Aufgabensammlung Physik: Lagrange Bewegungsgleichungen eines sphärischen Pendels

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Bewegungsgleichung einer freien Teilchens mit der Lagrange Gleichung[Bearbeiten]

Ein Pendel bewege sich im festen Abstand in der der x,y,z-Ebene.

Skizze eines sphärischen Pendels

Berechne die Bewegungsgleichung eines sphärischen Pendels, mithilfe der Lagrangen-Bewegungsgleichung.


Aufstellen der Lagrangen-Bewegungsgleichungen[Bearbeiten]

Das System hat eine Zwangsbedingung:

Wir finden daher generalisierte Koordinaten.

Da sich das Teilchen auf einer Kugeloberfläche mit dem festen Abstand vom Nullpunkt.

Daher wählt man als generalisierte Koordinaten die beiden Winkel und , und schreibt in Kugelkoordinaten:

Nun stellt man die kinetische Energie als Funktion von , , und dar.


Nebenrechnungen

Berechne

sphärisches Pendel mit dem Winkel


Die potentielle Energie wird wie folgt in generalisierten Koordinaten ausgedrückt:

Die Lagrange Funktion lautet also:

Berechnen der generalisierten Bewegungsgleichnungen[Bearbeiten]

Berechnet man nun also die Lagrangefunktion, so ergeben sich daraus die generalisierten Bewegungsgleichungen:

(1) - z-Komponente des Drehimpulses , die Winkelgeschwindigkeit bleibt konstant. Wird kleiner, so muss größer werden, um den Term konstant zu halten. Da der Ausdruck konstant ist, kann das Pendel, in diesem reibungsfreien Fall niemals den z-Nullpunkt durchlaufen - der Drehimpuls bleibt also erhalten.

Wir formen die z-Komponente des Drehimpulses nach so um, das man sie in die -Bewegungsgleichung einsetzen kann, sodass diese keine -Abhängigkeit mehr hat.

Diese Differentialgleichung 2ter Ordnung könnte nun z. B. numerisch per Computer gelöst werden.

Bestimmt man so , so kann damit durch einsetzen in Gleichung (1) auch bestimmt werden, sodass so der genaue Ortsvektor des Teilchens zu jedem Zeitpunkt bestimmt werden kann.