Benutzer:Arbol01/Fibonacci-Folgen

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Unter Fibonacci-Folgen verstehen wir Folgen mit der rekursiven Bildungsregel $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}\$, also das Glied einer Fibonacci-Folge ist die Summe der beiden Vorgänger. Man kann die Bildungsregel auch umdrehen, und schreiben $a_{n}=a_{n+2}-a_{n+1}\$.

Das reicht natürlich nicht zur Bildung einer expliziten Folge. Es fehlen noch zwei "Startwerte". Am bekanntesten ist die namensgebende Folge, mit den Startwerten $a_{0}=0\$ und $a_{1}=1\$, die folgende Folge erzeugt: $0,1,1,2,3,5,8,13,21,...\$. Nicht ganz so bekannt ist die als Lucas-Folge bekannte Folge mit den Startwerten $a_{0}=1\$ und $a_{1}=3\$ die folgende Folge erzeugt: $1,3,4,7,11,18,29,...\$.

Es gibt unendlich viele solcher Folgen, wobei als Startwerte für $a_{0}\$ und $a_{1}\$ natürliche Zahlen eingesetzt werden können (naja, man kann auch negative Zahlen einsetzen). Dabei lassen sich alle Fibonacci-Folgen auf die Folge $0,1,1,2,3,5,8,13,21,...\$ zurückführen.

So ist die läßt sich die Folge: 1 6 7 13 20 33 53 86 als $5\cdot F+F_{-1}$ darstellen.

1 6 7 13 20 33 53 86

1 1 2 3 5 8 13 21

0 5 5 10

Eine gemeinsame Eigenschaft der Fibonaccifolgen ist auch, daß der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder einer Fibonacci-Folge eine Näherung des goldenen Schnitts ist. Je größer der Index ist, desto besser ist die Näherung.

${\frac {1}{1}}=1\ ;\ {\frac {2}{1}}=2\ ;\ {\frac {3}{2}}=1,5\ ;\ {\frac {5}{3}}=1,{\overline {6}};\ {\frac {8}{5}}=1,6\ ;{\frac {13}{8}}=1,625;{\frac {21}{13}}=1,{\overline {615384}}\ ;\ {\frac {34}{21}}=1,{\overline {619047}};\ ...$