Benutzer:Arbol01/Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

Angewandt auf obiges Beispiel sieht das so aus:

Wir wollen eine Formel finden die die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis n vereinfacht und, was wichtiger ist, wir wollen diese Formel beweisen:

1 = 1 ; 1 + 3 = 4 ; 1 + 3 + 5 = 9 ; 1 + 3 + 5 + 7 = 16

Vermutung: Die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n ergibt:

• $\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n*(n+1)}{2}}$

Das ist zu zeigen. Wenn die Formel stimmt, dann müssen verschiedene Dinge zutreffen:

• $\sum _{i=1}^{n}i+(n+1)=\sum _{i=1}^{n+1}i$

• $\sum _{i=1}^{n}i+(n+1)={\frac {n*(n+1)}{2}}+(n+1)$

• $\sum _{i=1}^{n+1}i={\frac {(n+1)*(n+2)}{2}}$

• ${\frac {n*(n+1)}{2}}+n+1={\frac {(n+1)*(n+2)}{2}}$ /* Die Perle */

Das letzte ist die Perle, die jetzt bewiesen werden muß. Nur die Perle hinzuschreiben, reicht als Beweis nicht aus.

• ${\frac {n*(n+1)}{2}}+n+1={\frac {(n+1)*(n+2)}{2}}$

• ${\frac {n*(n+1)}{2}}+{\frac {2n+2}{2}}={\frac {(n+1)*(n+2)}{2}}$

• ${\frac {n*(n+1)+2n+2}{2}}={\frac {(n+1)*(n+2)}{2}}$

• ${\frac {n^{2}+n+2n+2}{2}}={\frac {n^{2}+3n+2}{2}}$

• ${\frac {n^{2}+3n+2}{2}}={\frac {n^{2}+3n+2}{2}}$

Damit ist die vollständige Induktion für $\sum _{i=1}^{n}2i-1=n^{2}$ abgeschlossen und bewiesen.

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Wir wollen eine Formel finden die die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis n vereinfacht und, was wichtiger ist, wir wollen diese Formel beweisen:

1 = 1 ; 1 + 3 = 4 ; 1 + 3 + 5 = 9 ; 1 + 3 + 5 + 7 = 16

Vermutung: Die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis n ergibt eine Quadratzahl. Genauer gesagt:

• $\sum _{i=1}^{n}2i-1=n^{2}$

Das ist zu zeigen. Wenn die Formel stimmt, dann müssen verschiedene Dinge zutreffen:

• $\sum _{i=1}^{n}2i-1+(2(n+1)-1)=\sum _{i=1}^{n+1}2i-1$

• $\sum _{i=1}^{n}2i-1+(2(n+1)-1)=n^{2}+(2(n+1)-1)$

• $\sum _{i=1}^{n+1}2i-1=(n+1)^{2}$

• $n^{2}+(2(n+1)-1)=(n+1)^{2}$ /* Die Perle */

Das letzte ist die Perle, die jetzt bewiesen werden muß. Nur die Perle hinzuschreiben, reicht als Beweis nicht aus.

• $n^{2}+(2(n+1)-1)=(n+1)^{2}$

• $n^{2}+2n+2-1=n^{2}+2n+1$

• $n^{2}+2n+1=n^{2}+2n+1$

Damit ist die vollständige Induktion für $\sum _{i=1}^{n}2i-1=n^{2}$ abgeschlossen und bewiesen.

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Wir wollen eine Formel finden die 1 plus die Summe aller 2er Potenzen von 2⁰ bis 2ⁿ vereinfacht und, was wichtiger ist, wir wollen diese Formel beweisen:

1 + 1 = 2 ; 1 + 1 + 2 = 4 ; 1 + 1 + 2 + 4 = 8

Vermutung: 1 plus die Summe aller 2er Potenzen von 2⁰ bis 2ⁿ ergibt die 2er Potenz 2ⁿ⁺¹. Genauer gesagt:

• $1+\sum _{i=0}^{n}2^{i}=2^{n+1}$

Das ist zu zeigen. Wenn die Formel stimmt, dann müssen verschiedene Dinge zutreffen:

• $1+\sum _{i=0}^{n}2^{i}+2^{n+1}=1+\sum _{i=0}^{n+1}2^{i}$

• $1+\sum _{i=0}^{n}2^{i}+2^{n+1}=2^{n+1}+2^{n+1}$

• $1+\sum _{i=0}^{n+1}2^{i}=2^{n+2}$

• $2^{n+1}+2^{n+1}=2^{n+2}$ /* Die Perle */

Das letzte ist die Perle, die jetzt bewiesen werden muß. Nur die Perle hinzuschreiben, reicht als Beweis nicht aus.

• $2^{n+1}+2^{n+1}=2^{n+2}$

• $2*2^{n+1}=2^{n+2}$

• $2^{n+2}=2^{n+2}$

Damit ist die vollständige Induktion für $\sum _{i=1}^{n}2i-1=n^{2}$ abgeschlossen und bewiesen.