Aufgabensammlung Physik: Bewegungsgleichung eines freien Teilchens mit der Lagrange Gleichung

Bewegungsgleichung einer freien Teilchens mit der Lagrange Gleichung

Berechne mithilfe der Lagrangegleichungen 2. Art die Bewegungsgleichung eines freien Teilchens das sich in einem konservativen Potential bewegt.

Lösungshinweise

Die generalisierten Koordinaten lauten: $q_{j}(x_{1},x_{2},x_{3})$ und ${\dot {q}}_{j}({\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3})$

$T={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}={\frac {1}{2}}m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}$, im konservativen Potential $V(x_{1},x_{2},x_{3})$

$\Rightarrow L={\frac {1}{2}}m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x_{i})$

Aufstellung der Gleichungen

1. ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}$
2. ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}={\frac {d}{dt}}m{\dot {x}}_{i}-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}$

Dies führt zu den bekannten Newtonschen Bewegungsgleichungen:

$-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}=-{\vec {\nabla }}V={\vec {F}}=m{\ddot {x}}_{i}$