Aufgabensammlung Physik: Teilchen auf einem Ring

Teilchen auf einem Ring

Ein Teilchen bewege sich kräftefrei auf einem Ring der Länge L, wobei die Krümmung der Bahn vernachlässigt werden soll.

1. Was ändert sich im Vergleich zu dem Modell des unendlich hohen Potentialtopfes?
2. Bestimme die Eigenenergien und Eigenfunktionen

Lösung der Aufgabe 1

Das Modell besitzt die Hamiltonfunktion ${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}$ auf dem Intervall $\left[-L/2,L/2\right]$. Da die Wellenfunktion glatt ist bei $\pm L/2$, folgen die beiden Randbedingungen:

$\psi \left(-{\frac {L}{2}}\right)=\psi \left({\frac {L}{2}}\right)$ und $\psi ^{'}\left(-{\frac {L}{2}}\right)=\psi ^{\prime }\left({\frac {L}{2}}\right)$

Lösung der Aufgabe 2

Die Schrödinger-Gleichung lautet in diesem Fall:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ^{''}(x)=E\,\psi (x)$

Wir wählen folgenden Ansatz mit $k={\sqrt {2mE}}/\hbar ^{2}$:

$\psi (x)=A\cos(kx)+B\sin(kx)$

Damit folgt für die Randbedingungen:

$A\cos({\frac {kL}{2}})-B\sin({\frac {kL}{2}})=A\cos({\frac {kL}{2}})+B\sin({\frac {kL}{2}})$

$Ak\sin({\frac {kL}{2}})+Bk\cos({\frac {kL}{2}})=-Ak\sin({\frac {kL}{2}})+Bk\cos({\frac {kL}{2}})$

Dies reduziert sich auf die beiden Bedingungen

$B\sin({\frac {kL}{2}})=0$ und $Ak\sin({\frac {kL}{2}})=0$

Wir schließen den trivialen Fall $k=0$ aus. Da im Allgemeinen $A,B\neq 0$ folgt $\sin({\frac {kL}{2}})=0$ und damit:

${\frac {kL}{2}}=n\pi \rightarrow k={\frac {2\pi n}{L}}$ mit $n=1,2,3...$

Die Eigenenergien lauten somit

$E_{n}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {2\pi n}{L}}\right)^{2}$

und für jeden Wert der Quantenzahl $n$ existieren zwei linear unabhängige Lösungen proportional zu

$\sin \left({\frac {2\pi n}{L}}x\right)$ und $\cos \left({\frac {2\pi n}{L}}x\right)$

Anmerkung zu Lösungsraum und Lösung mit Fourier-Reihe

Eine Operatorgleichung wie die Schrödinger-Gleichung bedingt bestimmte Eigenschaften für ihre Lösung (bspw. Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Periodizität). Dadurch wird der Raum möglicher Lösungen (hier Wellenfunktionen) eingeschränkt. In der obigen Darstellung ist bspw. $\psi \in L_{2}(0,L).$

Unter der Annahme, dass $\psi _{t}\in C_{p}^{2}(0,L)$ mit $C_{p}^{2}(0,L)\subset L_{2}(0,L)$ kann die Wellenfunktion mittels der Fourier-Reihe geschrieben werden

$\psi _{t}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\alpha _{n}(t)e^{i{\frac {2\pi }{L}}nx}\forall x.$

Dabei sind $\alpha _{n}(t)$ die Fourierkoeffizienten

$\alpha _{n}(t)=\int _{-L/2}^{L/2}\psi _{t}(x)e^{-i{\frac {2\pi }{L}}nx}dx.$

Dann kann die Schrödinger-Gleichung zu einer Gleichung für die Fourier-Koeffizienten umgeschrieben als

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(i{\dot {\alpha }}_{n}(t)-{\frac {\hbar 2\pi ^{2}n^{2}}{mL^{2}}}\alpha _{n}(t)\right)e^{i{\frac {2\pi }{L}}nx}=0$

Über die Eindeutigkeit der Fourier-Koeffizienten wird diese vereinfacht zu

$i{\dot {\alpha }}_{n}(t)-{\frac {\hbar 2\pi ^{2}n^{2}}{mL^{2}}}\alpha _{n}(t)=0.$

Die Lösung hat dann die Form

$\psi _{t}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\alpha _{n}(t)~e^{-i{\frac {2\pi ^{2}\hbar }{mL^{2}}}n^{2}t}~e^{i{\frac {2\pi }{L}}nx}.$