Aufgabensammlung Physik: Herleitung der Dispersionsrelation

Aufgabe

Sie wissen, dass die ebene Welle ${\vec {E}}={\vec {E}}_{0}e^{\mathrm {i} (\omega t-{\vec {k}}{\vec {x}})}$ die Wellengleichung $\Delta {\vec {E}}={\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {E}}$ erfüllt. Leiten sie daraus einen Zusammenhang zwischen $\omega$ und ${\vec {k}}^{2}$, also die Dispersionsrelation für Licht, her.

Lösung

Es ist

${\begin{aligned}\partial _{x}{\vec {E}}&=\partial x\left({\vec {E}}_{0}e^{\mathrm {i} (\omega t-{\vec {k}}{\vec {x}})}\right)\\&=-\mathrm {i} {\vec {E}}_{0}e^{\mathrm {i} (\omega t-{\vec {k}}{\vec {x}})}\cdot \partial _{x}({\vec {k}}{\vec {x}})\\&=-\mathrm {i} k_{x}{\vec {E}}_{0}e^{\mathrm {i} (\omega t-{\vec {k}}{\vec {x}})}\\&=-\mathrm {i} k_{x}{\vec {E}}\end{aligned}}$

und damit

${\begin{aligned}\partial _{x}^{2}{\vec {E}}&=\partial x(-\mathrm {i} k_{x}{\vec {E}})\\&=-\mathrm {i} k_{x}\partial _{x}{\vec {E}}\\&\quad \left\downarrow \ \partial _{x}{\vec {E}}{\text{ wie oben berechnen}}\right.\\&=-k_{x}^{2}{\vec {E}}\end{aligned}}$

$\partial _{y}^{2}{\vec {E}}$ und $\partial _{z}^{2}{\vec {E}}$ können analog berechnet werden. Damit ist

${\begin{aligned}\Delta {\vec {E}}&=(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}){\vec {E}}\\&=(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}){\vec {E}}\\&=-{\vec {k}}^{2}{\vec {E}}\end{aligned}}$

Für $\partial _{t}{\vec {E}}$ ergibt sich

${\begin{aligned}\partial _{t}{\vec {E}}&=\partial _{t}\left({\vec {E}}_{0}e^{\mathrm {i} (\omega t-{\vec {k}}{\vec {x}})}\right)\\&=\mathrm {i} \omega {\vec {E}}_{0}e^{\mathrm {i} (\omega t-{\vec {k}}{\vec {x}})}\\&=\mathrm {i} \omega {\vec {E}}\end{aligned}}$

und damit $\partial _{t}^{2}{\vec {E}}=-\omega ^{2}{\vec {E}}$. Nun ist $\Delta {\vec {E}}={\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {E}}$ und somit nach dem Einsetzen bisheriger Ergebnisse

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&\Delta {\vec {E}}&={\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {E}}\\\Rightarrow \ &-{\vec {k}}^{2}{\vec {E}}&={\frac {\varepsilon }{c^{2}}}(-\omega ^{2}{\vec {E}})\\\Rightarrow \ &{\vec {k}}^{2}{\vec {E}}&={\frac {\varepsilon \omega ^{2}}{c^{2}}}{\vec {E}}\\\Rightarrow \ &{\vec {k}}^{2}&={\frac {\varepsilon \omega ^{2}}{c^{2}}}\\\end{array}}\end{aligned}}$

Mit $n={\sqrt {\varepsilon }}$ für den Brechungsindex $n$ ergibt sich damit

${\vec {k}}^{2}={\frac {n^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}$