Bauelemente: Band 1: Physikalische Grundlagen

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In diesem Kapitel sollen zumindest die wichtigsten Begriffe und Zusammenhänge kurz dargestellt werden, welche für ein grundsätzliches Verständnis der in diesem Buch behandelten Bauelemente unbedingt notwendig sind. Es wird davon ausgegangen, dass der Leser wenigstens Grundkenntnisse der Physik und Mathematik mitbringt. Die folgenden Abschnitte haben demnach Wiederholungscharakter und können nur bereits vorhandenes Wissen eventuell ergänzen. Weniger fachkundigen Lesern soll damit zumindest das prinzipielle Verständnis des Buches ermöglicht werden. Es wird ein Weg gezeigt, wie man sich mit den dargestellten Themen auseinandersetzen könnte. Um Umfang und Übersicht zu wahren, wird daher auf die Teile der dargestellten Sachverhalte verzichtet, welche für das Thema keinen direkten Gewinn darstellen.

Elektrische Ladung

Die elektrische Ladung ist eine grundlegende Eigenschaft der Materie - genauer die der Elektronen und Protonen.

Die Si-Einheit der elektrischen Ladung Q (engl. „Quantum“ = Menge) ist das Coulomb:

$[Q]=C\,$

Nun soll geklärt werden wie das Coulomb definiert ist:

Ein Elektron hat die feste Ladung -e = -1,602·10^-19 C, das Proton entsprechend e = 1,602·10^-19 C. Ist ein Körper elektrisch neutral, so befinden sich in ihm gleich viele Elektronen und Protonen. Beispiel:

$10\cdot (+e)+10\cdot (-e)=0\,$

Ihre elektrische Wirkung hebt sich nach außen also genau auf.

Das Elektron bewegt sich um den Atomkern und ist in Leitern beweglich. Das Proton dagegen ist normalerweise fest im Atomkern gebunden. Ist ein Körper elektrisch geladen, so kann das praktisch als Unter- oder Überzahl an Elektronen interpretiert werden. Fehlt im obrigen Beispiel ein Elektron, so ist der Körper positiv geladen:

$10\cdot (+e)+9\cdot (-e)=e\,$

Der Körper wäre negativ geladen, wenn er mindestens ein Elektron mehr enthielt als Protonen:

$10\cdot (+e)+11\cdot (-e)=-e\,$

Die elektrische Ladung tritt also nur als Vielfaches von e = 1,602·10^-19 C auf und könnte daher als Anzahl an überschüssigen bzw. fehlenden Elektronen betrachtet werden. Da man zu der Zeit, als man die elektrische Ladung definierte, noch keine Elektronen und Protonen kannte, musste man einen anderen Weg wählen: Bereits definiert und messbar waren das Ampere und die Sekunde. Das Coulomb definierte man als die Ladung, welche bei einem konstanten Strom von 1A in einer Sekunde fließt bzw. gespeichert werden kann:

$[Q]=C=As\,$

Diese Vorgehensweise stiftet dann etwas Verwirrung, wenn man sie mit der Messung einer Flüssigkeitsmenge vergleicht. Hier wird umgekehrt vorgegangen: Der "Durchfluss" durch eine Leitung wird in Volumen pro Zeiteinheit angegeben - die „gesammelte Menge“ bildet also die Grundlage.

Influenz

Das Wort „Influenz“ (lat. für „Beeinflussung“) steht für die gegenseitige Beeinflussung von Ladungen bzw. geladenen Körpern.

Negative Ladungen stoßen andere negative Ladungen ab und werden gleichzeitig selbst abgestoßen. Für positive Ladungen gilt das gleiche. Lediglich positive und negative Ladungen ziehen sich gegenseitig an, d. h. die Positive zieht die Negative an während die Negative die Positive anzieht.

Elektrisches Feld

Eine elektrische Ladung übt also irgendwie eine Kraft auf andere Ladungen in der Umgebung aus. Um diese Wirkung der Ladung beschreiben zu können, kann man die Wirkung geladener Körper mit einer so winzigen Probeladung q messen, dass sie nicht groß genug ist, die wesentlich größere Ladung merklich zu beeinflussen.

Wenn man die Kraft auf die Probeladung q an verschiedenen Stellen um eine Ladung herum prüft, wird man feststellen, dass die Kraft verschiedene Richtungen und Beträge in Abhängigkeit des Ortes hat.

Um diesen Zusammenhang anschaulich zu dokumentieren, zeichnet man Pfeile, welche den Weg anzeigen, auf welchem sich eine positive Probeladung bewegt, wenn sie denn auf einer Stelle des Pfeiles losgelassen würde. Man nennt diese virtuellen Flugbahnen "Feldlinien" oder auch "Kraftlinien". Der Bezug der Feldlinien auf die Kraft an einer positiven Probeladung wurde willkürlich gewählt - hätte man sich für eine negative Ladung entschieden, so verliefen die Feldlinien in umgekehrter Richtung. Legt man eine Tangente an eine gewählte Stelle, so erhält man (definitionsgemäß) die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung, aber nicht deren "Stärke". Die Größe der Kraft erkennt man qualitativ an der "Dichte" der Feldlinien um den gewählten Raumpunkt.

Macht man viele solcher Messungen um den geladenen Körper, so erhält man ein Bild der Wirkung auf Probeladungen in der Umgebung. Diese "Wirkung auf die Probeladung in der Umgebung" wird als "elektrisches Feld" bezeichnet.

Die elektrischen Feldlinien sind eine qualitative grafische Veranschaulichung des elektrischen Feldes. Es wird zunächst jeweils eine positive und negative kugelförmige Ladung, welche voneinander völlig getrennt sind, betrachtet:

Zum Verständnis 5 wichtige Hinweise:

Eine elektrische Feldlinie verläuft immer von einer positiven zu einer negativen Ladung. Für eine einzelne Kugelladung endet sie theoretisch nie.

Die Skizze zeigt zwei Punktladungen, bei welchen die nächste Ladung im Verhältnis zur räumlichen Größe des geladenen Objektes so weit entfernt sind, dass sie das Feld der dargestellten Ladung noch nicht merklich beeinflussen.

Man könnte annehmen, die elektrischen Feldlinien würden sich abstoßen.

Die Feldlinien treten immer senkrecht zur Oberfläche eines geladenen Körpers aus.

Das Feld wird mit zunehmender Entfernung schwächer - was durch die sinkenden Dichte der Feldlinien dargestellt ist. Dieser Umstand ist plausibel, wenn man sich wieder vorstellt eine positive Probeladung in das Feld zu bringen...

Elektrische Feldstärke

Eine elektrische Ladung übt also irgendwie eine Kraft auf andere Ladungen in der Umgebung aus. Um diese Wirkung der Ladung beschreiben zu können, kann man die Wirkung geladener Körper mit einer so winzigen Probeladung q₀ messen, dass sie nicht groß genug ist, die wesentlich größere Ladung merklich zu beeinflussen. Experimentell kann man feststellen, das mit steigender Probeladung q₀ die Kraftwirkung proportional ansteigt:

$F=x\cdot q_{0}\,$

Der fehlende Proportionalitätsfaktor ist die elektrische Feldstärke E:

$F=E\cdot q_{0}\,$

Die elektrische Feldstärke, welche auf die Probeladung wirkt, kann leicht berechnet werden, indem man die vorangegangene Gleichung umstellt:

$E={\frac {F}{q_{0}}}$

E = elektrische Feldstärke
F = Kraft auf Probeladungskörper
q₀ = Probeladung

Aus dieser Gleichung folgt die Einheit der elektrischen Feldstärke E:

$[E]={\frac {N}{C}}$

Der Plattenkondensator

Eine wichtige Versuchsanordnung, anhand welcher typischerweise das elektrische Feld und die Kapazität diskutiert werden, ist der Plattenkondensator.

Das Funktionsprinzip eines Kondensators kann sehr anschaulich mit der nebenstehenden Versuchsanordnung dargestellt werden:

Der Kondensator wird durch zwei elektrisch leitende Platten (z. B. aus Eisen) der Fläche A mit dem Abstand d aufgebaut. Man bezeichnet diese einfachste Bauform eines Kondensators als "Plattenkondensator".

Weiter besteht die Anordnung aus einer Gleichspannungsquelle (praktisch: "Netzgerät"), einem Schalter und dem Widerstand R, welcher mindestens den Widerstand der Leitungen repräsentiert.

Wird der Schalter geschlossen, fließt für kurze Zeit ein Strom, obwohl der Stromkreis zwischen den beiden Platten der Kondensatoranordnung unterbrochen ist.

Um die Erklärung dafür anschaulich zu gestalten, wird die Darstellung der Platten des Kondensators auf 2 Dimensionen reduziert. Der übrige Aufbau ist zunächst weniger bedeutend und wird deshalb nicht dargestellt:

Auf beiden Platten des Kondensators sind gleich viele positive und negative Ladungen: Es gibt genau so viele Elektronen wie Protonen in den Atomkernen.

Man kann sich das so vorstellen, das sich die elektrischen Wirkungen der Ladungsträger gegenseitig aufhebt.

Die beiden Kondensatorplatten sind daher elektrisch neutral.

Um die Übersichtlichkeit der Skizze zu erhalten, werden nur Ladungsträger dargestellt, welche in der Überzahl sind. Das sind zunächst gar keine, weshalb die Skizze nun zwei leere Platten zeigt.

Wird der Schalter umgelegt, werden der rechten Seite durch die positive Spannung Elektronen entzogen und der linken Platte durch die negative Spannung gleich viele Elektronen zugeführt.

Von außen betrachtet, sieht es so aus, als ob der Strom durch den Kondensator „hindurchfließen“ würde.

Die positiven und negativen Ladungsträger ziehen sich natürlich an (bzw. die Elektronen auf der rechten Seite werden verdrängt). Demnach konzentrieren sich die Ladungen an der Oberfläche zueinander, weshalb für die "Platten" des Kondensators eine hauchdünne Folie genügt.

Während sich die Elektronen bewegen, wird zwischen den Platten solange eine elektrische Spannung aufgebaut, bis die Spannung über dem Kondensator gleich der Spannung aus der Spannungsquelle ist.

Der Schalter wird nun umgeschaltet, so dass der Kondensator zur einzigen Spannungsquelle in der Schaltung wird.

Der Kondensator wirkt nun wie eine winzige Batterie. Er entlädt sich, d. h. der Strom fließt in umgekehrter Richtung.

Der Entladevorgang ist abgeschlossen, wenn die Kondensatorplatten wieder elektrisch neutral sind bzw. sich keine überschüssigen Ladungsträger mehr auf den Platten befinden.

Wird der Schalter wieder umgelegt, so wird der Kondensator erneut geladen. Der dargestellte Vorgang kann beliebig oft wiederholt werden.

Elektrisches Feld und Elektrische Feldlinien

Wenn man die Kraft auf die Probeladung q₀ an verschiedenen Stellen um eine Ladung herum prüft, wird man feststellen, dass die Kraft verschiedene Richtungen und Beträge in Abhängigkeit des Ortes hat.

Um diesen Zusammenhang anschaulich zu dokumentieren, zeichnet man Pfeile, welche den Weg anzeigen, auf welchem sich eine positive Probeladung bewegt, wenn sie denn auf einer Stelle des Pfeiles losgelassen würde. Man nennt diese virtuellen Flugbahnen "Feldlinien" oder auch "Kraftlinien". Der Bezug der Feldlinien auf die Kraft an einer positiven Probeladung wurde willkürlich gewählt - hätte man sich für eine negative Ladung entschieden, so verliefen die Feldlinien in umgekehrter Richtung. Legt man eine Tangente an eine gewählte Stelle, so erhält man (definitionsgemäß) die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung, aber nicht deren "Stärke".

Die Größe der Kraft erkennt man qualitativ an der "Dichte" der Feldlinien um den gewählten Raumpunkt.

Macht man viele solcher Messungen um den geladenen Körper, so erhält man ein Bild der Wirkung auf Probeladungen in der Umgebung. Diese "Wirkung auf die Probeladung in der Umgebung" wird als "elektrisches Feld" bezeichnet.

Die elektrischen Feldlinien sind eine qualitative grafische Veranschaulichung des elektrischen Feldes.

Um die Eigenschaften des elektrischen Feldes zwischen den Platten eines Kondensators ein wenig zu verstehen, wird zunächst jeweils eine positive und negative kugelförmige Ladung, welche voneinander völlig getrennt sind, betrachtet:

Zum Verständnis 5 wichtige Hinweise:

Eine elektrische Feldlinie verläuft immer von einer positiven zu einer negativen Ladung. Für eine einzelne Kugelladung endet sie theoretisch nie.

Die Skizze zeigt zwei Punktladungen, bei welchen die nächste Ladung im Verhältnis zur räumlichen Größe des geladenen Objektes so weit entfernt sind, dass sie das Feld der dargestellten Ladung noch nicht merklich beeinflussen.

Man könnte annehmen, die elektrischen Feldlinien würden sich abstoßen.

Die Feldlinien treten immer senkrecht zur Oberfläche eines geladenen Körpers aus.

Das Feld wird mit zunehmender Entfernung schwächer - was durch die sinkenden Dichte der Feldlinien dargestellt ist. Dieser Umstand ist plausibel, wenn man sich wieder vorstellt eine positive Probeladung in das Feld zu bringen...

Unter diesen Gesichtspunkten, sollen statt einzelner Ladungen die Felder der Kondensatorplatten getrennt betrachtet werden:

Es wird nur der Bereich sehr dicht an den Platten betrachtet. Mit zunehmender Entfernung stellt man fest, dass sich das Feld der Kondensatorplatten immer weniger von dem einer kugelförmigen Ladung unterscheidet.

Bei der Interpretation von elektrischen Feldlinien sind also die räumlichen Maßstäbe zu beachten...

Jetzt werden die zwei Kondensatorplatten zum Kondensator zusammengefügt. Die Skizze zeigt die wesentlichen Eigenschaften des sich dabei ergebenden Feldes, welches im folgenden etwas näher erläutert wird:

Die Felder löschen sich außerhalb des Zwischenraumes weitestgehend aus: So drückt auf der linken Seite die positive Ladung mit der Kraft F₊ die Probeladung weg, während die negative Ladung sie nur geringfügig schwächer mit F_- anzieht. In der Summe ist die resultierende Kraft und damit die Feldstärke praktisch Null.

Zwischen den beiden Kondensatorplatten drückt die positive Ladung die Probeladung weg, wobei die Negative sie anzieht. Beide Kräfte wirken in Richtung der negativ geladenen Seite - sie addieren sich. Die resultierende Kraft und damit das elektrische Feld ist im inneren also stärker.

Denkt man weiter über das Innere nach, so wird man sogar zu dem Schluss kommen, dass die Kraft auf die Probeladung bzw. das elektrische Feld an jeder Stelle gleich stark ist: In der Mitte ziehen bzw. drücken beide Ladungen gleich stark an der Probeladung. Nach links zieht sie zwar die negative Platte weniger stark an, dafür stößt sie die positive Seite im gleichen Maße stärker ab.

Das offensichtlich gleichmäßige Feld zwischen den Kondensatorplatten wird als "homogenes Feld" bezeichnet.

Geht man von sehr großen Flächen aus, so nimmt man sie als unendlich groß an. Damit wird das Feld an den Rändern der Kondensatorplatten vernachlässigt. Weiter kann theoretisch nachgewiesen werden, dass sich die Felder außerhalb des Raumes zwischen den Platten dann gegenseitig vollständig auslöschen. Daher vereinfacht man die Darstellung des Feldes auf das wesentliche Feld zwischen den Platten des Kondensators:

Flächenladungsdichte

Da sich Ladungen gleicher Art gegenseitig abstoßen, verteilen sie sich gleichmäßig auf den Platten des Kondensators. Weiter sammeln sich - wie bereits erwähnt - die Ladungen an der Oberfläche der Kondensatorplatten bzw. Folien. Die Ladung pro Fläche wird als "Flächenladungsdichte" bezeichnet und wird bei weiteren Herleitungen nützlich sein:

$\sigma ={\frac {Q}{A}}$

σ (klein Sigma) = Flächenladungsdichte
Q = Ladung
A = Fläche

Die Einheit ergibt sich aus der Definition:

$[\sigma ]={\frac {C}{m^{2}}}$

Elektrische Feldkonstante

Die elektrische Feldstärke ist im inneren des Plattenkondensators konstant. Es ist einsehbar, dass es einen Zusammenhang zwischen der Ladung des Kondensators und der elektrischen Feldstärke geben muss, da die Ladung offensichtlich die Ursache des elektrischen Feldes ist.

Würde man einen Plattenkondensator und Luft zwischen den Feldplatten mit verschiedenen Ladungsmengen "füttern" und daraufhin jeweils die Ladung pro Fläche und die elektrische Feldstärke zwischen den Platten messen, so müsste man feststellen, dass es einen Zusammenhang in der Form

σ = x·E

gibt. Nach vielen Messungen an verschiedenen Versuchsaufbauten stellt man leicht fest, dass die Proportionalitätskonstante x immer gleich ist.

x wird daher "Elektrische Feldkonstante"

ε₀ = 8,854·10^-12 C/Vm

genannt und bekommt als Formelzeichen ein kleines Epsilon mit dem Index 0 zugewiesen. Der Index 0 wird im folgenden noch erklärt...

Die Einheit ergibt sich durch Umstellen der oben dargestellten Gleichung:

[ε₀] = [σ]/[E] = C/m² / V/m = C/Vm

Elektrische Feldstärke im Plattenkondensator

Wie durch spielen mit einem Plattenkondensator leicht nachzuweisen wäre, hängt die elektrische Feldstärke über eine einfache Beziehung von der Spannung über dem Kondensator und dem Abstand der Feldplatten ab:

E = U/d

E = Elektrische Feldstärke
U = Spannung über dem Kondensator
d = Abstand der Feldplatten

Weiter hängt die elektrische Feldstärke von der Flächenladungsdichte auf den Kondensatorplatten ab:

E = σ/ε₀

E = Elektrische Feldstärke
σ = Flächenladungsdichte
ε₀ = Elektrische Feldkonstante = 8,854·10^-12 C/Vm

Kapazität

Die Kapazität eines Kondensators gibt an, welche Ladung er pro Volt Spannung speichern kann:

C = Q/U

C = Kapazität des Kondensators (C von engl. „capacity“)
Q = gespeicherte Ladung
U = Spannung über dem Kondensator

Die Si-Einheit der Kapazität ist das Farad, welches sich aus der Definition der Kapazität ergibt:

[C] = F = C/V

Berechnung der Kapazität von Plattenkondensatoren

Die Kapazität eines Plattenkondensators kann aus folgenden Beziehungen hergeleitet werden:

$\sigma ={\frac {Q}{A}}$

$E={\frac {U}{d}}$

$E={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$

$C={\frac {Q}{U}}$

σ = Flächenladungsdichte
E = Elektrische Feldstärke
U = Spannung über dem Kondensator
A = Fläche der Feldplatten
d = Abstand der Feldplatten
ε₀ = Elektrische Feldkonstante
C = Kapazität des Kondensators
Q = Ladung

Dazu setzt man zuerst die beiden Gleichungen zur Berechnung der elektrischen Feldstärke gleich

${\frac {U}{d}}={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$

und ersetzt dann die Flächenladungsdichte definitionsgemäß:

${\frac {U}{d}}={\frac {Q}{A\epsilon _{0}}}$

Durch Umstellen der Gleichung und Vergleich mit der Definition der Kapazität folgt:

$C={\frac {\epsilon _{0}A}{d}}$

Bisher wurde stillschweigend angenommen, es befände sich Luft zwischen den beiden „Platten“ des Kondensators. Das isolierende Material, welches sich zwischen den Kondensatorplatten befindet, beeinflusst aber ggf. die Kapazität und wird als "Dielektrikum" bezeichnet.

Der Einfluss des Dielektrikums auf die Kapazität wird im dimensionslosen Faktor ε_r - der sogenannten "Permitivität" in der Gleichung berücksichtigt - woraus sich die typische Gleichung zur Berechnung der Kapazität eines Plattenkondensators ergibt:

C={\frac {\epsilon _{0}\epsilon _{r}A}{d}}

C = Kapazität des Kondensators
ε₀ = Elektrische Feldkonstante
ε_r = Permitivität
d = Abstand der Feldplatten
A = Fläche der Feldplatten

Luft beeinflusst die Kapazität so gut wie gar nicht, weshalb für diesen Fall dieser Faktor als 1 angenommen werden darf. Schiebt man aber andere Materialien zwischen die Platten bzw. Folien, so kann man leicht feststellen, dass sich die Kapazität des Kondensators ändert. Für Papier ist ε_r = 3,7. Die Kapazität gegen Luft ist mit Papier als Dielektrikum nach der oben dargestellten Gleichung daher um das 3,7fache größer. Das Dielektrikum nimmt demzufolge eine besondere Rolle ein und wird später etwas genauer untersucht...

Technische Kondensatoren sind natürlich nicht wie bisher angenommen Plattenkondensatoren. Die "Platten" werden z.B. als dünne Metallfolien implementiert und aufgerollt. Prinzipiell sind alle vorangehenden Betrachtungen jedoch nach wie vor gültig.

Aus der Gleichung zur Berechnung der Kapazität eines Plattenkondensators kann man für technische Kondensatoren zwei wichtige Zusammenhänge ableiten:

Je größer die Flächen der Platten, desto größer die Kapazität.
Je kleiner der Abstand zwischen den Kondensatorplatten, desto größer die Kapazität.

Aus den oben dargestellten Sachverhalten folgen schon einige Details:

Um große Kapazitäten auf kleinen Raum zu bringen ist man bestrebt, den Abstand der Folien möglichst klein zu wählen, da man die Fläche für kompakte Bauteile möglichst klein wählt. Das ist jedoch nur begrenzt möglich, weil das Dielektrikum in Abhängigkeit der Stärke d (Folienabstand) ab einer materialabhängigen Spannung „durchschlägt“, d.h. ein Blitz durch das Dielektrikum zieht. Meistens wird der Durchschlag den Kondensator zerstören. Beispielsweise hat Luft eine Durchschlagsfestigkeit von 3 kV/mm und Papier etwa 16 kV/mm - d.h. ein 1mm dickes Dielektrikum aus Papier wird bei einer Spannung von ungefähr 16kV von einem Blitz durchschlagen.
Um eine höhere Kapazität nicht mit der Vergrößerung des Bauteiles oder einer geringeren Spannungsfestigkeit zu bezahlen, ist man natürlich bestrebt ein Dielektrikum mit einer möglichst großen Permitivität zu wählen.

Schon aus diesen einfachen Überlegungen ergeben sich erstaunlich viele Freiheitsgrade bei der Konstruktion eines Kondensators.

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