Benutzer:Arbol01/Ableitung x2

Dies ist eine Arbeitsversion!

Funktion: $y=x^{2}$

---

Methode1:
$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}$

$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}$

Zähler und Nenner werden mit $(x+x_{0})$ erweitert:

$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {(x^{2}-x_{0}^{2})(x+x_{0})}{(x-x_{0})(x+x_{0})}}$

$(x-x_{0})(x+x_{0})=x^{2}-x_{0}^{2}$

$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {(x^{2}-x_{0}^{2})(x+x_{0})}{x^{2}-x_{0}^{2}}}$

$x^{2}-x_{0}^{2}$ wird herausgekürzt

$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {x+x_{0}}{1}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}x+x_{0}$

$y'={\frac {dy}{dx}}=2x_{0}$

---

Methode2:
${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}$



${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}$

Die Binomische Formel wird aufgelöst

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}$

die beiden $x^{2}$ neutralisieren sich gegenseitig

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}$

Das h wird weggekürzt

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2x+h}{1}}$

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}2x+h$

${\frac {d}{dx}}f(x)=2x$

---

Methode 2b:
$y=x^{2}\$

$y+\delta y=(x+\delta x)^{2}\$

$\delta y=(x+\delta x)^{2}-x^{2}\$

$\delta y=x^{2}+2x\delta x+\delta x^{2}-x^{2}\$

$\delta y=2x\delta x+\delta x^{2}\$

${\frac {\delta y}{\delta x}}=2x+\delta x$

$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{\delta x\rightarrow 0}{\frac {\delta y}{\delta x}}=2x+\delta x$

$y'={\frac {dy}{dx}}=2x$

---

Methode3:
$y=x^{2}\$

${\sqrt {y}}=x$

$y'{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}=1$

$y'=2{\sqrt {y}}$

$y'=2x\$

---

Methode4:
$y=x\cdot x$

$y'=1\cdot x+x\cdot 1$

$y'=2x\$