Y}(f({\tilde {x}}),f({\tilde {y}}))\leq M$ für alle ${\tilde {x}},{\tilde {y}}\in X$. Es ist

$d_{X}\left(x_{n_{k}},y_{n_{k}}\right)<{\frac {1}{n_{k}}}\cdot d_{Y}\left(f\left(x_{n_{k}}\right),f\left(y_{n_{k}}\right)\right)\leq {\frac {1}{n_{k}}}\cdot M\ {\overset {k\rightarrow \infty }{\rightarrow }}\ 0$

Damit stimmt der Grenzwert von $\left(x_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ und $\left(y_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ überein. Sei $a\in X$ dieser Grenzwert ($X$ ist als kompakter metrischer Raum vollständig). Um diesen Grenzwert $a$ ist $f$ lokal Lipschitz-stetig. Es gibt also ein $K\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ und ein $\epsilon >0$, so dass für alle ${\tilde {x}},{\tilde {y}}\in X$, die den Abstand von $a$ kleiner $\epsilon$ haben, die Ungleichung $d_{Y}(f({\tilde {x}}),f({\tilde {y}}))\leq K\cdot d_{X}(x,y)$ erfüllt ist. Dies steht im Widerspruch zu unseren bisherigen Ergebnissen, denn wenn $k\in \mathbb {N}$ hinreichend groß ist, ist $n_{k}>K$ und sowohl $x_{n_{k}}$ als auch $y_{n_{k}}$ besitzen einen Abstand zu $a$ kleiner $\epsilon$ und es gilt $d_{Y}\left(f\left(x_{n_{k}}\right),f\left(y_{n_{k}}\right)\right)>{n_{k}}\cdot d_{X}\left(x_{n_{k}},y_{n_{k}}\right)$.