Aufgabensammlung Mathematik: Summenformel mit Induktionsvariable in der Summe

Summenformel mit Induktionsvariable in der Summe

Beweise, dass für $n\geq 1$ gilt:

$\sum _{k=0}^{n-1}(n+k)\cdot (n-k)={{n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)} \over 6}$

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ bewiesen werden soll:

$\sum _{k=0}^{n-1}(n+k)\cdot (n-k)={{n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)} \over 6}$

1. Induktionsanfang:

${\begin{aligned}\sum \limits _{k=0}^{1-1}(1+k)\cdot (1-k)&=\sum \limits _{k=0}^{0}(1+k)\cdot (1-k)\\&=(1+0)\cdot (1-0)\\&=1\\&={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}}\\&={\frac {1\cdot (1+1)\cdot (4\cdot 1-1)}{6}}\end{aligned}}$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$\sum _{k=0}^{n-1}(n+k)\cdot (n-k)={{n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)} \over 6}$

2b. Induktionsbehauptung:

$\sum _{k=0}^{n}(n+1+k)\cdot (n+1-k)={{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)} \over 6}$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}(n+1+k)\cdot (n+1-k)&=\sum _{k=0}^{n}\left((n+1)^{2}-k^{2}\right)\\[5px]&=\sum _{k=0}^{n}\left(n^{2}+2n+1-k^{2}\right)\\[5px]&=\sum _{k=0}^{n}\left(2n+1\right)+\sum _{k=0}^{n}\left(n^{2}-k^{2}\right)\\[5px]&\ {\color {Gray}\downarrow 2n+1{\text{ ist in der ersten Summe ein konstanter Summand}}}\\[5px]&=\left(2n+1\right)\cdot \sum _{k=0}^{n}1+\sum _{k=0}^{n}\left(n^{2}-k^{2}\right)\\[5px]&=(2n+1)\cdot (n+1)+\sum _{k=0}^{n}\left(n^{2}-k^{2}\right)\\[5px]&{\color {Gray}\downarrow {\text{ Der letzte Summand der Summe ist }}0}\\[5px]&=(2n+1)\cdot (n+1)+\sum _{k=0}^{n-1}\left(n^{2}-k^{2}\right)\\[5px]&=2n^{2}+3n+1+{\color {OliveGreen}\sum _{k=0}^{n-1}(n+k)\cdot (n-k)}\\[5px]&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{ Induktionsvoraussetzung einsetzen }}}\\[5px]&=2n^{2}+3n+1+{\color {OliveGreen}{{n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)} \over 6}}\\[5px]&={{6(2n^{2}+3n+1)+n\cdot (n+1)\cdot (4n-1)} \over 6}\\[5px]&={{12n^{2}+18n+6+4n^{3}-n^{2}+4n^{2}-n} \over 6}\\[5px]&={{4n^{3}+15n^{2}+17n+6} \over 6}\\[5px]&={{4n^{3}+11n^{2}+6n+4n^{2}+11n+6} \over 6}\\[5px]&={{(n+1)(4n^{2}+11n+6)} \over 6}\\[5px]&={{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (4n+3)} \over 6}\\[5px]\end{aligned}}$