Ein Denkfehler den man bei Gleichungen machen kann ist, den Teil, den man auf der einen Seite abzuziehen, auf der anderen Seite zu addieren:
Das ist falsch, kann aber, als pseudologischer Schluß (Prinzip der Wippe), sich festsetzen, und ist nur schwer wieder zu beseitigen.
Um diesen Fehler zu beseitigen, oder gar nicht erst aufkommen zu lassen, kann man das Prinzip der Waage benutzen: Eine Gleichung liegt im Gleichgewicht. Um das gleichgewicht nicht zu stören, muß auf beiden Seiten das Gleiche addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden:
Wenn man das beherrscht, kann man die Zwischenschritte weglassen:
Häufig ist es sinnvoll, die Formeln nicht als eine Ansammlung von Symbolen zu betrachten, sondern als Ganzes. Gruppierungen von Buchstaben werden auch als Worte gesehen, und nicht als Anhäufungen von Buchstaben. Wenn man Stuhl, Hund, Auto, Ball liest, weiß man genau, welche Bedeutungen diese Wörter hat. man hat die Gegenstände dazu im Gedächnis parat. So ähnlich muß man das mit Formeln sehen:
ist die erste binomische Formel, auch wenn hier statt und , und stehen.
ist die Formel für Dreieckszahlen, auch wenn man und erwartet.
Die Umstellung von Formeln läuft mehr oder weniger nach den gleichen Regeln, wie das Lösen einer Gleichung: Die Formel befindet sich im Gleichgewicht (auch wenn kein Gleichheitszeichen vorhanden ist), und soll im Gleichgewicht bleiben.
Drei Beispiele dazu:
man will zeigen, das die Summe zweier Dreieckzahlen ein Quadrat ergeben:
man will die allgemeine Lösung des zweiten Glieds der allgemeinen Lucas-Folge bestimmen:
: Dritte binomische Formel
: Oben und unten durch teilen
man will die erste Ableitung von besrechnen:
Hier wird das umgekehrte Prinzip angewendet: Man ergänzt durch Multiplikation mit zur dritten Binomischen Formel . Zähler und Nenner werden mit erweitert:
