Aufgabensammlung Physik: Lagrange-Bewegungsgleichung der Zwangsbewegung eines Masseteilchens

${\displaystyle }$

Ein Körper der Masse m fällt entlang einer Kurve mit der Gleichung z = f(x) im Schwerefeld der Erde. Man bestimme (ohne Beachtung der Reibung) die Bewegungsgleichung des Körpers.

Es gilt: $z=f(x)$

und wegen ${\dot {z}}={\frac {d}{dt}}z={\frac {dz}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}$

${\dot {z}}=f'(x)\cdot {\dot {x}}$

Aufstellen der Lagrangefunktion

1. Kinetische Energie:

$T={\frac {1}{2}}m\cdot (({\dot {x}})^{2}+({\dot {z}})^{2})$

$T={\frac {1}{2}}m\cdot (({\dot {x}})^{2}+(f'(x))^{2}\cdot ({\dot {x}})^{2})$

$T={\frac {1}{2}}m\cdot ({\dot {x}})^{2}[1+(f'(x))^{2}]$

2. Lageenergie:

Bezeichnet g die Fallbeschleunigung, dann gilt:

$U=m\cdot g\ \cdot z$

$U=m\cdot g\ \cdot f(x)$

3. Lagrangefunktion:

$L=T-U$

$L={\frac {1}{2}}m\cdot ({\dot {x}})^{2}[1+(f'(x))^{2}]-m\cdot g\ \cdot f(x)\qquad (1)$

Bewegungsgleichung ermitteln

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}}$

1. ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\,$ ermitteln:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}({\frac {1}{2}}m\cdot ({\dot {x}})^{2}[1+(f'(x))^{2}])\qquad (Einsetzen\,aus\,(1)\,und\,{\frac {\partial U}{\partial {\dot {x}}}}=0)$

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {d}{dt}}(m\cdot ({\dot {x}})\cdot [1+(f'(x))^{2}])$

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m\cdot ({\ddot {x}})\cdot [1+(f'(x))^{2}]+2\cdot m\cdot ({\dot {x}})^{2}\cdot f'(x)\cdot f''(x)\qquad \,$

(Produkt-,Kettenregel und ${\frac {d}{dt}}(f'(x))^{2}=2\cdot f'(x)\cdot {\frac {df'(x)}{dt}}=2\cdot f'(x)\cdot {\frac {df'(x)}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=2\cdot f'(x)\cdot f''(x)\cdot {\dot {x}})$

2. ${\frac {\partial L}{\partial x}}\,$ermitteln:

${\frac {\partial L}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}({\frac {1}{2}}m\cdot ({\dot {x}})^{2}[1+(f'(x))^{2}]-m\cdot g\ \cdot f(x))$

${\frac {\partial L}{\partial x}}=m\cdot ({\dot {x}}^{2})\cdot f'(x)\cdot f''(x)-m\cdot g\ \cdot f'(x)$

3. Bewegungsgleichung mit Hilfe der Teilergebnisse aufstellen:

$m\cdot ({\ddot {x}})\cdot [1+(f'(x))^{2}]+2\cdot m\cdot ({\dot {x}})^{2}\cdot f'(x)\cdot f''(x)=m\cdot ({\dot {x}}^{2})\cdot f'(x)\cdot f''(x)-m\cdot g\ \cdot f'(x)$

$({\ddot {x}})\cdot [1+(f'(x))^{2}]+({\dot {x}})^{2}\cdot f'(x)\cdot f''(x)+g\ \cdot f'(x)=0\qquad (Division\,durch\,m\,und\,Zusammenfassen\,gleichartiger\,Terme)$

${\ddot {x}}+{\frac {({\dot {x}})^{2}\cdot f'(x)\cdot f''(x)}{1+(f'(x))^{2}}}+{\frac {g\ \cdot f'(x)}{1+(f'(x))^{2}}}=0\qquad (Division\,durch\,1+(f'(x))^{2})$

${\ddot {x}}+{\frac {({\dot {x}})^{2}}{2}}\cdot {\frac {d}{dx}}(ln(1+f'(x)^{2})+{\frac {g\cdot f'(x)}{1+f'(x)^{2}}}=0$

Wir untersuchen jetzt den Fall, dass die Fallkurve in Parameterform gegeben ist, z.B. als Parameterdarstellung einer Brachistochrone :

Parameterdarstellung einer Brachistochrone:

$\xi =\xi (\psi (t))=R\cdot (\psi (t)-sin(\psi (t))$

$\eta =\eta (\psi (t))=R\cdot (cos(\psi (t)-1)$

Es gilt allgemein, falls wie üblich ${\dot {}}$ die Ableitung nach der Zeit und ' die Ableitung nach $\psi$ bezeichnen:

$(2)~~~~~{\dot {\xi }}={\frac {d}{dt}}\xi (\psi (t))={\frac {d\xi }{d\psi }}\cdot {\frac {d\psi }{dt}}=\xi '\cdot {\dot {\psi }}$

$(3)~~~~~{\dot {\eta }}={\frac {d}{dt}}\eta (\psi (t))={\frac {d\eta }{d\psi }}\cdot {\frac {d\psi }{dt}}=\eta '\cdot {\dot {\psi }}$

Aufstellen der Lagrangefunktion

1. Kinetische Energie:

$T={\frac {m}{2}}\cdot ({\dot {\xi }})^{2})+({\dot {\eta }})^{2}$

$T={\frac {m}{2}}\cdot (({\xi '})^{2}+(\eta ')^{2})\cdot ({\dot {\psi }})^{2}$ Einsetzen aus (2) und (3)

2. Lageenergie:

Bezeichnet g wieder die Fallbeschleunigung, dann gilt:

$U=m\cdot g\ \cdot \eta (\psi (t))$

3. Lagrangefunktion:

$L=T-U$

$L={\frac {m}{2}}\cdot (({\xi '})^{2}+(\eta ')^{2})\cdot ({\dot {\psi }})^{2}-m\cdot g\ \cdot \eta (\psi (t))$

4. Bewegungsgleichung herleiten:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \psi }}$

4.1 Linke Seite der Bewegungsgleichung:

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}={\frac {\partial }{\partial {\dot {\psi }}}}({\frac {m}{2}}\cdot (({\xi '})^{2}+(\eta ')^{2})\cdot ({\dot {\psi }})^{2}-m\cdot g\ \cdot \eta (\psi (t)))$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}={\frac {m}{2}}\cdot (({\xi '})^{2}+(\eta ')^{2}){\frac {\partial }{\partial {\dot {\psi }}}}\cdot ({\dot {\psi }})^{2}$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}=m\cdot (({\xi '})^{2}+(\eta ')^{2})\cdot {\dot {\psi }}$

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}=m\cdot [(({\xi '})^{2}+(\eta ')^{2})\cdot {\frac {d}{dt}}{\dot {\psi }}+{\dot {\psi }}\cdot {\frac {d}{dt}}(({\xi '})^{2}+(\eta ')^{2})]$ (Produktregel)

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}=m\cdot [(({\xi '})^{2}+(\eta ')^{2})\cdot {\ddot {\psi }}+{\dot {\psi }}\cdot (2\cdot ({\xi '})\cdot (\xi '')\cdot {\dot {(\psi )}}+2\cdot (\eta ')\cdot (\eta '')\cdot {\dot {\psi }})]$

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}=m\cdot [(({\xi '})^{2}+(\eta ')^{2})\cdot {\ddot {\psi }}+2\cdot (({\xi '})\cdot (\xi '')+(\eta ')\cdot (\eta ''))\cdot ({\dot {\psi }})^{2}]$

4.2 Rechte Seite der Bewegungsgleichung:

${\frac {\partial L}{\partial {\psi }}}={\frac {\partial }{\partial {\psi }}}({\frac {m}{2}}\cdot (({\xi '})^{2}+(\eta ')^{2})\cdot ({\dot {\psi }})^{2}-m\cdot g\ \cdot \eta (\psi (t)))$

${\frac {\partial L}{\partial {\psi }}}={\frac {m}{2}}\cdot ({\dot {\psi }})^{2}\cdot (2\cdot ({\xi '})\cdot (\xi '')+2\cdot (\eta ')\cdot (\eta ''))-m\cdot g\ \cdot (\eta ')$

${\frac {\partial L}{\partial {\psi }}}=m\cdot [({\dot {\psi }})^{2}\cdot (({\xi '})\cdot (\xi '')+(\eta ')\cdot (\eta ''))-g\cdot (\eta ')]$

4.3 Bewegungsgleichung aus ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \psi }}$ herleiten:

$m\cdot [(({\xi '})^{2}+(\eta ')^{2})\cdot {\ddot {\psi }}+2\cdot ({\dot {\psi }})^{2}\cdot (({\xi '})\cdot (\xi '')+(\eta ')\cdot (\eta ''))]=m\cdot [({\dot {\psi }})^{2}\cdot (({\xi '})\cdot (\xi '')+(\eta ')\cdot (\eta ''))-g\cdot (\eta ')]~~~~~~|:m$

$(({\xi '})^{2}+(\eta ')^{2})\cdot {\ddot {\psi }}+2\cdot (({\xi '})\cdot (\xi '')+(\eta ')\cdot (\eta ''))\cdot ({\dot {\psi }})^{2}=(({\xi '})\cdot (\xi '')+(\eta ')\cdot (\eta ''))\cdot ({\dot {\psi }})^{2}-g\cdot (\eta ')~~~~~~|-(({\xi '})\cdot (\xi '')+(\eta ')\cdot (\eta ''))\cdot ({\dot {\psi }})^{2}+g\cdot (\eta ')$

Ergebnis: Die Differentialgleichung für den Parameter $\psi =\psi (t)$ lautet:

$(({\xi '})^{2}+(\eta ')^{2})\cdot {\ddot {\psi }}+(({\xi '})\cdot (\xi '')+(\eta ')\cdot (\eta ''))\cdot ({\dot {\psi }})^{2}+g\cdot (\eta ')=0$