Aufgabensammlung Physik: Teilchen auf schiefer Ebene mit Lagrangen Multiplikatoren

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Teilchen auf schiefer Ebene mit Lagrangen Multiplikatoren[Bearbeiten]

Berechne mithilfe der Methode der Lagrangen Multiplikatoren, der Lagrange-Gleichungen 1. Art, die Bewegungsgleichung des Teilchens auf der schiefen Ebene und die Zwangskräfte des Systems.

Lösungshinweise[Bearbeiten]

Für die Lösung der Aufgabe müssen 3N+s Gleichungen aufgestellt werden: Zum einen die Zwangsbedingungen des Systems, und die daraus folgenden Lagrange Gleichungen 1. Art.

Aufstellung der Gleichungen[Bearbeiten]

Die Zwangsbedingungen des Systems:

  • (1.)
  • (2.)

Die sich ergebenden Lagrangegleichungen 1. Art  :

  • (3.)
  • (4.)
  • (5.)

Bestimmen der Unbekannten[Bearbeiten]

Mithilfe dieser Gleichungen bestimmen wir nun die Unbekannten des Systems  :

Berechnen von mit Gleichung 2. und 5.:

Berechnen von mit Gleichung 3. und 4.:

Wir multiplizieren:

Mit Gleichung 1. kann gezeigt werden:

Also:

So lässt sich die Zwangskraft berechnen:

Berechnen der Bewegungsgleichungen mit Gleichungen 3. und 4.

Wir führen eine neue Variable ein.

Lösung der DGL 2. Ordnung ergibt: Wie jede DGL, ist diese erst durch die 2 Randbedingungen und bestimmt. Setzen wir für wieder die ursprünglichen Koordinaten, können wir Gleichung 1. nutzen, um die Gleichung noch nach x oder y aufzulösen.