Benutzer:Arbol01/Diverses

Für eine natürliche Zahl n gilt $a^{\lambda (n)}\equiv 1\mod n$ für jede natürliche Zahl a mit $1\leq a<n$ die zu n teilerfremd sind.

Eine Carmichael-Zahl ist eine zuammengesetzte, natürliche Zahl n für die gilt, das für jede natürliche Zahl a mit $1\leq a<n$ die zu n teilerfremd $a^{n-1}\equiv 1\mod n$ ist.

Mein Verdacht ist nun, das eine zusammengesetzte, natürliche Zahl n nur dann eine Carmichael-Zahl ist, wenn (n-1) ein vielfaches von $\lambda (n)$ ist, bzw. wenn $\lambda (n)$ die Zahl (n-1) teilt. --Arbol01 14:41, 2. Sep 2005 (CEST)

Ist $n$ eine Carmichael-Zahl und $0<r<\lambda (n)$ der Rest von $n-1$ modulo $\lambda (n)$, so gilt $a^{r}\equiv 1\mod n$ für jeden teilerfremden Rest $a$, im Widerspruch zur Definition von $\lambda (n)$.--Gunther 14:45, 2. Sep 2005 (CEST)

Soll das jetzt Positiv oder negativ gemeint sein? 560 / 80 = 7 ; 1104 / 48 = 23 ; 1728 / 36 = 48 ; 2464 / 112 = 22

So weit ich sehen kann, gibt es bei Carmichaelzahlen keine rest r wenn man n-1 / lambda(n) teilt. --Arbol01 16:19, 2. Sep 2005 (CEST)

Nachtrag: Ich sehe mal die Aussage als Bestätigung an, da die Carmichael-Zahl als Ergebnis die kleinste narürliche Zahl m zurückliefert, für die $a^{m}\equiv 1\mod n$ gilt. Es kann also keine kleinere Zahl r mehr geben. --Arbol01 16:25, 2. Sep 2005 (CEST)

Ja, genau. Wäre der Rest $r$ positiv, so ergäbe sich der o.g. Widerspruch.--Gunther 16:57, 2. Sep 2005 (CEST)

Noch einen kleinen Nachschlag: Wenn $c-1=\lambda (c)\cdot d$ ist, was ist dann $d\$. Ich vermute, folgende Formel ist gültig: $d=\operatorname {ggT} \left({\frac {c-1}{p_{1}-1}},{\frac {c-1}{p_{2}-1}},...,{\frac {c-1}{p_{n}-1}}\right)$ für die Carmichaelzahl $c=p_{1}\cdot p_{2}\cdot ...\cdot p_{n}$. --Arbol01 16:50, 3. Sep 2005 (CEST)

Ja, aus $\lambda (c)=\operatorname {kgV} \{p_{i}-1\mid i=1,\ldots ,n\}$ folgt

$d={\frac {c-1}{\operatorname {kgV} \{p_{i}-1\mid i=1,\ldots ,n\}}}=\operatorname {ggT} {\Big \{}{\frac {c-1}{p_{i}-1}}\,{\Big |}\,i=1,\ldots ,n{\Big \}}.$

--Gunther 17:12, 3. Sep 2005 (CEST)