Benutzer:Bilanzgrenzer/Von Pythagoras bis Hilbert Teil 4

Von Pythagoras bis Hilbert (Teil 4) (als Scan auf Commons)

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Dreizehntes Kapitel

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JEAN VICTOR PONCELET

Mathematik als Zauberspiegel

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Jedem, der sich nur ein wenig tiefer mit Leibniz und mit Newton beschäftigt, wird es bald klar, daß auch hochgespannte Erwartungen über die Leistungen dieser beiden Geistesriesen durch die geschichtlichen Tatsachen noch übertroffen werden. Aber wie andeutend auch immer unsere Worte dies auszudrücken vermögen, das Ausschlaggebende ist, daß durch Leibniz und Newton die Mathematik nicht nur in diesem oder jenem Lande, sondern über alle Grenzen hinaus in der gesamten abendländischen Kultur zur selbständigen Wissenschaft erhoben wurde. Deshalb ist auch alles, was wir sagen konnten und im Rahmen unserer Arbeit sagen durften, wirklich nicht mehr als eine schwache Andeutung.

Wir treten aber nach Leibniz einem noch viel schwierigeren wissenschaftsgeschichtlichen Tatbestand gegenüber, dem wir einige Worte widmen müssen. Wir Heutigen sind nämlich - diese höchst banale Feststellung muß gemacht werden - wenig mehr als zweihundert Jahre von den Ereignissen entfernt, die wir eben schilderten. Wenn wir nun auch behaupten, die Mathematik sei seit Descartes aus dem Stadium des Handwerks in das Stadium der Großindustrie eingetreten, wenn auch weiters die ganze Weltkonstellation gleichsam wie ein vervielfachendes Zahnräderwerk wirkte, das alle Ansätze zu dieser wissenschaftlichen Industrialisierung noch zunehmend multiplizierte und potenzierte, so sind wir alle anderseits wieder doch nicht zu Übermenschen heran gewachsen, die sozusagen unvergleichbar in der Geistesgeschichte daständen. Und wir wissen durchaus nicht, ob nicht eines schönen Tages ein großer Teil des industriell erzeugten mathematischen Gedankengutes als Modeartikel einer überholten Zeit beiseite geschoben werden wird. Kurz, wir haben weder die historische Distanz zurück in diese zwei Jahrhunderte, noch weniger aber eine prophetisch extrapolationistische Gabe für die Zukunft.

Da wir uns aber - so fühlen wenigstens die reifsten und phantasievollsten Mathematiker der Gegenwart - heute in einer noch durchaus nicht abgeschlossenen Phase der mathematischen Entwicklung befinden, ist jede Schilderung der auf Leibniz folgenden Epochen desto mehr ein ungefahres Stimmungsbild, als es noch nicht einmal feststeht, ob das Erbe Leibnizens bereits in seinen letzten Folgerungen ausgewertet ist. In manchen Einzelheiten ist dieses klassische Erbgut sicher zum Allgemeinbesitz geworden. Ebenso sicher ist es aber als Ganzes, als Plan und als Kosmos noch nicht bis zur letzten möglichen Weiterung vorgetrieben.

Unserem Unternehmen steht jedoch noch eine zweite, viel wesentlichere Schwierigkeit entgegen. Wir durften es ohne weiteres wagen, Schritt für Schritt, unsere Leser an Hand der Entwicklung bis ins Zentrum der Infinitesimalrechnung zu führen. Und wir mußten geradezu darlegen, wie sich die Anzahl der Grundrechnungsoperationen von der Addition zur Multiplikation, von dieser zur Potenzierung und zur Exponentialfunktion und schließlich zur Integration vorarbeitete. Auch das Gegenspiel auf der lytischen Seite, die Subtraktion, Division, Radizierung, Logarithmierung und Differentiierung blieb uns nicht fremd. Ebensowenig unterließen wir es, die Erweiterungen des Zahlenbereiches, von den natürlichen Zahlen beginnend, zu den gebrochenen, den irrationalen, den negativen und schließlich den imaginären Zahlen anzudeuten. Unendlichkeitsprobleme sind uns mehr oder weniger vertraut geworden, Paradoxien wurden uns selbstverständliche Begleiterscheinungen des Unendlichkeitskalküls. Wir verstehen auf unserer Stufe das Wesen des Algorithmus, des Systems. Wir sind nicht mehr erstaunt, wenn wir in den Reihen gleichsam einen neuen Zahlbegriff auftauchen sehen, ebenso in den Funktionen; wenn wir auch wieder wissen, daß die Reihen ursprünglich der Versuch von Näherungslösungen waren und die Funktionen eine formulierte Beschreibung gesetzmäßiger Zusammenhänge darstellten. Die weitere und verfeinerte algorithmische Ausbildung und Behandlung aber verschob bald wieder diese ursprünglich außerordentlich klaren und verhältnismäßig leichtverständlichen Begriffe. Denn plötzlich drehte man aus rechnerischen Notwendigkeiten alles um und ging vom Gegebenen zurück zu einer möglichen Entstehung, wobei man irgendwelche zufällig gegebenen Größen zu Prozessen umdeutete, die ihnen ganz fremd waren. Anstatt nämlich etwa den Wurzelwert aus der Binomialreihe als Resultat zu gewinnen, faßt man plötzlich irgendeine Irrationalzahl als Reihe auf und behandelt sie als Reihe weiter. Oder man nimmt eine empirisch gegebene Folge von Zahlen, von Messungsresultaten, und unterstellt diesen Zahlen, daß sie Ordinatenwerte, also Funktionswerte seien, worauf man versucht, sie durch ein Gesetz zu verbinden. Dadurch nun wird der Begriff der Funktion ungeheuer erweitert. Denn jetzt ist jede konkrete, allgemeine oder als Verbindung von verschiedensten Operationen gewonnene Zahl möglicherweise eine Funktion und man darf jede mathematische Gegebenheit welcher Art immer eine Funktion nennen.

Dieser Fortschritt und diese zunehmende Komplikation der mathematischen Begriffsbildung wirkt auf den Durchschnittsgebildeten, der der Mathematik nähertreten will, ungemein verwirrend und abschreckend, und es gibt heute weniger als je einen „Königsweg“ im Sinne des Königs Ptolemäus Philadelphus, der den Zugang zum gefährlichen Labyrinth der modernen Mathematik erleichtern könnte.

Solche Verwahrungen mußten schon an dieser Stelle eingelegt werden, um für den Leser unsere letzten Kapitel nicht zur Enttäuschung zu gestalten. Wir werden uns alle Mühe geben, wenigstens einen Zipfel der Geheimnisse zu erhaschen, können aber, aus dem Wesen der Sache, in die näheren Einzelheiten der modernsten Mathematik nur höchst allgemein eingehen, indem wir an schon Bekanntes anknüpfen und Einfacheres für Komplizierteres pädagogisch „substituieren“. Am wenigsten gilt dieser Vorbehalt für die Geometrie, am meisten für die weitere Ausbildung der „höheren Mathematik“ im landläufigen Sinne oder der Unendlichkeitsanalysis.

Nun zeigte es sich aber auf allen Gebieten der Anwendung, daß gerade die eingehendere Durchdringung der Differential- und der Integralrechnung dem Menschen eine Waffe in die Hand gegeben hatte, wie sie noch keine frühere Zeit besaß. Das stetige Reich der Wirklichkeit, das „Kontinuum“ des Seins, das funktional strukturierte Werden, kurz, alle „figurae“ und „formae“ konnten mit dieser Waffe angegriffen werden. Das ganze achtzehnte Jahrhundert stand im Zeichen dieses rationalistischen Rauschzustandes, der den Menschen endgültig mit Traumsicherheit zur äußeren und inneren Weltbeherrschung emporzuführen schien. Und die „Göttin der Vernunft“ lächelte verführerisch und lockte zu stets neuem Vorwärtsdrang.

In einem im einzelnen nicht wiederzugebenden Aufstieg von Detailepoche zu Detailepoche arbeiteten mathematische Genien obersten Ranges wie die Bernoullis, die schließlich eine ganze Mathematikerdynastie bildeten, wie Leonhard Euler, Lagrange, Legendre, D'Alembert, um nur einige allererste Namen zu nennen. Und am Ende des achtzehnten Jahrhunderts konstituierte sich eine Schule um den genialen Kombinatoriker Hindenburg, die, vom Mittelpunkt des polynomischen Lehrsatzes aus, die ganze Mathematik auf rein kombinatorische Grundlage stellen wollte. Kurz, die seit Descartes eingeleitete und durch Leibniz bahnbrechend begründete Vorherrschaft der Algebra und des Algorithmus schien, ohne sichtbaren Endpunkt, die Aufstiegsrampe für alle Zukunft zu werden. Wobei wir, auch hier wieder nur andeutungsweise, erwähnen, daß Gabriel Cramer, unabhängig von Leibniz, zum zweiten Male die Lehre von den Determinanten im Jahre 1750 begründete. Eine Angelegenheit, die, wie wir später sehen werden, geradezu einen Gipfelpunkt von Algebraisierung und Algorithmisierung bildet.

So konnte also der große Laplace im Jahre 1799 in seiner berühmten „Exposition du système du monde“, also in seinem „Weltsystem“, über die Mathematik schreiben: „Die algebraische Analysis laßt uns bald den Hauptgegenstand unserer Forschungen vergessen, um uns auf abstrakte Kombinationen hinzuweisen, und erst am Ende führt sie uns wieder zu diesen zurück. Aber wenn man sich der Methode der Analysis überlaßt, gelangt man dank der Allgemeinheit dieser Methode und dadurch, daß sie den unschatzbaren Vorteil gewährt, Schlußfolgerungen in mechanische Operationen umwandeln zu können, zu Resultaten, die der geometrischen Synthese oft unzuganglich sind. Die Fruchtbarkeit der algebraischen Analysis ist so groß, daß man Spezialtatsachen nur in ihre universelle Sprache zu übersetzen braucht, um aus ihrer bloßen Ausdrucksform eine Fülle von neuen und unerwarteten Tatsachen hervorwachsen zu sehen. Keine andere Sprache ist einer derartigen Eleganz fähig, wie sie sich hier darstellt, wenn eine lange Reihe von Ausdrücken entwickelt wird, die alle miteinander verkettet sind und alle aus einer und derselben Grundidee hervorquellen. Die Mathematiker des Jahrhunderts sind auch von ihrer Überlegenheit überzeugt und deshalb eifrig bemüht, die Herrschaft der analytischen Methode auszudehnen und beengende Schranken abzubrechen.“

So weit Laplace, den wir nach Boutroux zitierten. Wir sehen, daß er noch ganz im algorithmischen rationalistischen Rausch des achtzehnten Jahrhunderts lebt und die letzten Schranken beseitigen will, die einer vollständigen „Verständlichung“, also einer Algebraisierung der Mathematik im Wege sind. Natürlich heißt „Analysis“ oder „analytische Methode“ in diesem Zusammenhang bei Laplace nur Algebra und nichts als Algebra.

Wir stellen also noch einmal fest, daß das achtzehnte Jahrhundert als Vordergrund seines Interesses fast ausschließlich die algebraisierte, algorithmisierte Unendlichkeitsanalysis ansah und sich etwa an der zunehmenden Bewältigung schwieriger Integrationen oder am Ausbau der infinitesimalen Variationsrechnung erfreute. Gleichwohl hat der Schöpfer dieser ganzen Bewegung, Leibniz selbst, in seiner „Ars inveniendi“ (Erfindungskunst) schon bemerkt: „Oft können die Geometer mit wenigen Worten etwas beweisen, was auf dem Wege der Rechnung zu beweisen sehr langwierig wäre ... der Weg der Algebra führt stets zum Ziel, aber er ist nicht immer der beste.“ Und wir haben schon angedeutet, daß derselbe Leibniz in seiner Idee von einer „Geometrie der Lage“ der Geometrie selbständige und zukunftsträchtige Bereiche anwies, die der Algebra nicht ohne weiteres zugänglich waren.

Daß sich der Bearbeiter des Pascalschen Nachlasses mit solchen Gedankengängen tragen mußte, ist nicht sehr verwunderlich. Auch ein Geringerer als Leibniz hätte über Ansätze bei Pascal erstaunen müssen, die in eine bisher noch unbeschrittene Richtung wiesen. Gleichwohl aber war der Lärm um die Infinitesimalrechnung und die mit ihr verbundene Koordinatengeometrie so groß, daß alle diese Ansätze und Andeutungen bis zum Ende des achtzehnten Jahrhunderts ungehört verhallten.

Es ist völkerpsychologisch höchst interessant, daß auch diese Epoche der Geometrie, in die wir nun eintreten werden, ausschließlich in französischen Gehirnen endgültige Gestalt gewann. Um dies aber im einzelnen nachzuweisen, wollen wir wieder unseren Zauberteppich besteigen, der uns diesmal in die Zeit vor Leibniz nach Lyon zurücktragen soll. Dort lebte in der ersten Hälfte des siebzehnten Jahrhunderts ein junger Architekt, namens Girard Desargues, der sich, wie manche Mathematiker hohen Ranges, durch ein sonderbares, schrullenhaftes Wesen auszeichnete. Er verfaßte ein sehr tiefes Werk mit dem ungefähren Titel: „Entwurf über die Ereignisse, die sich begeben, wenn ein Kegel mit einer Ebene zusammentrifft“. Da er aber, wie erwähnt, sehr verschrullt war, so fand er es für angemessen, dieses Werk auf lose Blätter mit mikroskopisch kleinen Lettern drucken zu lassen. Damit aber noch nicht genug. Er verbarg seine Entdeckungen außerdem unter eine äußerst schwulstige Sprache, indem er alle geometrischen Begriffe mit botanischen Namen belegte und fortwährend von Blüten, Stämmen, Zweigen und dergleichen sprach.

Diese Blätter ließ er seinen Freunden zukommen und verteilte sie überdies an berühmte mathematische Gelehrte, die, wie nicht verwunderlich, mit dem an sich neuen Gegenstand, der noch dazu in eine so schwierige Form eingekleidet war, wenig anzufangen wußten. Wie in allen Wissenschaften, treiben sich ja auch in der Mathematik seit undenklichen Zeiten stets allerlei Querulanten und Scharlatane herum, und es ist oft ungeheuer schwer, eine Neuerung von einer Verschrobenheit oder Hochstapelei zu unterscheiden. Desargues hatte jedenfalls das Seine dazugetan, daß man ihn für einen solchen Glücksritter hielt, und nur ganz wenige besonders erleuchtete Köpfe, wie Fermat, Descartes und Pascal, arbeiteten sich durch das mathematisch-botanische „Gestrüpp“ des Lyoner bis zur wahren Erkenntnis durch. Während aber die beiden ersten so sehr mit Koordinatenproblemen befaßt waren, daß sie trotz ihres Verständnisses nicht auf der Linie des Desargues weiterschritten, faßte der geniale Blaise Pascal bereits als Sechzehnjähriger den Plan, die Erkenntnisse des Desargues zur Grundlage eigenen Weiterbaues zu verwenden.

Bevor wir jedoch hierauf eingehen, ist es notwendig, die Haupttaten des Desargues zumindest anzudeuten. Daß ihn seine Architektentätigkeit mit Problemen der Perspektive in nähere Berührung brachte, ist verständlich. Diese ganze, bereits vor ihm von anderen zu praktischen Zwecken erörterte Wissenschaft der Perspektive mathematisierte sich jedoch im Hirn des Desargues und wurde dadurch zu echter Wissenschaft. Deshalb auch legte er sich zwei Grundfragen vor, die später im neunzehnten Jahrhundert erst zu zentraler Wichtigkeit gelangten. Er fragte nämlich nicht mehr im Sinn eines Apollonios von Pergä nach den Eigenschaften der einzelnen Kegelschnitte, sondern ließ die Schnittebene zur Kegelachse vom Senkrechtstehen bis zur Parallelität, sogar bis zur Koinzidenz in stetigem Übergang verschiedene Neigungswinkel annehmen und kam dadurch zur Überzeugung, daß eine ganze Reihe von Eigenschaften trotz der verschiedenen Neigung der Schnittebene erhalten bleibe, also bei sämtlichen Kegelschnitten gleich sein müsse. Die zweite Frage, die Desargues beschäftigte, war die Kluft, die man bisher zwischen Parallelen und zwischen einander schneidenden Geraden stets anzunehmen sich bemüßigt gefühlt hatte. Er fand bald, daß die gemeinsamen Eigenschaften von parallelen und schneidenden Geraden zahlreicher seien als die Verschiedenheiten. Ja, daß man geradezu perspektivisch oft gezwungen war, Parallele und Schneidende zu identifizieren; was nebenbei jedem plausibel wird, der sich vergegenwärtigt, daß sich Parallelen perspektivisch sofort zu Schneidenden umwandeln, wenn man gewisse Standpunkte der Betrachtung einnimmt. Dadurch aber ergibt sich wieder eine Art von Identität zwischen Kegel und Zylinder, und es taucht ein paradoxer Begriff auf, dessen Fruchtbarkeit für die Geometrie unermeßlich werden sollte: der Begriff des „unendlich fernen Punktes“ und der übrigen „unendlich fernen Gebilde“. Parallele Gerade schneiden einander eben im unendlich fernen Punkt und werden dadurch zu schneidenden Geraden. Und der Zylinder wird zu einem Strahlenbündel, dessen Vereinigungspunkt ein unendlich ferner Punkt ist. Es gibt aber bei Parallelen nicht etwa zwei unendlich ferne Punkte, je nachdem man die Geraden nach links oder rechts verlängert. Sondern es kann - eine äußerst paradoxe Annahme - für jedes Parallelenbüschel (in der Ebene) oder Parallelenbündel (im Raum) bloß einen unendlich fernen Vereinigungspunkt geben. So etwa wie für uns die Sonnenstrahlen zwar parallel einfallen, wir aber gleichwohl nie behaupten werden, daß sie von zwei Sonnen herkämen.

Daß durch diese beiden Grunderkenntnisse des Erhaltenbleibens von Eigenschaften trotz perspektivischer Veränderung der Figuren und der Erfindung des Begriffes unendlichferner Gebilde eine ganz neue Geometrie geschaffen war, stellte sich erst heraus, als die Zeit dazu reif geworden war. Denn vorläufig wurde Desargues noch weidlich verlacht, und auch sein berühmter Satz, daß die verlängerten Seiten zweier beliebiger perspektivisch liegender Dreiecke einander paarweise auf einer einzigen Geraden schneiden müßten, fand keinen Widerhall. Nur Pascal durchforschte die Kegelschnitte im Sinn Desargues” weiter und förderte bald einen neuen grundlegenden Satz zutage, der so sehr an Zauberei grenzte, daß Pascal ihn selbst als „wundertätig“ bezeichnete. Dies mit Recht. Denn dieser Pascalsche Satz ist ebenso wie der Satz des Desargues am Ende des neunzehnten Jahrhunderts als die einzige tragende Brücke erkannt worden, über die man vom Ufer der Algebra zum Ufer der Geometrie schreiten kann, ohne die Logik zu verletzen. Doch über all dies werden wir später sprechen. Wir merken an dieser Stelle nur noch ein sehr kurioses Ereignis an. Das von uns erwähnte Hauptwerk des Desargues wurde, nachdem es fast zwei Jahrhunderte lang verschollen gewesen war, bei einem Trödler am Seine-Ufer in einer Bücherkiste von niemand geringerem als vom großen Geometer und Mathematikhistoriker Michel Chasles aufgestöbert und angekauft. Und zwar im Jahre 1845, als schon durch Poncelet und v. Staudt die „neue oder projektivische Geometrie“ begründet worden war.

Wir haben gehört, daß der große Laplace im letzten Jahre des achtzehnten Jahrhunderts für die Allgewalt des algebraischen Algorithmus sehr warme und begeisterte Töne fand. So begeistert, daß jeder glauben mußte, es gäbe für alle Zukunft wirklich nur mehr diesen einzigen Weg des Weitertreibens algorithmischer Algebra und infinitesimaler Analysis, um, über die Koordinaten und Funktionen hinweg, gleichsam den mathematischen Himmel zu stürmen. Zur selben Zeit aber vollzogen sich gleich zwei Ereignisse, von denen wir eines sofort erwähnen, während das zweite erst im übernächsten Kapitel gewürdigt werden soll, da es das erste Auftreten des jungen Gauß betrifft. Im Jahre 1798 also gab Gaspard de Monge, ein genialer Geometer und Genieoffizier der französischen Armee, die Frucht jahrzehntelanger Studien der Öffentlichkeit bekannt. Es war nicht weniger als die erste erschöpfende Begründung der sogenannten „deskriptiven oder darstellenden Geometrie“, die zwar im allgemeinen als Anwendungsgebiet der Mathematik gilt, gleichwohl jedoch so viele Beziehungen zur reinen Mathematik hat, daß wir an ihrer ersten umfassenden Erörterung auch dann nicht hätten vorbeigehen können, wenn Poncelet nicht Schüler und Verehrer De Monges gewesen wäre. Nebenbei bemerkt, verstrickte das Schicksal in diesem großen Zeitalter der französischen Mathematik fast alle ihre Vertreter in sehr abenteuerliche Ereignisse. De Monge selbst, der Begründer der berühmten Ecole normale und der Ecole polytechnique, hatte als revolutionärer Marineminister die zweifelhafte Ehre, das Todesurteil an Ludwig XVI. vollziehen zu lassen. Unter Napoleon kam er zu hohem Rang, fiel aber mit dem Korsen und verbrachte den Rest seines Lebens im Schatten.

Sein Schüler Jean Victor Poncelet, ebenfalls ein Genieoffizier des französischen Heeres, zog mit der großen Armee im Jahre 1812 gegen Rußland und wurde mit vielen anderen Leidensgenossen bei Krasnoje gefangengenommen. In jenem furchtbaren Winter, in dem die Kälte so arg war, daß das Quecksilber in den Thermometern erstarrte, mußte Poncelet zu Fuß bis Saratow an der Wolga marschieren, wo er krank und niedergebrochen anlangte. Um so bewundernswerter ist die Seelengröße dieses Mannes, der sich von den paar Kopeken, die er als Verpflegsgeld erhielt, grobes Papier und Federn anschaffte und aus Lampenruß selbst Tinte fabrizierte, da er ja doch schließlich auch etwas Geld fürs Essen erübrigen mußte. Mit diesen opulenten Materialien begann er im Frühling die Grundzüge seines späteren Hauptwerkes festzulegen, das an Desargues und Pascal anknüpft, ohne daß jedoch Poncelet näher das Werk des ersteren gekannt hätte. Er beklagt nämlich in der Vorrede ausdrücklich den Verlust des Hauptwerkes von Desargues, desselben Werkes, von dem wir schon erwähnten, daß es durch Chasles im Jahre 1845 in einer Abschrift wieder aufgefunden wurde.

Poncelet kehrte 1814 in seine Heimat, nach Metz, zurück und vollendete im Jahre 1822 sein Hauptwerk „Traité des propriétés projectives des figures“ (Abhandlung über die projektiven Eigenschaften der Figuren), womit er zwar eine epochale Tat der Mathematikgeschichte setzte, in seinem Vaterlande jedoch auf alles eher denn wirkliches Verständnis stieß. Dieses mangelnde Verständnis war so groß, daß die französische Akademie die Veröffentlichung seiner Entdeckungen ablehnte, so daß sie in Deutschland, in Crelles Journal, erscheinen mußten. Diese Tatsache wurde allerdings für die Mathematik ein Segen, da sich auf deutschem Boden sogleich eine mächtige Phalanx von kongenialen Geistern, allen voran Steiner und v. Staudt, erhob, die die projektive Geometrie zu ihrer heutigen Vollendung führten.

Wir wollen aber nicht vorgreifen, sondern von Poncelet selbst hören, wie er seine Aufgabe auffaßte. „Betrachten wir“, sagt er, „irgendeine Figur in einer allgemeinen, in gewissem Sinne unbestimmten Lage, wie die Figur sie einnehmen kann, ohne die Gesetze, die Bedingungen, die Verbindungen zu verletzen, die zwischen den verschiedenen Teilen des Systems bestehen (das durch die Figur ihrer Definition gemäß gegeben ist); nehmen wir an, daß wir bei diesen Angaben eine oder mehrere Beziehungen oder Eigenschaften der Figur, gleichviel ob metrische oder projektive, gefunden haben. Wenn man nun bei denselben Angaben die ursprüngliche Figur beliebig wenig verändert, oder, wenn man für gewisse Teile dieser Figur eine stetige, sonst aber beliebige Bewegung zuläßt, ist es dann nicht ganz klar, daß dieselben Eigenschaften und Beziehungen, die für das erste System galten, auch für die verschiedenen, aus dem gegebenen System in dieser Weise hervorgehenden neuen Systeme anwendbar bleibenfil“

Mit diesen Worten ist unzweideutig eine „Geometrie der Lage“ gefordert, wie sie schon einem Leibniz vorschwebte. Das Maß und die Figur verschwinden aus der Geometrie und zurück bleiben schattenhafte „Beziehungen“ und „Eigenschaften“, die einzeln oder in ganzen Gruppen gegen jede Verzerrung oder Veränderung des „Systems“ unempfindlich sind. Derartige Lagesätze hatten schon, wie erwähnt, Desargues und Pascal gefunden, auch Leibniz und Euler hatten hierzu Beiträge geleistet, wie etwa den berühmten Eulerschen Polyeder-Satz, der einfach als: „Ecken plus Flächen ist gleich Kanten plus zwei“ formuliert werden kann und für alle Vielflache mit Ausnahme besonderer, in der gewöhnlichen Geometrie kaum vorkommenden Fälle gilt. Auch der Franzose Carnot hatte schon eine Einteilung der Figuren gegeben, die den bisherigen geometrischen Gebilden ein System „vollständiger“ Figuren gegenüberstellte und diese Figuren kombinatorisch erfaßte. Vier Punkte etwa bilden ein vollständiges Viereck, wenn alle Geraden gezogen werden, die durch diese Punkte laufen können. Dieses vollständige Viereck hat 4 Eckpunkte und $\textstyle {\binom {4}{2}}$ Seiten, also 6 Seiten. Vier Gerade dagegen können einander in $\textstyle {\binom {4}{2}}$ Punkten, also in 6 Punkten schneiden usw. Diese Art des Aufbaues aller Gebilde aus den Elementen Punkt, Gerade, Ebene usw. ist eine synthetische. Daher man auch die projektive Geometrie oft als die synthetische bezeichnet. Man wollte, und dies der tiefste Grund ihrer Schöpfung, der allgewaltigen analytischen Geometrie und der Algebraisierung und Algorithmisierung der ganzen Mathematik dadurch ein Paroli bieten, daß man auch der Geometrie den Vorteil des Algorithmus einverleibte. Man wollte in kühnstem Ansturm der Geometrie wieder ihren allbeherrschenden Platz verschaffen, geriet dabei tatsächlich in eine neue Welt von Wundern und Erleuchtungen, bis schließlich - fast eine Tragikomödie - die „Neue Geometrie“ ihre geometrischen Hüllen abzustreifen begann und heute beinahe unbedingt die Züge einer gelauterten Algebra tragt. Inzwischen gingen viele Lullische Träume in Erfüllung, deren schönsten das „Dualitätsprinzip“ bildete, das Poncelet entdeckte und im Jahre 1822 veröffentlichte. Wenige Jahre später wurde es, unabhängig von Poncelet, durch Gergonne aufgefunden und publiziert.

Dieses zauberhafte Prinzip, von dem wir eine verblüffende Probe geben werden, gestattet es, durch bloße Umbenennung bzw. Vertauschung von Begriffen neue geometrische Sätze zu finden. Man braucht etwa bloß die Begriffe „schneiden“ und „verbinden“, „Punkt“ und „Gerade“ zu vertauschen, um zu neuer Erkenntnis zu gelangen. Weiß man, daß in einer Ebene zwei „Gerade“ einander in einem „Punkt“ „schneiden“, dann weiß man sofort durch Übersetzung dieser Wahrheit in die „duale“ Sprache, daß in einer Ebene zwei „Punkte“ durch eine „Gerade“ „verbunden“ werden. Bei solch einfachen geometrischen Tatsachen ist das Wirken des Dualitätsprinzips anscheinend selbstverständlich und nicht allzu erschütternd. Wie sehr jedoch dieser Schein trügt, mag dadurch illustriert werden, daß Pascal im Jahre 1640 seinen berühmten Sechsecksatz entdeckte, zu dem Brianchon erst 1806, also volle 166 Jahre später, den „dualen“ Satz fand. Hätte Pascal bereits das Dualitätsprinzip gekannt, dann hatten sich diese 166 Jahre auf zwei Minuten verkürzen lassen.

Die spezielle Form des „Pascalsatzes“, die wir für unseren Zweck benötigen, ist folgende:

Wir hatten zwei einander schneidende Gerade (wozu nach unseren Feststellungenüber unendlichferne Punkte auch Parallele zu rechnen sind). Die Geraden heißen $g_{1}$ und $g$. Auf der Geraden $g_{1}$ liegen drei vollkommen willkürliche Punkte $A_{1}$, $B_{1}$ und $C_{1}$. Und auf der Geraden $g$ die drei ebenfalls willkürlichen Punkte $A$, $B$ und $C$. Nun „verbinden“ wir $A$ mit $B_{1}$ und $A_{1}$ mit $B$ und bringen diese beiden Verbindungslinien zum Schnitt.

Es entsteht dadurch der Punkt $C_{s}$. Dann verbinden wir $B$ mit $C_{1}$ und $B_{1}$ mit $C$, wodurch der Schnittpunkt $A_{s}$ entsteht.

Wenn wir schließlich noch $C$ mit $A_{1}$ und $C_{1}$ mit $A$ verbinden und aus diesen beiden Verbindungslinien den Schnittpunkt $B_{s}$ gewinnen, dann werden wir zu unserer Überraschung bemerken, daß die drei gewonnenen Schnittpunkte $A_{s}$, $B_{s}$, und $C_{s}$, auf einer Geraden $g_{s}$ liegen.

Es sei hier beigefügt, daß bei der praktischen Durchführung solcher Aufgaben in einer Zeichnung eine gewisse Übersicht und Routine notwendig ist. Gewiß, der Satz muß unter allen Umständen gelten. Aber praktisch kann es vorkommen, wenn ich die Punkte ungeschickt wähle, daß mir zur Gewinnung der Schnittpunkte die Zeichenfläche nicht ausreicht und dadurch die Zeichnung höchst unübersichtlich wird. Dies hat man auch manchmal gegen die projektive Geometrie ins Treffen geführt und gesagt, diese Geometrie mache ruhig die Voraussetzung, daß jeder „Schnitt“ auch wirklich durchgeführt werden könne, wobei man unter „wirklich“ wohl die zeichnerische Möglichkeit zu verstehen hat. Wenn ich aber Linien ziehen muß, die etwa erst nach 150 m den erforderlichen Schnittpunkt liefern, kann ich solche Konstruktionen nicht gut für die Praxis brauchen.

Wir wollen uns aber jetzt durch diese an sich nicht unberechtigte Kritik nicht abschrecken lassen und auch unsere Bewunderung nicht verkleinern, wenn wir schon in den nächsten Minuten das Dualitätsprinzip gleichsam die Kluft von 166 Jahren werden überspringen sehen. Wir müssen zu diesem Behufe nur die Begriffe „verbinden“ und „schneiden“ und die Begriffe „Punkt“ und „Gerade“ vertauschen, um sofort zum Pascalschen Satz den „dualen“ Satz, den Satz von Brianchon, aussprechen zu können. Theoretisieren wir nicht lange, sondern machen wir einfach die praktische Probe.

Unser neuer Satz müßte lauten: Wir haben zwei Punkte $P_{1}$ und $P$. Denn beim „Pascal“ hatten wir zwei Gerade $g_{1}$ und $g$. Die Geraden beim „Pascal“ „verbanden“ je drei „Punkte“ $A$, $B$ und $C$ bzw. $B_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$. Deshalb müssen wir jetzt die Worte Pascals in die Sprache Brianchons übersetzen. Also in unseren zwei „Punkten“ $P_{1}$ und $P$ „schneiden“ einander je drei „Gerade“ $a_{1}$, $b_{1}$, $c_{1}$ und $a$, $b$, $c$. Nun müssen wir weiter forschen. Beim „Pascal“ haben wir die drei „Punkte“ „verbunden“.

Also müssen wir beim „Bríanchon“ die drei „Geraden“ paarweise zum „Schnitt“ bringen, und zwar nach demselben System wie beim „Pascal“. Also $a$ mit $b_{1}$, $a_{1}$ mit $b$, $b$ mit $c_{1}$, $b_{1}$ mit $c$ und schließlich $c$ mit $a_{1}$ und $c_{1}$ mit $a$.

Dadurch aber haben wir erst die duale Konstruktion zu den Verbindungslinien beim „Pascal“ durchgeführt. Was haben wir beim „Pascal“ weiter gemacht? Nun, wir haben „Verbindungsgerade“ zum „Schnitt“ gebracht. Was müssen wir also beim „Bríanchon“ machen? Wohl „Schnittpunkte“ „verbinden“. Nun ergibt die Verbindung der Schnittpunkte der Geraden $a$ mit $b_{1}$ und $a_{1}$ mit $b$ die Gerade $c_{s}$. Die Schnittpunkte der Geraden $b$ mit $c_{1}$ und $b_{1}$ mit $c$ ergeben die Gerade $a_{s}$.

Und die Schnittpunkte der Geraden $c$ mit $a_{1}$ und $c_{1}$ mit $a$ liefern schließlich die Verbindungsgerade $b_{s}$. Wir haben also konsequent und streng dual, nur einem Spiel der Gedanken folgend, statt der drei „Schnittpunkte“ $A_{s}$, $B_{s}$ und $C_{s}$, des „Pascal“, drei „Verbindungsgerade“ $a_{s}$, $b_{s}$ und $c_{s}$ des „Brianchon“ gewonnen. Nun können wir die letzte Folgerung auf Grund des Dualitätsprinzips ziehen.

Wenn nämlich beim „Pascal“ die drei „Schnittpunkte“ auf einer und derselben „Geraden“ liegen müssen, dann müssen wohl die drei „Verbindungsgeraden“ des „Brianchon“ durch einen und denselben „Schnittpunkt“ $P_{3}$ gehen. Und in der Tat: Wir zeichnen die Figur und überzeugen uns mit staunender Verwunderung von der unfehlbaren Sicherheit unsrer neugewonnenen Denkmaschine.

Nun ist dieses Dualitätsprinzip noch viel großartiger, als wir es in diesem Falle zeigen konnten. Denn nicht nur „Punkt“ und „Gerade“ sind einander in der Ebene dual verkoppelt. Unsere Zaubermaschine erstreckt sich noch viel Weiter, wovon wir sofort einige Beispiele geben werden. So lautet etwa einer der Hauptsätze der Dualitätstheorie folgendermaßen: „Jede ebene Figur ist ein Schnitt einer zentrischen Figur und jede zentrische Figur ist der Schein einer ebenen Figur.“ Wir müssen diesen sehr präzise formulierten Satz ein wenig sinnfälliger machen. Er besagt nicht mehr und nicht weniger, als daß einander die Ebene und das Strahlenbündel gegenseitig „dual“ entsprechen. Das aber ist eine der Grundwahrheiten, der tiefsten Urgründe der ganzen Geometrie des Auges. Denn der Strahlenkegel unseres Auges (zentrisches Bündel) kommt gleichsam überall, wohin er trifft, zum „Schnitt“ mit einer Ebene, mit der auf eine Ebene bezogenen Welt. Und wenn ich jetzt die Richtung von dieser „AbbildWelt“, dieser „Schnittebene“ wieder zurück ins Auge wähle, dann ist der zentrische Strahlenkegel, das „Bündel“, eben nichts anderes als der „Schein“ dieser Welt, die Projektion der „Abbildwelt“ in mein Auge. Hinter dem Schnittpunkt der Sehstrahlen innerhalb des Auges aber spielt sich der „duale“ Vorgang noch einmal ab. Denn jetzt ist das Netzhautbild an der Rückwand des Auges der Schnitt mit dem Strahlenbündel und das Strahlenbündel selbst nichts als der Schein der Schnittpunkte.

Daher und nur aus diesem Grunde ist es möglich, auf jeder beliebigen Ebene gleichsam das Abbild der sichtbaren Welt herzustellen. Denn das Auge selbst „zeichnet“ oder „malt“ nach den Gesetzen der sogenannten Zentralperspektive, worunter man eine Art der Projektion versteht, bei der die Projektionsstrahlen alle einem zentrischen Bündel angehören. Daher stimmt auch weiters nur eine in sogenannter Zentralperspektive hergestellte Abbildung Wirklich mit dem überein, was wir als Abbild der Welt durch unser Auge zu sehen gewohnt sind. Es ist also jede in sogenannter „Parallelperspektive“ hergestellte. Figur mehr oder weniger unnatürlich. Und hier haben wir auch die Lösung des Rätsels, warum wir „in Wirklichkeit“ keine Parallelen sehen können. Denn die Zentralperspektive schließt die Parallelität aus. Streng genommen überhaupt. In der Praxis für jede größere Länge der Parallelen, wie sie etwa der Verlauf der Kanten eines Kirchturmes oder der Anblick eines Eisenbahngeleises, das sich in der Ferne verliert, darstellt. Nun sind wir es aber im Gegensatz zu dieser theoretischen Einschränkung in der Praxis gewohnt, alle technischen Pläne, Risse und schließlich auch den Großteil aller geometrischen Figuren in Parallelperspektive zu zeichnen. Das rührt davon her, daß wir unserer Vorstellung des Raumes rein parallelperspektivische Verhältnisse zugrunde legen und vom Standpunkt des Auges und von seinen projektiven Eigenschaften dabei vollständig absehen. Wir müssen uns aber stets klar darüber sein, daß wir dabei bewußt von einer anderen „Wirklichkeit“, nämlich von der Wirklichkeit des Schauens abstrahieren, diese Wirklichkeit also dabei vollständig ausschalten. Wozu noch etwas zweites kommt, das hier erwähnt sein möge: bei geometrischen Figuren aller Art legen wir noch eine Annahme unter, die eigentlich nur aus der Erfahrung in unserer Welt geschöpft ist. Wir denken nämlich sämtliche geometrische Figuren gleichsam als starre Körper. Wenn wir nicht Kugeln, Würfel, Dreiecke, Kegel, Pyramiden, Oktaeder u. dgl. aus Holz, Metall oder Stein herstellen, sondern wenn wir etwa Dreiecke und Quadrate nur aus nassem Löschpapier und Körper nur aus Streusand oder gar aus Flüssigkeiten formen könnten, würden wir unsere Art von Geometrie kaum erworben haben. Denn dann würde uns die Geradlinigkeit der Lichtstrahlen allein kaum zu einem solchen mächtigen Denkgebäude geführt haben. Diese von H. Poincaré und Hugo Dingler angestellten Erörterungen müssen uns nachdenklich stimmen. Sie dürfen aber anderseits wieder durchaus nicht als Beweis dafür gelten, daß Geometrie rein aus der „Erfahrung“ entstanden sei. Zwischen dem Entstehen von Begriffen und Anfschauungen „aus“ der Erfahrung und „an Hand“ der Erfahrung ist ein mächtiger Unterschied, den schon der große Kant klargestellt hat. Wir sind also höchstens dazu berechtigt, zu sagen, daß unsere Art, Geometrie zu treiben, sich, unter dem Einfluß der Denkmöglichkeit und des tatsächlichen Vorhandenseins starrer Körper in unserer Welt, gerade in dieser Form entwickelt habe, woraus auch sicher unsere vorwiegend parallelperspektivische, mit dem wirklichen Sehen nicht übereinstimmende Vorstellung des „wirklichen“ Raumes und seiner körperlichen Inhalte folgt.

Doch wir haben jetzt durch unsre Abschweifung die Untersuchung des Dualitätsprinzips in sträflicher Weise unterbrochen. Wir sagten, daß wir zur Gewinnung des Brianchonsatzes aus dem Pascalsatz eigentlich nichts anderes brauchten als die Dualität zwischen Punkt und Gerader. Natürlich hätten wir, da es sich ja bei der Dualität um eine umkehrbare, sogenannte eineindeutige Zuordnung handelt, auch den Pascalsatz mit demselben Rüstzeug aus dem Brianchonsatz ableiten können. In plastischer Art werden oft duale Sätze als „Spiegelsätze“ bezeichnet. Ein Satz ist gleichsam das Spiegelbild seines dual zugeordneten Satzes. Nur wäre es besser, dieses „Spiegeln“ nicht allzu wörtlich zu nehmen. Denn unser dualer Spiegel ist in gewissem Sinne ein Zerrspiegel. Er formt um und verkehrt die Grundgebilde ins Gegenteil. Man sollte also richtiger von „Zauberspiegelsätzen“ sprechen. Dazu noch ein Wort: Es ist selbstverständlich, oder besser, es sollte selbstverständlich sein, daß man den Lehrsatz, von dem man ausgeht, um den dazu dualen zu finden, bewiesen haben muß. Man darf sich nicht für einen Entdecker halten, wenn man zu irgendeiner ganz unbegründeten geometrischen Behauptung im Wege des Dualitätsprinzips das Zauberspiegelbild, den dualen Satz, aufstellt. Der Pascalsatz war bewiesen, folglich hätte Brianchon, wenn er das Dualitätsprinzip gekannt hätte, seinen Satz weder selbständig entdecken müssen, noch hätte er ihn irgendwie gesondert zu beweisen brauchen.

Wir formulieren also vorläufig folgendes: Wenn ein Satz der projektiven Geometrie einmal stichhältig und zureichend bewiesen ist, dann kann man mittels des Dualitätsprinzips nicht nur sofort den Zauberspiegelsatz, den dazu dualen Satz aussprechen, sondern man braucht ihn auch nicht mehr abgesondert zu beweisen. Vorausgesetzt, daß das Dualitätsprinzip richtig gehandhabt wurde und daß alle Vertauschungen korrekt durchgeführt wurden. Dazu aber dient am besten eine klare und übersichtliche Schreibweise.

Diese Schreibweise nun, konsequent durchgebildet und stets mehr erweitert, hat es schließlich zustande gebracht, daß, wie schon erwähnt, plötzlich die geometrische Hülle der „projektiven Geometrie“ verschwand und ein algebraischer Algorithmus zurückblieb, so daß es heute Geometriebücher gibt, in denen statt Linien und Figuren nur mehr Buchstaben, Indizes und kombinatorische Formeln stehen. Der Sieg der synthetischen über die analytische Geometrie wurde also eigentlich zu einer weltbewegenden Versöhnung und Übereinstimmung, und es stellte sich, wie schon so oft in der Wissenschaftsgeschichte, heraus, daß man zwei Wege durch fernste Zonen gegangen war, um einander schließlich, bereichert durch neues Wissen, zu treffen.

Einen ungeheuren, rein praktischen Vorteil hat neben allen theoretischen Umwälzungen die „neue Geometrie“ mit sich gebracht. Sie ermöglicht es, eine Unzahl von Konstruktionen, speziell der Kegelschnitte, in jeder beliebigen perspektivischen Verzerrung auszuführen, und zwar ohne jede Zuhilfenahme des Zirkels. Die Konstruktion „bloß mit dem Lineal“ ist einer der vielen Triumphe der „neueren Geometrie“. Aber eine noch viel weitertragende Möglichkeit ist aus dieser Geometrie erwachsen. Da man nämlich durch sie die allgemeinen Aufbaugesetze sämtlicher Gebilde studieren und dem kombinatorischen Algorithmus unterordnen konnte, gelang es Graßmann, Schläfli und anderen, die Beschränkung unsrer Geometrie auf den dreidimensionalen Raum zu sprengen. Wenn etwa die einfachste Figur, der „Simplex“, der nullten Dimension der Punkt und der Simplex der Geraden die Strecke ist, dann ist in der Ebene oder im zweidimensionalen Raum, im $R_{2}$, wie man sagt, jene Figur die einfachste, die keinerlei Diagonalen zuläßt. Dieser $S_{2}$ oder der Simplex des $R_{2}$ ist das Dreieck bzw. Dreiseit. Es hat $\textstyle {\binom {3}{1}}$ Ecken und $\textstyle {\binom {3}{2}}$ Seiten oder $\textstyle {\binom {3}{1}}$ Seiten und $\textstyle {\binom {3}{2}}$ Ecken. Also stets drei Seiten und drei Ecken.

Im $R_{3}$ gewinnen wir den $S_{3}$ durch die Überlegung, daß ein Raum $R_{3}$ nicht wie die Ebene schon durch 3, sondern erst durch 4 Punkte bestimmt ist, die nicht in einer Ebene liegen.

Diese vier Punkte aber lassen sich kombinatorisch als $\textstyle {\binom {4}{1}}$ Punkte bezeichnen, die durch $\textstyle {\binom {4}{2}}$ Gerade und $\textstyle {\binom {4}{3}}$ Flächen verbunden werden können, da stets zwei Punkte einer Geraden und drei Punkte einer Ebene angehören müssen, um sie zur Verbindungsgeraden oder Verbindungsebene zu stempeln. Der Simplex des R3 also besteht aus vier Punkten, sechs Geraden und vier Flächen. Es ist das Tetraeder.

Nun dürfen wir weiterschließen und sagen, daß im $R_{4}$, also in der gefürchteten „vierten Dimension“, der Simplex dem Gesetz $\textstyle {\binom {5}{1}}$, $\textstyle {\binom {5}{2}}$, $\textstyle {\binom {5}{3}}$, $\textstyle {\binom {5}{4}}$, folgen müsse, da ein vierdimensionaler Raum nach allem bisherigen erst durch $(4+1)$ Punkte bestimmt sein kann, weil der $R_{0}$ einen Punkt, der $R_{1}$ zwei Punkte, der $R_{2}$ drei Punkte und der $R_{3}$ vier Punkte zur Bestimmung braucht, der $R_{n}$ also $(n+1)$ Punkte.

Unsre kombinatorischen Formeln aber heißen weiter nichts andres, als daß der Simplex der vierten Dimension aus fünf Eckpunkten, zehn Kanten, zehn Begrenzungsflächen und fünf Begrenzungskörpern oder „Zellen“ besteht. Ganz allgemein kann man behaupten, der Simplexkörper der n-ten Dimension sei« durch die Bauformel $\textstyle {\binom {n+1}{1}}$, $\textstyle {\binom {n+1}{2}}$, ... $\textstyle {\binom {n+1}{n}}$ erschöpfend beschrieben.

Aber noch viel mehr. Der kombinatorische Algorithmus der modernen Geometrie erlaubt es, Beziehungen und Eigenschaften der Körper in Räumen beliebiger Dimensionsanzahl auszusagen. So gibt es etwa ein „Schnittgesetz“ für Räume beliebiger Dimensionierung, das uns erlaubt, zu berechnen, welche Schnittfigur zwei Gebilde beliebiger Dimension in einem beliebig dimensionierten Raum bilden müssen. Wenn nämlich die Dimensionszahlen zweier Gebilde n und m kleiner sind als die Dimensionszahl cl des Raumes, in dem sie zum Schnitt kommen sollen, dann gilt

$(d+1)=$$(n+1)+$$(m+1)-$$(m\cdot n+1)+$

oder

$d=n+m-n\cdot m$,

wobei $n\cdot m$ die Dimensionszahl der neuen Schníttfigur ist. Wären also $d$, $n$ und $m$ bekannt, dann ist $nm=n+m-d$.

Nur im Vorbeigehen wollen wir uns fragen, welche Schnittfigur etwa eine Gerade und eine Ebene im Raume haben. Also ein $R_{1}$ und ein $R_{2}$ im $R_{3}$. Nach der Formel ist dann $nm=1+2-3=0$ oder die Schnittfigur ist ein $R_{0}$, d. h. ein Punkt, was offensichtlich stimmt. Im vierdimensionalen Raum würden sich zwei Ebenen gemäß $nm=2+2-4=0$ auch in einem Punkt und eine Gerade und ein Körper gemäß $nm=1+3-4=0$ also auch in einem Punkt schneiden, was wir uns in keiner Weise vorstellen können. Im fünfdimensionalen Raum aber schneiden einander zwei Körper gemäß $nm=3+3-5=0$ in einer Geraden und zwei Gerade nach $nm=1+1-5=-3$ wie bei uns in einem Punkt, da Minusresultate stets bedeuten, daß noch Freiheitsgrade zum Kreuzen oder Windschiefstehen da sind. Sie können einander in zwei uns unvorstellbaren und in einer uns bekannten Art kreuzen. Im $R_{7}$ aber können einander schon zwei Körper kreuzen, im $R_{6}$ schneiden einander zwei Körper in einem Punkt usw.

Diese mehrdimensionale Geometrie ist sicherlich eine der unheimlichsten Errungenschaften des neunzehnten Jahrhunderts, da sie in glasklarer, dennoch aber undurchsichtiger Art vor uns liegt. Sollen wir dem Algorithmus mehr vertrauen als der Anschauung? Sollen wir uns „auf Flügeln des Verstandes“ hinauswagen in die Gefilde eines $R_{n}$, von dem wir bloß die Zauberformel kennen, die aus unsrem $R_{3}$ nach kombinatorischen Gesetzen extrapoliert ist? Einige Mathematiker versichern uns, es habe dies alles keine Mystik an sich, sei ungefährlich und harmlos wie $a^{4},a^{5},a^{6}...a^{n}$, und sei eben nichts als „Rechnung“, unter der man sich nichts vorzustellen brauche, da sich dabei alles im logischen Raume, gleichsam im Denkraum oder, wie man später sagte, im Konfigurationsraum, vielleicht sogar in einem bloß kombinatorischen Raum abspiele. Mit irgendeiner „Erfahrung“ oder „Wirklichkeit“ hatten die höher dimensionierten Raume überhaupt nichts zu tun. Es sei zudem noch gar nicht ausgemacht, daß unser bekannter Erfahrungsraum dreidimensional sei. Vielleicht sei er undimensional oder metadimensional.

Wir können alles auch hier nur andeuten, da wir zudem mitten in die neueste Phase des Problems geraten sind. Wir wagen deshalb auch keinerlei Entscheidung, sondern glauben vielmehr vermuten zu dürfen, daß sich das Dimensionsproblem, das durch die projektive Geometrie erst wirklich beweglich wurde, noch nach allerlei Gesichtspunkten weiterentwickeln wird und weiterentwickeln muß, wobei der philosophische, erkenntniskritische Standpunkt nicht die letzte Rolle spielt.

Es soll dieses Kapitel aber, abgesehen von all dieser höchst erregenden Problematik, nicht geschlossen werden, ohne daß wir auch der Person Graßmanns, des Begründers der Dimensionentheorie, einige Worte widmen. Er wurde 1809 zu Stettin geboren, studierte Theologie und Philologie und war in der Mathematik durchaus Autodidakt. Mathematische Vorlesungen hat er niemals gehört. Gleichwohl machte er schon 1840 die ergänzende Lehramtsprüfung für Mathematik, da er als Lehrer auch diesen Gegenstand tradieren wollte. Seine „Lineale Ausdehnungslehre“ (1844) wurde überhaupt nicht -beachtet, und erst, nachdem er als Sanskritphilologe (Wörterbuch zum Rigveda), als Herausgeber deutscher Volkslieder und als Zeitungsredakteur sich durchgesetzt hatte, wurde speziell Helmholtz auf seine Untersuchungen über elektrische Ströme, Farbenlehre und Akustik aufmerksam und verhalf auch dem Mathematiker zu der ihm gebührenden Anerkennung, die jetzt um so leichter war, als inzwischen schon andere Mathematiker ähnliche Wege beschritten hatten. Als Lehrer machte Graßmann ein Martyrium durch, da seine Schüler ihm überhaupt nicht gehorchten und seine Unterrichtsstunden ein wüster Tummelplatz von Allotria waren. Dies hauptsachlich deshalb, weil Hermann Graßmanns Charakter bloß Güte, Bescheidenheit und Freundlichkeit beinhaltete.

Wie gesagt, war es diesem sonderbaren Zwitterwesen aus Heiligkeit, Genie und Weltfremdheit beschieden, die Bestätigung der Richtigkeit seiner Ideen, ihren Aufschwung und auch persönlichen Ruhm noch zu erleben.

Mit diesem etwas melancholischen Ausklang wollen wir dieses menschlich wie sachlich bewegte Kapitel beschließen. Wir werden gleichwohl in anderem Zusammenhange noch einmal auf manche der hier angeschnittenen Probleme zurückkommen. Und werden auch dort merkwürdigerweise eine menschliche Tragödie nach der anderen antreffen, gleich als ob die Berührung gerade der höchsten Probleme unserer Wissenschaft, ähnlich wie im alten Griechenland, den Zorn der Götter erweckte.

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Vierzehntes Kapitel

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EVARISTE GALOIS

Mathematik als Verallgemeinerung

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Daß Gleichungen aller Arten und Systeme von Gleichungen stets ein bevorzugter Gegenstand mathematischer Forschung waren, ist deshalb begreiflich, weil sich fast nirgends wie bei der Gleichung die Zauberkraft des Algorithmus offenbart. Irgend etwas ist uns unbekannt und alle Überlegung nutzt nichts, es zu finden. Gedankengänge und Zahlen, Beziehungen und Proben verwirren sich und versagen. Da nehmen wir ein armseliges Zettelchen und einen Bleistift zur Hand, „setzen“ die Gleichung „an“ und überlassen uns weiterhin ebenso neugierig wie vertrauensvoll der Automatik des Verfahrens. Und erhalten in jeder gewünschten Schärfe das Ergebnis.

Nein, nicht doch! Nicht stets erhalten wir dieses Resultat. Denn je höher der „Grad“ der Gleichung wird, desto größere Schwierigkeiten türmen sich vor uns auf und betrügen uns schließlich um die Waffe, die wir schon fest in unserer Hand wähnten. Gut, die Gleichung steht da. Gelöst müßte sie unsere Frage beantworten. Wenn nur der „Grad“ uns nicht alles weitere versperrte.

Wir wissen aus unseren bisherigen Untersuchungen, daß dieses Hindernis sehr bald auftritt. Schon die Gleichung dritten Grades, noch mehr die biquadratische oder viertgradige Gleichung erfordert allerlei verwickelte Umwege, und auch diese versagen in den „irreduziblen“ Fällen. Nun kann man aber, speziell bei physikalischen oder technischen Problemen, der Unbekannten durchaus nicht a priori vorschreiben, welchen höchsten Grad sie bei einem vielleicht lebenswichtigen Problem annehmen soll. Hilfesuchend wendet sich der Ingenieur oder Physiker an den Mathematiker. Und dieser muß bedauernd die Achseln zucken, wenn nicht ein Zufall ihm die Möglichkeit von Kunstgriffen bietet, die eine höhergradige Gleichung auf lösbare Grade zurückzuführen oder zu reduzieren gestattet.

Das schlimmste aber war bei dieser dunklen Angelegenheit, bei diesem Skandal der Mathematik (der allerdings nur einen der zahlreichen anderen „Skandale“ unserer Wissenschaft bildete), daß man nicht einmal wußte, ob Unmöglichkeit oder bloße Unfahigkeitzden Weg zur Auflösung höhergradiger Gleichungen abriegelte. Noch im siebzehnten und achtzehnten Jahrhundert hoffte man mehr als einmal, die Zukunft werde plötzlich Erleuchtungen auf diesen Gebieten bringen, was um so wahrscheinlicher war, als etwa Euler das ganze Gebiet der Gleichungen mit viel neuem Licht erfüllte und auch Cramer, Lagrange und später Cauchy allerlei sehr wichtige Beiträge zur Gleichungslehre lieferten. Ganz zu schweigen vom sogenannten „Fundamentalsatz der Algebra“, der besagt, eine Gleichung müsse so viele Lösungen besitzen, als die jeweils in der Gleichung enthaltene höchste Potenz der Unbekannten anzeige. Dieser Satz, der stets geahnt und zum Teil schon gehandhabt wurde, erscheint bei Girard im Jahre 1629 als Behauptung, wird von Descartes und den folgenden Algebraikern mehr oder weniger vorausgesetzt und von D'Alembert im Jahre 1746 sichergestellt, bis er dann speziell von Gauß in den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts durch mehrere Beweise vollkommen unanfechtbar gemacht wird.

Wir wollen aber jetzt die prinzipielle Erörterung der für unsere Zwecke genügend angedeuteten Probleme der Gleichungslehre verlassen, um uns zwei Biographien zuzuwenden, deren Helden für alle Zeiten mit der tieferen Durchdringung der Gleichungen verknüpft sein werden. Wir meinen damit Niels Henrik Abel und Evariste Galois.

Abel wurde 1802 als Sohn eines Pastors zu Finhö in Norwegen geboren und war schon zu einer Zeit, da andere Menschen mit roten Backen im Schnee herumtollen und einem ahnungsschweren Zukunftsglück entgegenträumen, dreifach vom Schicksal gezeichnet. Armut, Schwindsucht und Melancholie leiteten ihn als finstere Paten in ein Leben, das ungeachtet seiner abgründigenfi Leistungsgewalt doch kein eigentliches Leben werden sollte. Trotz allem glühte in der schwachen Brust dieses N ordländers ein unbändig dämonischer Drang, der sich speziell auf mathematische Bereiche erstreckte und den jungen Mann befähigte, als purer Autodidakt tief in unsere Wissenschaft einzudringen. Schon im Jahre 1822 finden wir ihn an der Universität Christiania und 1823 scheint eine weltbewegende Entdeckung zum erstenmal Licht in sein düsteres Dasein zu bringen. Er glaubt, als erster in der Geschichte der Mathematik, die allgemeine Methode zur Auflösung der Gleichung fünften Grades gefunden zu haben. Die innere Tragödie des folgenden Jahres ist kaum auszudenken. Wir ahnen nur, daß er in Fiebernächten seine „Entdeckung“ mehr und mehr zerbröckeln sieht und daß dadurch für ihn Stück um Stück des kaum gehofften Glückes auf Nimmerwiedersehen entschwindet und sich in Dunst auflöst. Verzweifelt führt er im Jahre 1824 gegen sich selbst den zerschmetternden Schlag. Er beweist, auch diesmal als erster in der Geistesgeschichte, daß die Gleichung fünften Grades durch Wurzelziehen nicht lösbar ist. Ein neuer Umschwung vollzieht sich in seinem Geschick. Man erkennt „maßgebenden Ortes“ sofort die ungeheure Bedeutung dieser scheinbar bloß negativen Tat, die für alle Zeiten der Forschung eine klare Grenze setzt und überflüssige Bemühungen verhindert, und man verleiht ihm ein immerhin nennenswertes Stipendium. Neue Hoffnung schimmert in Abel auf und er reist zum Oberbaurat Crelle nach Berlin, der sich im Jahre 1826 durch die Begründung des berühmten „Crelleschen Journals“, einer führenden Publikation mathematischen Inhaltes, ein äußerst großes Verdienst erwarb, wie er überhaupt auch auf anderen mathematischen Gebieten organisatorisch tätig war. In diesem Journal nun veröffentlicht Abel seine grundlegenden Erkenntnisse über die Gleichungen fünften Grades und über die Konvergenz der binomischen Reihe, welch letztere Untersuchungen von Gauchy beeinflußt waren. Noch im Jahre 1826 reiste Abel nach Paris, um den schon damals hochberühmten Cauchy zu besuchen, den er ja als Lehrer aus der Ferne verehrte. Gauchy aber, dessen Charakter mit seiner Leistung oft nicht in Einklang stand, und der mehr als einmal häßliche Anwandlungen von Mißgunst, ja von Bösartigkeit hatte, empfängt Abel einfach nicht. Auch diese Tragödie ist kaum auszudenken. Mit den letzten Pfennigen des Stipendiums, mit mühselig erschufteten Stundenhonoraren, war Abel bis nach Paris gelangt, um gerade dort verschlossene Türen zu finden, wo ihn neben allem Interesse auch noch eine große geistige Liebe hinzog. Doch auch dadurch ist der unselige Jüngling, dessen Krankheit sich stets verschlimmert, noch nicht vollstandig geknickt. Im Gegenteil. Sein Genie rafft sich noch einmal zu einer Riesentat auf, indem er das nach ihm benannte Abelsche Theorem entdeckt und veröffentlicht, das eine Verallgemeinerung des Eulerschen Additionstheorems elliptischer Integrale darstellt. Hierzu sei bloß angemerkt, daß „elliptische Integrale“, ungefahr ausgedrückt, Integrale sind, unter denen die Variable in einer verwickelteren Irrationalität vorkommt, wie etwa beim Integral

$\int {\sqrt {(a_{1}x^{3}+...+a_{4}x^{0})}}dx$

oder

$\int {\sqrt {(a_{1}x^{4}+...+a_{5}x^{0})}}dx$.

Zu derartigen Integralen gelangt man in der Praxis haufig und ihre Lösungsschwierigkeit war schon längst bekannt, weshalb stets erneute Versuche gemacht wurden, diesem Gebiete beizukommen. Abel nun gelang es auch noch, die Inversion solcher Integrale zu durchleuchten und die mit den elliptischen Integralen in engem Zusammenhang stehende Teilung der „Lemniskate“ (einer höheren Kurve) durchzuführen. Auch dringt Abel zu dieser Zeit in das Gebiet der komplexen Zahlen vor.

Auf der Rückreise von Paris hatte Abel die Absicht, bei Gauß vorzusprechen, dessen Ruhm damals bereits im Zenit stand. Seine Erfahrungen mit Cauchy hatten ihn jedoch derart entmutigt, daß ihn plötzlich innere Hemmungen befielen, die sich bis zur Furcht steigerten. Todkrank floh er zurück nach Ohristiania, wo er noch kurze Zeit hungernd und frierend umherirrte, um eine auch noch so bescheidene Anstellung zu erhalten. Auch dieses bescheidenste Gelingen war ihm versagt. Er starb im Jahre 1829. wenige Tage nach seinem Tode aber langte ein materiell und ideell bedeutendes Berufungsschreiben nach Berlin in Christiania ein und im Jahre 1830 verlieh die französische Akademie dem Toten einen Preis.

Wir unterdrücken jeden Kommentar zu diesem Inferno, in das ein Genie schuldlos geriet, von dem man bei einigem guten Willen hätte wissen müssen, daß es ein Genie war. Jeder Leser von Crelles Journal, und das war die ganze Fachwelt, mußte es wissen. Auch Gauß, dieser rätselhafteste aller Gipfelmenschen, von dem sich erst nach seinem Tode herausstellte, daß er fast alle Erkenntnisse Abels schon im ersten Dezennium des neunzehnten Jahrhunderts, also seit zwanzig Jahren, aus eigenem besaß und gleichwohl schwieg. Vor allem aber wußte es Jacobi, der wahrscheinlich der schuldlose Anlaß des vorzeitigen Sterbens Abels war, da sich Abel in einem angespannten Wettkampf um den Aufbau der Theorie der elliptischen Integrale, die auch Jacobi behandelte, vollständig verzehrte. Wir wollen aber, wie gesagt, nicht pharisäische Tränen vergießen. Denn jeder von uns hat schon Unwürdigen geholfen und Würdige im Stich gelassen. Und es ist fast die Bestimmung mancher Menschen, daß man sie richtig einschätzt und sich trotzdem zu keiner Tat für sie entschließt.

Nun ging das Unheil Abels aber auf einen zweiten Jüngling über, dessen Schicksal mindestens ebenso tragisch war wie das Abels, bei dem es aber nicht von außen, sondern tief von innen heraus die endgültige Katastrophe herbeiführte. Im Jahre 1811 wurde nämlich in Bourg-la-Reine bei Paris ein Kind geboren, das den Namen Evariste Galois erhielt und das schon 1823 das elterliche Haus verlassen mußte, um in die vierte Klasse des Kollegs „Louis le Grand“ einzutreten. Als Evariste Galois fünfzehn Jahre zählte, offenbarten sich bei ihm bereits außerordentliche mathematische Fähigkeiten, die so umfassend waren, daß er sich um die Lehrbücher nicht kümmerte, sondern sich in das Studium der damals bekannten mathematischen Klassiker, vor allem des großen Lagrange, versenkte. Picard, dem wir diese sowie die weiteren biographischen Daten verdanken, sagt, daß Galois schon mit 17 Jahren auf mathematischem Gebiet Erkenntnisse von äußerster Tragweite besessen zu haben scheint. Leider sind die Arbeiten Galois' aus dieser frühen Zeit, die er der Akademie vorgelegt hat, verlorengegangen.

Damals besaß in Paris die von uns schon erwähnte „Ecole polytechnique“ einen außerordentlichen Ruf. Wie ebenfalls schon angeführt, war diese Schule eine Gründung des Kriegsingenieurs De Monge und hatte es in einigen Jahrzehnten ihres Bestehens bewirkt, daß die Verwaltung Frankreichs zunehmend in die Hände von Mathematikern und Ingenieuren gelangte, eine Tatsache, deren Wirkungen auch heute für Frankreich strukturell und sogar machtpolitisch bedeutsam sind. Denn eine „Technokratie“ zeigt stets andere Züge als etwa eine „Juristokratie“ oder gar als eine „Literatokratie“, wie sie im größten Stil durch Jahrtausende in China herrschte.

Es war nur natürlich, daß ein junger Mensch wie Galois das Sprungbrett der „Ecole polytechnique“ als selbstverständlichen Beginn ansah. Er meldete sich auch im Jahre 1829, also als Achtzehnjähriger, dortselbst zur Aufnahmsprüfung, fiel jedoch zweimal durch, weil er sich weigerte, Fragen zu beantworten, die ihm lächerlich und überflüssig erschienen, wie etwa die Frage nach der arithmetischen Theorie der Logarithmen.

Mit diesem abstrusen Ereignis, daß ein Galois bei einer Aufnahmsprüfung in Mathematik durchfällt, ein Mensch, von dem die Größten der damaligen geistigen Riesen hätten lernen können, beginnt die Tragödie. Picard sagt, es scheine leider, daß der unglückliche junge Mensch das Lösegeld für sein Genie in trauriger Art bezahlte. Im gleichen Maß, in dem sich seine mathematischen Fähigkeiten entwickelten, sehe man seinen Charakter sich verdunkeln, der einst fröhlich und offen gewesen; das Gefühl seiner immensen Überlegenheit habe bei ihm einen exaltierten Hochmut hervorgetrieben.

Kurz, Galois bezog tief gekränkt die höhere „Ecole Normale“, gleichfalls eine Gründung De Monges. Doch mußte er auch diese Schule „wegen ungebührlichen Betragens“ schon nach einem Jahr verlassen. Jetzt aber ist die letzte bürgerliche Bindung zerrissen. Galois stürzt sich in die Politik, wird verhaftet, verbringt mehrere Monate hinter den Riegeln des Gefängnisses „Sainte Pelagie“, ohne jedoch trotz all dieser Ereignisse die Mathematik aus dem Blickfeld zu verlieren. Wir besitzen keine näheren Daten, um eine genaue Vorgeschichte der letzten Katastrophe zu schreiben. Manches können wir nur ahnen, wenn wir auf einem alten Stich in dieses trotzige, fast russische Knabengesicht blicken. Und da scheint es uns, daß dieser allzujunge Leib, dieser schmale Knabe von seinen Dämonen zersprengt wurde. Aus einer Liebesgeschichte, so sagt man, entwickelte sich ein Streit, der zum Duell führte. Vielleicht hatte die Braut, die Frau, die Geliebte eines anderen, dem Jüngling ihre Gunst geschenkt. Vielleicht. Sicher ist nur, daß Galois sich seiner Pflicht als Mann nicht entzog, obgleich er wußte, daß er als Genius unersetzbar war. Er fiel in diesem Duell am 31. Mai 1832, noch nicht einundzwanzig Jahre alt.

In der Nacht vor seinem Tode, den er vor sich gesehen zu haben scheint, schrieb er aber einen Brief an seinen Freund Chevalier. Eines der erschütterndsten Dokumente der Geistesgeschichte, da hinter jeder Zeile dieser mathematischen Abhandlung die Knochenfinger und leeren Augenhöhlen des Allwürgers hervorblicken und da sich in der verzweifelten Knappheit der Formulierung das Bestreben zeigt, den letzten Stunden noch all das abzutrotzen, was vielleicht erst weitere Jahre zur Vollreife gebracht hätten.

Doch auch hier wollen wir nicht räsonieren, wollen vor allem nicht einen Menschen bejammern, der stolz und herrisch starb und der auch in seinem „Testament“ keinen Ton von Zaghaftigkeit oder Schwäche zeigt. Gerade Galois ist der Beweis, ist ein leuchtendes Beispiel, daß Mathematik eine Angelegenheit von Männern im besten Sinne des Wortes ist, wo sie sich über gewöhnliche Maße erhebt. Mathematik ist Dienst am Göttlichen, ist Berufung und Erleuchtung, ist Gottnähe und Wahrheitstrunkenheit. Wehe dem, der diese Sprengkraft des Universums als Firlefanz, trockenes Gewäsch oder Gelehrtenschrulle einschätzt. Er wird irgendwann einmal von einem letzten Ausläufer dieser kosmischen Macht erfaßt und wie ein welkes Blatt auf den Kehrichthaufen der Geschichte gewirbelt werden. Wenn er nicht schon vorher in Stumpfheit erblindet. Es ist gewiß und einleuchtend, daß sich nicht jeder mit Mathematik befassen kann und befassen soll. Ebenso gewiß aber ist es, daß die N egierung der Mathematik ein Verbrechen am Geist, an der Kultur und am Aufstieg der Menschheit ist. Wir sind solche Worte einfach den Manen eines Pythagoras, Archimedes, Leibniz und Galois schuldig.

Wir wollen aber jetzt das zeitliche Geschick des tapferen J ünglings, wollen die Kometenlaufbahn dieses allzufrüh Vernichteten beiseiteschieben, um all das deutlicher hervortreten zu lassen, was durch die Leistung des Galois eine mächtige und vielleicht sogar ewige Epoche der Mathematik geworden ist. Und wollen über die Ruhmeshalle, die wir dem trotzigen Knaben errichten, in goldenen Lettern das Wort „Gruppentheorie“ schreiben, das uns fürs erste so wenig sagt, obgleich es fast alles enthält, was heute den Begriff der obersten Regionen der Mathematik, speziell der Algebra, ausmacht. Und was führende Geister, wie etwa Oswald Spengler, zum Glauben veranlaßt hat, die Mathematik habe sich eben durch diese Theorie in nicht mehr zu überbietender Verallgemeinerung vollendet und sei für alle Zukunft gleichsam zur Erstarrung verurteilt. Wir bemerken schon hier, daß wir diese Ansicht durchaus nicht teilen, da alle bisherige Erfahrung der Mathematikgeschichte gegen derartige „Endstadien“ der Erkenntnis spricht. Gleichwohl müssen wir aber ebenso deutlich betonen, daß das Wort „Verallgemeinerung“ im höchsten Maß auf die Gruppentheorie zutrifft. Wir sind dabei jedoch innerhalb unseres Rahmens in keiner guten Lage. Denn wir müßten auch hier wieder ein ganzes Buch schreiben, um diese Theorie halbwegs erschöpfend und wissenschaftlich einwandfrei darzustellen. Trotz aller dieser Einschränkungen aber fühlen wir uns doch verpflichtet, nicht in der Art gewisser Geschichtsbücher der Wissenschaft bloß mit Namen und Fachausdrücken umherzuwerfen. Und wir halten nach wie vor die Vermittlung eines angenäherten Verständnisses für besser als volle Unkenntnis. Dies um so mehr, als Wißbegierige und Fähige oft gerade durch solche skizzenhafte Andeutungen angeregt werden, sich bei Meistern unserer Kunst in aller Strenge und Vollständigkeit erschöpfendes Wissen zu holen.

Der Gruppenbegriff ist für die moderne Mathematik ein ebenso grundlegender und fruchtbarer Begriff wie etwa der Begriff der Größe, des Maßes, der Funktion oder der Menge. Nur ist er womöglich noch abstrakter und umfassender als alle diese aufgezählten mathematischen Kategorien. Deshalb werden wir uns langsam und auf verschiedenen Wegen zum Ziel vortasten. Es sagt uns dabei vorerst sehr wenig, wenn wir als „Gruppe“ ein System von Dingen bezeichnen, das gewisse Eigenschaften, nämlich die sogenannten Gruppeneigenschaften, besitzen muß. Was ist das für ein „System“ und was sind das für „Dinge“? Wir antworten, daß die Dinge sehr verschieden sein können und sein dürfen, die dieses System bilden. Wir werden uns bald präziser ausdrücken, wollen aber vorerst einige Beispiele aus der Mathematik bringen. Also „Systeme mathematischer Dinge“. Denn eigentlich müßten es gar nicht mathematische Dinge sein. Doch wir wollen nicht übermäßig verwirren, sondern vorläufig noch sehr vage erklären, daß etwa sämtliche natürliche Zahlen eine Gruppe bilden. Ebenso sämtliche Logarithmen. Oder etwa die ganze elementare Geometrie. Oder alle Permutationen, die sich aus $n$ Elementen bilden lassen. Oder alle Gleichungen einer bestimmten Form, etwa sämtliche algebraische Gleichungen, also Gleichungen, die bloß durch algebraische Operationen verknüpft sind. Oder sämtliche Zahlen, die, durch eine gewisse Zahl dividiert, denselben Rest ergeben usf.

Nun ist aber das Ziel der Gruppentheorie durchaus nicht bloß auf die Feststellung gerichtet, daß irgendeine Mehrheit oder ein System von Dingen einer Gruppe angehört. Sie will vielmehr genaue Kriterien dafür erhalten, ob wirklich eine „Gruppe“ vorliegt. Denn davon hangt es wieder ab, ob man mit der Gruppe als solcher operieren kann, d. h. ob man sie etwa zu anderen Gruppen in Beziehung setzen oder ob man aus den Beziehungen innerhalb einer Gruppe auf Beziehungen innerhalb einer anderen schließen darf. Wir werden zur Verdeutlichung dieses Gedankens auf ein uns geläufiges Beispiel zurückgreifen, namlich auf die Logarithmen. Nehmen wir inzwischen ohne jeden weiteren Beweis an, die Logarithmen der rationalen Zahlen seien tatsachlich eine Gruppe und die rationalen Zahlen seien ebenfalls eine Gruppe. Beides sind auf jeden Fall unendliche Gruppen, denn es gibt unendlich viel rationale Zahlen und unendlich viele entsprechende Logarithmen. Die Zahlen bzw. die Logarithmen sind die sogenannten „Elemente“ der beiden Gruppen. Die Gruppentheorie aber fordert als erste Gruppeneigenschaft, daß eine Vorschrift vorliege, die ein Element $S$ und ein anderes Element $T$ des Systems eindeutig verknüpft, d. h. ein $ST$ definiert, wobei die Art der Verknüpfung durchaus nicht festgelegt wird. Und wobei weiters $S$ und $T$ identisch sein könnten. Wir dürfen also zwei Elemente etwa addieren, subtrahieren, dividieren, multiplizieren usf. Dabei - und dies ist die zweite Gruppeneigenschaft - muß das Ergebnis dieser Verknüpfung stets wieder ein Element des Systems sein. Bei den rationalen Zahlen ist uns diese Eigenschaft durchaus geläufig. Das Produkt zweier rationaler Zahlen ist stets wieder eine rationale Zahl. Aber auch die Summe zweier Logarithmen ist wieder ein Logarithmus. Wir haben für unser Beispiel konkrete Verknüpfungsarten festgelegt. Das ist natürlich zulässig, sogar im konkreten Fall notwendig.

Als weitere Gruppeneigenschaft wird das Prinzip der Assoziativität gefordert, das besagt, daß stets $(ST)U$ gleich ist $S(TU)$, daß man also die Elemente bei der Verknüpfung zu beliebigen Komplexionen zusammenfassenkann, ohne daß sich' das Ergebnis ändert. So ist sicherlich $(3\cdot 5)\cdot 8$ dasselbe wie ${\displaystyle }$3 \cdot (5 \cdot 8) und ebenso ist $(log3+log5)+log8$ dasselbe wie $log3+(log5+log8)$.

Eine Kommutativität wird als Gruppeneigenschaft deshalb nicht gefordert, weil gerade die nichtkommutativen Gruppen hohes Interesse beanspruchen. Wir sagen: „wird nicht gefordert“. Wir wollen damit zum Ausdruck bringen, daß der Gruppenbegriff keine Naturgegebenheit, sondern eine definitorische Festlegung ist, die, etwa wie ein Axiomensystem, auch anders lauten könnte. Doch auf diese allerschwierigste Grundlagenfrage der Mathematik können wir vorläufig nicht näher eingehen. Wir schreiten daher zur vierten Gruppeneigenschaft, die verlangt, daß im System ein Einheitselement vorhanden ist, das die Eigentümlichkeit hat, bei der speziell vorliegenden Art der Verknüpfung jedes beliebige Element des Systems unverändert zu lassen. So ist bei den durch Multiplikation verknüpften rationalen Zahlen die Einheit 1. Denn jede rationale Zahl ergibt, mit eins multipliziert, wieder diese rationale Zahl. Bei den durch Addition verknüpften Logarithmen ist die Einheit, allgemein gesprochen, der Logarithmus der nullten Potenz der Basis, also $\log _{a}{a^{0}}$, der stets als Ergebnis $0$ liefern muß. Addiere ich zu irgendeinem Logarithmus diesen Logarithmus, dann bleibt er unverändert. Auf der Basis 10 etwa ist $10^{0}+\log n$ oder $\log 1+\log n$ stets wieder $\log n$. Schließlich verlangt die fünfte und letzte Gruppeneigenschaft, daß zu jedem Element S des Systems ein inverses Element vorhanden sein muß, das bei der vorgeschriebenen Verknüpfung aus dem Element die Einheit macht. Man nennt es auch manchmal das reziproke Element.

Bei der Multiplikation rationaler Zahlen ist dieses inverse Element nichts anderes als der reziproke Wert des Elements. Denn etwa $\textstyle 3\cdot {\frac {1}{3}}=1$, was unserer Forderung entspricht.

Bei addierten Logarithmen aber ist dieses inverse Element $(-\log _{a}n)$, denn irgendein $(\log _{a}n)$ führt bei Addition von $\log _{a}n+(-\log _{a}n)$ wieder auf die „Einheit“ $\log _{a}{a^{0}}$ oder Null.

Das sieht, oberflächlich betrachtet, wie eine müßige Spielerei oder wie ein verderblicher Kreisgang (circulus vitiosus) aus. Oder bestenfalls wie eine logische Durchforschung von Systemen. Wir verraten aber - mehr dürfen wir leider nicht -, daß auf den oben geschilderten Gruppeneigenschaften und Gruppendefinitionen ein ganzer Algorithmus aufgebaut wurde, der es gestattet, aus den Verhältnissen in einer uns bekannten und zugänglichen Gruppe auf die Zustände in einer anderen Gruppe zu schließen. Sind etwa zwei Gruppen „isomorph“, dann können die Elemente beider Gruppen so geordnet werden, daß bei gleicher Verknüpfungsart in beiden Gruppen die Verknüpfung zweier oder mehrerer Elemente der einen Gruppe ein Resultat zeitigt, das auf demselben Platz steht wie das Resultat der Verknüpfung der entsprechenden Elemente der zweiten Gruppe. Kann man aber konstatieren, daß, wie etwa in unserem Beispiel der rationalen Zahlen und der Logarithmen, die Addition in der einen Gruppe als Resultat die „analoge Stelle“ ergibt wie die Multiplikation in der anderen Gruppe oder umgekehrt, dann liegt eine Transfomation vor, und man kann überzeugt sein, daß dieses Gesetz in jeder Weise erhalten bleiben muß. Man wird einwenden, daß man die „logarithmische Eigenschaft“ ganz „allgemein“ beweisen kann und daher keine Gruppentheorie zum Beweis braucht. Das stimmt in diesem besonderen Fall, den wir bloß wegen seiner elementaren Bekanntheit als Beispiel wählten. Es stimmt aber bei vielen anderen Untersuchungen und Transformationen durchaus nicht. Etwa schon nicht bei allen Umformungen, die wir vulgo „Substitution“ nennen und von denen wir einige Proben bei den Gleichungen Diophants oder Cardanos kennengelernt haben. Denn erst durch die Gruppentheorie ist es möglich geworden, in manchen Fällen geradezu zu prophezeien, welche Transformationen der Gleichungen zum Ziele führen werden und welche nicht. Dabei ist es natürlich ungeheuer schwierig, die Gruppeneigenschaften im einzelnen Falle festzustellen. Dafür nun gibt es wieder Sätze und Methoden, die es uns gestatten, aus gewissen Eigenschaften zu schließen, daß die Gruppeneigenschaften wirklich vorliegen, obgleich diese Eigenschaften auf den ersten Blick mit unseren fünf geschilderten Eigenschaften der Gruppen nichts zu tun zu haben scheinen.

Kurz, es besteht bereits ein ganzer Algorithmus der Gruppen und nicht bloß der konkreten Gruppen. Es wurde vielmehr der Begriff der „abstrakten Gruppe“ geschaffen, die ebenfalls ihren Algorithmus hat und mittels dessen man die allgemeinste Struktur der Gruppen durchforschen kann. Die Höhe der Abstraktion, die dabei zu leisten ist, wird geradezu schwindelerregend, denn es baut sich oberhalb der Algebra oder der Geometrie zuerst ein zweites, allgemeineres Gebäude auf, das Gebiete dieser Disziplinen gruppentheoretisch erfaßt. Über dieser Übergeometrie und Überalgebra liegt aber in dritter Höhenschicht die allgemeinste abstrakte Gruppentheorie, die diese Bündel von Geometrien oder Gleichungen oder Modulsystemen nur noch so behandelt wie die niedere Algebra die konkreten Zahlen.

Wir sind aber mit unserem Zauberteppich fast bis in die jüngste Zeit vorgeflogen. Denn die angedeutete Entwicklung der Gruppentheorie erfolgte erst nach Galois und wurde durch Camille Jordan, durch Sophus Lie und Felix Klein geleistet, wenn man nur die wichtigsten Namen anführen will. Wir müssen aber jetzt zum tragischen Helden dieses Kapitels, zu Evariste Galois, zurückkehren, der in seinem erschütternden „Testament“, in jenem Brief an Chevalier, in seiner letzten irdischen Nacht die grundlegendsten Erkenntnisse über den Bau von Gruppen in harten, manchmal geheimnisvollen Worten festlegte und den Freund bat, den Inhalt des Briefes nicht bloß zu veröffentlichen, sondern speziell Gauß und Jacobi davon in Kenntnis zu setzen. Nicht, wie Galois sagt, zur Beurteilung der Wahrheit der Erkenntnisse, sondern wegen ihrer unmeßbaren Tragweite (importance).

Galois gelangte als Schüler Lagranges und Cauchys, von denen insbesondere der letztere bereits eine Art von gruppentheoretischen Betrachtungen angestellt hatte, vom Spezialgebiet der Gleichungen zu den Gruppen. Galois wußte von den Erkenntnissen Abels, wußte, daß die Hoffnung ein für allemal begraben war, Gleichungen, die den vierten Grad überschritten, durch Wurzelausziehungen zu lösen. Sonderfälle blieben natürlich lösbar, jene Fälle nämlich, in denen es gelingt, durch Kunstgriffe oder Transformationen (Substitutionen im gewöhnlichen Sinne), den Grad der Gleichung bis zum vierten Grad oder noch tiefer herunterzusetzen. Diese Möglichkeit kann man jedoch im allgemeinen einer Gleichung nicht a priori ansehen und noch weniger kann man die Unmöglichkeit einer solchen Umformung irgendwie halbwegs zuverlässig behaupten. Bei diesem Problem nun setzte Galois ein, und der Weg, den er gezeigt hat, ist ein so tiefgründiger und genialer, daß Galois' Name stets unter den ersten Mathematikern genannt werden wird. Er stellte nämlich die allgemeine Frage, wie die Koeffizienten in einer Gleichung n-ten Grades beschaffen sein müßten, damit die Gleichung durch Reduktion lösbar werde. Von den Potenzen der Unbekannten konnte die Lösbarkeit nicht abhängen, da sich bei Verschiedenheit der Koeffizienten Gleichungen mit denselben Potenzen der Unbekannten das einemal reduzieren ließen und das anderemal wieder nicht. Nun erfand Galois die gruppentheoretische Betrachtungsweise gerade dort, wo sie am allerschwierigsten ist, nämlich bei den Permutationsgruppen. Eine Permutationsgruppe ist sicherlich einmal eine endliche Gruppe, da die Möglichkeit der Permutation ein Ende nehmen muß, wenn bloß die Anzahl der zu permutierenden Elemente eine endliche Zahl ist. Die Anzahl der möglichen Permutationen ist dann $n!$ oder, wie man sagt,

n-Fakultät$=1\cdot 2\cdot 3...n$.

Unter Permutation kann man zweierlei verstehen. Erstens eine vollendete Umstellung der Elemente, wie etwa 1243 eine Permutation der Ausgangspermutation 1234. ist. Man kann aber auch die Tätigkeit des Umstellens, also „das Permutieren“, als Permutation bezeichnen, und zwar den Akt des Überganges von einer Zusammenstellung zur anderen. In diesem zweiten Sinne faßt die Gruppentheorie den Begriff Permutation auf und nennt ihn auch Substitution im weiteren Sinne des Wortes. Eine Gruppierung wird für eine andere substituiert, untergestellt, an deren Stelle gesetzt, die einzelnen Übergänge oder Permutationen oder Substitutionen, oder wie man diese Umstellungen nennen mag, werden nun als Elemente der Permutationsgruppe aufgefaßt, wobei auch identische Permutationen vorkommen können, etwa 123 geht wieder in 123 über. Nun können zwei Permutationen der nämlichen Ziffern etwa 123, das in 312 übergegangen ist, und 123, das in 132 verwandelt wurde, miteinander in gruppentheoretischem Sinne dadurch verknüpft werden, daß sie nacheinander ausgeführt werden. Die erste Permutation ersetzt 1 durch 3, die zweite 3 durch 2, die beiden, wenn man sie nacheinander ausführt, also 1 durch 2. Weiters wird 2 durch 1 und bei der zweiten 1 durch 1, also schließlich 2 durch 1 ersetzt. Schließlich 3 durch 2 und 2 durch 3, also 3 durch 3. Das Ergebnis dieser „Verknüpfung“ ist neuerlich ein Element der Gruppe, nämlich wieder eine Permutation von 123, nämlich 213. In ähnlicher Art kann man fortfahren und kann dabei noch durch eine geeignete Schreibweise den Vorgang einfacher, sicherer und durchsichtiger gestalten. Die Erörterung der Einzelheiten würde unseren Rahmen weitaus überschreiten und wir verweisen auf die in der Sammlung Göschen erschienene Darstellung der Gruppentheorie von Dr. Ludwig Baumgartner, in der man weitere Quellennachweise findet. Wir stellen nur fest, daß sich nach unseren Andeutungen auch aus Permutationen echte Gruppen bilden lassen, die sämtliche Gruppeneigenschaften besitzen. Nun untersucht Evariste Galois - und dies der Zweck dieser Ausführungen - die Permutationen der Koeffizienten von beliebigen Gleichungen und erzeugt dadurch aus einer Gleichung eine ganze Gruppe von Gleichungen. Die Gruppen von Substitutionen oder Permutationen werden weiters darauf geprüft, ob sich aus ihnen Untergruppen gewinnen lassen. Diese Überprüfung ist der Hauptzweck des ganzen Beginnens. Denn eine solche Untergruppe kann ohneweiters eine lösbare Form einer Gleichung darstellen oder beinhalten. Wenn weiters noch entdeckt werden kann, wie sich die Hauptgruppe mittels sogenannter Nebenkomplexe aus einer bestimmten Untergruppe zusammensetzen laßt, dann ist das Problem gelöst. Wir wiederholen etwas deutlicher und konkreter: Der erste Schritt ist die Bildung der Permutationsgruppe aus den Koeffizienten der vorgelegten Gleichung. Der zweite die Zerfallung in Untergruppen, von denen eine oder die andere durch Wegfall (Nullwerdung) von Koeffizienten auf eine höchstens biquadratische Gleichung führt. Der dritte Schritt ist der Versuch, aus dieser Untergruppe mittels gewisser Nebenkomplexe die Hauptgruppe zusammenzusetzen. Gelingt auch dieser, dann ist die Gleichung n-ten Grades (wobei $n>4$) resolvierbar, d. h. schließlich auf solche Gleichungen reduzierbar, die durch Wurzelausziehen lösbar sind.

Es ist für uns unvorstellbar, daß der noch nicht Einundzwanzigjahrige den vor ihm kaum noch halbwegs entwickelten Bau der Gruppen gerade von der vielleicht schwierigsten Stelle aus so vollstandig durchschaute, daß er ihn praktisch verwerten konnte. Und es ist für alle geistig Schaffenden eine unheimliche Mahnung, sich diese Leistung auszumalen, die zwischen Widrigkeiten, Politik, Gefängnis, Liebe und Duell in wenigen Monaten so weit vorgetrieben wurde, daß sie in der letzten Nacht deutlich formuliert werden konnte, wobei die Gruppentheorie dazu noch bloß den ersten Teil des Briefes füllt, wahrend der zweite Teil mindestens ebenso erstaunliche Erkenntnisse über elliptische Integrale enthält, deren eigentliche Erschließung erst Riemann und Weierstraß gelang.

Am Ende des Briefes stehen Worte, die in ihrer schlichten Größe so erschütternd sind, daß wir sie hier wiedergeben müssen. Sie lauten: „Aber ich habe keine Zeit mehr und meine Ideen über dieses unendlich große Gebiet sind noch nicht gut entwickelt. Du wirst diesen Brief in der ,Revue encyclopédique“ abdrucken lassen. Ich habe es oft in meinem Leben gewagt,Vorschläge vorprellen zu lassen, deren ich noch nicht sicher war; aber alles, was ich geschrieben habe, ist seit beinahe einem Jahr bloß in meinem Kopf, und es ist zu sehr in meinem Interesse, mich nicht geirrt zu haben, damit man mich nicht verdächtigen kann, Theoreme auszusagen, deren vollkommenen Beweis ich nicht haben würde. Du wirst Jacobi oder Gauß bitten, ihre Meinung zu sagen, nicht über die Wahrheit, sondern über die Wichtigkeit meiner Theoreme. Nach all dem, so hoffe ich, wird es Leute geben, die darin ihren Vorteil finden werden, diesen Wirrwarr zu entziffern. Ich umarme dich in hinströmender Liebe ...“

Das sind die letzten Worte, die der allzu früh Vernichtete in die Ewigkeit sprach. Sein Gesamtwerk ist in der Ausgabe von Picard ein schmales Bändchen von 61 Seiten. Seine Tat aber war ein so unermeßlicher Vorstoß zur Verallgemeinerung der Mathematik, daß Galois mit Recht neben Abel als Schöpfer der ersten Grundlagen moderner Algebra genannt werden muß.

Wir haben schon erwähnt, daß die Gruppentheorie speziell von Jordan ausgebaut wurde. Inzwischen aber setzten sich mehrere Entwicklungsreihen früherer Entdeckungen fort, die der Verallgemeinerung der Algebra neue Waffen lieferten. Eine dieser Entdeckungen haben wir ebenfalls schon erwähnt. Nämlich die Determinanten. In einem Brief an den Marquis de l'Hospital hatte Leibniz das Prinzip dieses großartigen Algorithmus klar und eindeutig ausgesprochen, wobei er sich der vollen Tragweite seiner Tat genau bewußt gewesen sein muß. Denn am Ende des Briefes schrieb er: „Man sieht hier, auf was ich schon gelegentlich hingewiesen habe, daß die Vervollkommnung der Algebra von der Kombination abhängt.“ Gleichwohl hat Leibniz entweder aus Zeitmangel oder aber weil ihm die Unendlichkeitsanalysis dringlicher und wichtiger schien, die vielversprechenden Anfänge seiner algebraisch-kombinatorischen Entdeckung nicht ausgebaut, und seine Beteiligung an diesen Gegenständen geriet so gründlich in Vergessenheit, daß Gabriel Cramer im Jahre 1750 dieselbe Entdeckung noch einmal machte und insofern mit Recht als der eigentliche Entdecker der Determinanten gilt, da alle Späteren auf seinen Grundlagen weiterbauten. Vor allem Laplace, Lagrange, Gauß und Cauchy, welch letzterer auch den Ausdruck „Determinante“ zum ersten Male gebraucht, ihn jedoch merkwürdigerweise wieder fallen läßt und mit dem Namen „fonction alternée“ vertauscht.

Erst Carl Gustav Jacob Jacobi hat in seinem im Jahre 1841 erschienenen Werk „Über die Bildung und die Eigenschaften der Determinanten“ diese mathematische Kategorie endgültig zum Gemeingut der Mathematiker gemacht.

Nun hat später ein englischer Mathematiker, Sylvester, der die Theorie der Determinanten zur Theorie der Invarianten verallgemeinerte, einmal gesagt: „Was ist im Grunde genommen die Theorie der Determinanten? Sie ist eine über der Algebra stehende Algebra, ein Rechnungsverfahren, das uns in den Stand setzt, die Ergebnisse der algebraischen Operationen zu kombinieren und dieselben vorauszusagen, ähnlich wie wir uns mit Hilfe der Algebra der Ausführung der besonderen Operationen der Arithmetik entheben können.“

Diese Worte aus derart berufenem Munde müssen uns neuerlich aufhorchen lassen, wie wir schon einmal aufhorchtenf als wir hörten, daß sich dieTheorie der Gruppen gleichsam als Algebra der Algebra entschleiert, wenn wir sie näher ins Auge fassen. Was also, so ist jeder, der unser bisheriges Ziel kennt, berechtigt zu fragen, was also sind diese rätselhaften Determinanten, von denen wir noch verraten, daß sie im Zeitraum zwischen Cramer und Jacobi gleichsam eine Art von Geheim- oder Privatwissenschaft der allerbedeutendsten Mathematiker waren?

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir ein wenig ausholen. Alle Algebraiker seit Leibniz stießen stets wieder bei ihren Rechnungen auf ein unüberwindliches Hindernis. Wollte man namlich die allgemeinen Lösungen eines Gleichungssystems angeben, das aus einer nur halbwegs höheren Anzahl von Gleichungen bestand, dann wurden diese sogenannten „Lösungssysteme“ derart verwickelt, daß sie ganze Seiten füllten, wobei noch außerdem jedem Rechenfehler Tür und Tor geöffnet war. Wollte man aber gar ein System einer beliebigen Anzahl von Gleichungen, also n-Gleichungen allgemein lösen, dann hatte man 'überhaupt keinen Algorithmus und keine Schreibweise zur Hand, die solches leisten konnte. Gerade jedoch nach derart umfassenden Lösungen suchte man aus den verschiedensten Gründen in mehreren Gebieten der Algebra und der Geometrie.

Zur Vermittlung eines annähernden Begriffs der „Determinante“, die eben dieses gesuchte Hilfsmittel wurde, wollen wir, ohne tiefer auf die zahllosen Einzelprobleme einzugehen, am Leitfaden eines einfachen Beispieles den Gedankengang erläutern. Wir hätten zwei Gleichungen vorgelegt, die wir allgemein als $f_{1}$ und $f_{2}$ bezeichnen wollen. Es handelt sich dabei um zwei lineare Gleichungen mit je zwei Unbekannten. Sie lauten:

$f_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+c_{1}=0$

$f_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+c_{2}=0$

Warum wir bei den Koeffizienten die Doppelindizes, die von Leibniz stammen, schreiben, wird bald klar werden. Es handelt sich dabei nicht um „a elf“ und „a zwölf“, sondern um „a eins eins“ und „a eins zwei“ usw. Die erste Zahl des Doppelindex zeigt die „Zeile“, die zweite die „Spalte“ an. Das allgemeine Schema von Doppelindizes also lautet:

$11,12,13,14,\;......\;1n$

$21,22,23,24,\;......\;2n$

$31,32,33,34,\;......\;3n$

$41,42,43,44,\;......\;4n$

$\;\vdots \quad \vdots \quad \;\vdots \quad \vdots \quad ......\quad \vdots$

$\;\vdots \quad \vdots \quad \;\vdots \quad \vdots \quad ......\quad \vdots$

$\;\vdots \quad \vdots \quad \;\vdots \quad \vdots \quad ......\quad \vdots$

$n1,n2,n3,n4,\;......nn\;$

Auf unsere Gleichungen übertragen, heißt etwa $a_{53}$ (a fünf drei), daß wir den Koeffizienten vor uns haben, der in der fünften Gleichung des Systems der dritten Unbekannten $x_{3}$ zugeordnet ist.

Dies vorausgesetzt, wollen wir nun unsere beiden Gleichungen behandeln. Wenn wir jeweils eine der Unbekannten dadurch eliminieren, daß wir die erste Gleichung mit $a_{22}$ und die zweite mit $-a_{12}$ multiplizieren, bzw. die erste mit $a_{21}$ und die zweite mit $-a_{11}$ und hierauf entsprechend die beiden Gleichungen addieren, dann erhalten wir als „Lösungssystem“ für die beiden Gleichungen die Werte:

$\textstyle x_{1}=-{\frac {a_{22}c_{1}-a_{12}c_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}}$

und

$\textstyle x_{2}=-{\frac {a_{11}c_{2}-a_{21}c_{1}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}}$

Hierbei fällt uns bereits auf, daß im Nenner in beiden Fallen dieselbe Größe, nämlich $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ steht. Wäre etwa dieser Ausdruck gleich Null, dann würden sich keine Lösungen für die Gleichungen ergeben. Daher ist dieser Ausdruck bestimmend für das Gleichungssystem, determiniert es, ist seine „Determinante“. Das ist aber bloß eine der Aufgaben der Determinantentheorie und vorläufig nur eine Spracherkärung. Erst eine eigene Schreibweise und die Erkenntnis, daß die Determinante einen rein kombinatorischen Charakter hat, wurde der Schlüssel für alles weitere. Man erfand also als Schreibung dieser höchst wichtigen Größe die Darstellung

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$

die, wie jeder solche Operationsbefehl, ihre eigene Regel der Behandlung hat. Man multipliziert namlich in unserem Falle einfach die Diagonalen, wobei man von der ersten Diagonale $a_{11}a_{22}$ die zweite $a_{12}a_{21}$ subtrahiert.

Auf nähere Einzelheiten können wir nicht eingehen. Wir teilen deshalb nur mit, daß eine ganze Algebra der Determinanten möglich wurde, bei der solche zwischen Strichen stehende Schemata wie neue „Überzahlen“ behandelt werden und addiert, subtrahiert, multipliziert, sogar differentiiert werden können. Außerdem gibt es eine große Anzahl von Regeln und Sätzen, die es uns erlauben, sofort allerlei Eigenschaften dieser Determinanten zu erkennen. So ist es etwa leicht möglich, zu sehen, wann eine Determinante Null wird, was weiter heißt, daß das betreffende Gleichungssystem keine Lösungen hat.

Damit der Leser aber doch wenigstens oberflächlich das praktische Funktionieren der Determinanten als Mittel zur Gleichungslösung sieht, wollen wir ein höchst einfaches konkretes Zahlenbeispiel geben. Wir hätten die beiden Gleichungen

$3x+4y+1=0$

und

$5x+2y+6=0$

mittels Determinanten zu lösen. Wenn wir so weit geübt sind, uns die richtige Reihenfolge des allgemeinen Indexschemas vorzustellen, und wenn wir bedenken, daß die Koeffizienten 3 und 4 der ersten Gleichung $a_{11}$ und $a_{12}$ und die Koeffizienten 5 und 2 der zweiten Gleichung $a_{21}$ und $a_{22}$ bedeuten, dann wissen wir schon, daß die Determinante

${\begin{vmatrix}3&4\\5&2\end{vmatrix}}$

lauten muß und als Ergebnis $3\cdot 2-4\cdot 5=-14$ liefert.

Das ist aber noch nicht mehr als die Gewähr, daß das System lösbar ist. Die endgültigen Lösungen sind

$x=-{\frac {\begin{vmatrix}1&4\\6&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&4\\5&2\end{vmatrix}}}$

und

$x=-{\frac {\begin{vmatrix}3&1\\5&6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&4\\5&2\end{vmatrix}}}$

da ja auch die Zähler als Determinanten gewonnen werden können, und zwar wieder nach bestimmten Gesetzen, die sich aus dem von uns oben angeführten Lösungssystem ergeben. Auch hier können wir keine weiteren Einzelheiten bringen, sondern zeigen bloß die Schlußausrechnung. Hiernach ist

$x=-{\frac {-22}{-14}}=-{\frac {22}{14}}$

und

$y=-{\frac {13}{-14}}={\frac {13}{14}}$

was sich bei Einsetzen in obige Gleichungen als richtig erweist.

Wir wollen nur noch einige allgemeine Worte beifügen. Aus dem Begriff und der Anwendung der Determinanten ist es möglich, die Auflösung eines Gleichungssystems von beliebig vielen Unbekannten mit einem einzigen Griff einfach hinzuschreiben. Es muß sich dabei bloß um lineare Gleichungen, also Gleichungen handeln, bei denen sämtliche Unbekannten bloß in der ersten Potenz vorkommen. Weiters aber wird durch die Operation mit Determinanten die tiefste Baustruktur der behandelten Gleichungssysteme enthüllt und es ergibt sich ein Übergang zu den von uns schon erwähnten Permutationsgruppen und weiters zur allgemeinen Gruppentheorie und von da zur sogenannten Invariantentheorie. Die Determinante wird namlich dadurch zur „Invariante“, daß sie für das ganze Lösungssystem eines Gleichungssystems bestimmend wird und gleichzeitig ganze Gruppen von Gleichungssystemen mit gleichgebauten Determinanten gewisse Eigenschaften gemeinsam haben müssen. Ebenso lassen Operationen, die mit Determinanten durchgeführt wurden, in ihren Ergebnissen Schlüsse zu auf die Eigenschaften von kombinierten Gleichungssystemen. Die Algebra operiert hier also nicht mehr mit Gleichungen und Gleichungssystemen, sondern mit Gruppen von Gleichungssystemen, denen eine bestimmte vorgegebene Eigenschaft zukommt.

Auf jeden Fall hat mit diesen Errungenschaften der Algorithmus und die Notation eine Höhe der Verallgemeinerung erreicht, die kaum mehr zu überbieten ist. In der Schreibung Kroneckers wird eine Determinante n-ter Ordnung einfach $|a_{ik}|$ geschrieben, wobei $i$ und $k$ von 1, 2, 3 ... bis n laufen. Ein Gleichungssystem von n-Gleichungen mit n-Unbekannten aber schreibt man heute einfach

$\sum _{k}a_{ik}x_{k}=c_{i}$

(wobei $i,k,=1,2,3...n$ ).

Das Unheimliche ist natürlich nicht, daß man so schreibt, obwohl das Studium von Werken, die sich einer derartigen Stenographie bedienen, schon ein unglaublich geschärftes mathematisches Auge und Ohr erfordert.

Das eigentliche Wunder ist vielmehr die Tatsache, daß man mit derartigen Denkmaschinen, die in sich ganze mathematische Welten bergen, ruhig rechnet, als ob es sich um einfache Zahlen handelte. Wer den Kalkül kennt und beherrscht, der rechnet mit sämtlichen denkbaren Gleichungen und Gleichungsgruppen eines bestimmten Koordinatensystems so bequem und sicher wie mit irgendeinem anderen Algorithmus. Und er ist dadurch sogar befähigt, vorauszusagen, was irgendeine Gruppe von Gleichungssystemen in einem anderen Koordinatensystem treiben wird. Und er weiß, welche Eigenschaften bei dieser Transformation sich ändern und welche beharren werden. Solche Voraussagen, fast möchte man sie Prophezeiungen nennen, sind unter Umständen für die Physik von grundlegender Bedeutung, darüber hinaus aber für die gesamte Mathematik, da sie ganze Weltsysteme von Gleichungen miteinander verbinden oder voneinander lösen können. Kurz, mit der Gruppen- und der Determinantentheorie, der sich plötzlich auch noch die projektive Geometrie anschloß (die aus einer ursprünglichen Opposition zur Algebraisierung heraus entstand, um schließlich selbst zur Algebra zu werden), hat sich eine allgemeinste Theorie der Formen entwickelt, in der die Abstraktion kaum eine Grenze findet. Irgendwie ist damit der Leibnizsche Königsgedanke einer obersten Kabbala, eines allgemeinsten Kalküls, seiner Verwirklichung nähergerückt.

Zu all dem gesellte sich aber noch eine weitere Disziplin, die auch in irgendeiner Art als „Übermathematik“ angesprochen werden kann: die Mengenlehre. Sie ist vielleicht von allen Gegenständen dieses Kapitels am deutlichsten darstellbar, obgleich die Schwierigkeiten, die in ihrem Ausbau liegen, fast unüberwindlich sind.

Um uns genau zu orientieren, müssen wir räumlich, zeitlich und begrifflich unseren Zauberteppich in weitestem Maß in Anspruch nehmen, da die Mengenlehre fast an alle Gegenstände der Mathematik rührt. „Menge“ ist eine Denkkategorie wie Zahl, Anzahl, Größe, Grad oder Gruppe.

Wir setzen die klassische Definition Georg Cantors, des Hauptbegründers der Mengenlehre, an den Beginn: „Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (die die Elemente der Menge genannt werden) zu einem Ganzen.“

Eine Kompagnie Soldaten ist eine Menge von Soldaten, die, wenn sie richtig ausgerüstet sind, zusammen eine „äquivalente“ Menge von Gewehren, Stiefelpaaren, Stahlhelmen und eine höhere Menge von Patronen besitzen. Jede Patrone enthält eine Menge von Pulverkörnern, die neuerlich größer ist als die Anzahl der Patronen. Das alles sind„endliche“ und daher auch selbstverständlich „abzä,hlbare“ Mengen. Jeder Teil einer solchen Menge ist kleiner als die ganze Menge, und es gibt dabei überhaupt die Begriffe des Teils und des Ganzen, des Größer und des Kleiner.

Nun stieß man aber, speziell in der Mathematik, was uns ja wohlbekannt ist, stets wieder auf Mannigfaltigkeiten oder Mengen, die alles andre, nur nicht endlich sind. Gleichwohl müssen sie deshalb nicht unabzahlbar sein. Denn „Abzä,hlbarkeit“ ist keine Tätigkeit, die begrifflich an ein Ende gebunden ist. Zu jedem n in der Folge der natürlichen Zahlen läßt sich stets sofort ein $(n+1)$ denken und zu jedem $(n+1)=m$ wieder ein $(m+1)$ usf.

Diese Unendlichkeit oder Beliebigfortsetzbarkeit oder potentielle Unendlichkeit haben wir ebenfalls bereits in sehr zahlreichen Spielarten kennengelernt. Wir können sie rein logisch als die sich aus dem Bildungsgesetz des Zählens ergebende Folgerung ansehen. Wir dürfen aber auch sowohl psychologisch als transzendental im Sinne Kants den Ursprung dieser potentiellen Unendlichkeit in der reinen Anschauung des Raumes und speziell der Zeit erblioken. Und wir wissen, daß bereits Zenon an manche Paradoxie stieß, die sich aus dieser Unendlichkeit ergab. Jede in Form einer Reihe gebildete Zahl, etwa eine Irrationalzahl, eine konvergierende Zahl auf Grund eines Exhaustionsbeweises oder gar der Aufbau des Kontinuums, gibt uns dasselbe Rätsel auf. Nun erweitert sich dieses Rätsel aber ebenso bei der Konvergenz wie beim Kontinuum sofort durch neue Aspekte. Wir sehen nämlich in beiden Fällen gleichsam das Ergebnis des Aufbaues aus unendlich vielen Teilen vor uns und halten dadurch in der Reihensumme oder in der geometrischen Figur das aktual oder vollendet oder abgeschlossen Unendliche, kurz eine tatsächlich unendliche Menge in der Hand. Wir deuten nur an, daß die Angriffe auf diese Form der Darstellung, wie wir sie eben gaben, nie verstummen werden. Man wird uns sofort entgegenhalten, daß ein „Teil“ nur dann unendlich klein sein kann, wenn die Aufsummierung unendlich vieler solcher Teile stets unter der Einheit bleibt, d. h. als Ergebnis weniger als die denkbar kleinste wirkliche Einheit liefert. Wenn wir auch diesen Standpunkt als relativ berechtigt anerkennen, so halten wir den allzu strengen Logikern entgegen, daß man durch derartige Strenge notwendigerweise in ein Wirrsal von Unendlichkeiten gerät, in dem man schließlich erstickt oder zumindest erkenntnismäßig steril wird. Der menschliche Verstand nimmt in Unendlichkeitsfragen nämlich einen ganz anderen Standpunkt ein als die Intuition. Der Verstand müßte alle Infinitesimaliiberlegungen höherer Art überhaupt ablehnen und dürfte sich auch nicht durch das Postulat eines „Grenzbegriffes“ oder „Grenziiberganges“ aus der logischen Schlinge zu ziehen versuchen. Für den Verstand gibt es nichts Erschütternderes als die uns schon bekannte Feststellung Leibnizens, daß in einer konvergenten Reihe wie

$\textstyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+...$

unmöglicherweise jemals ein Glied auftritt, das unendlich klein wäre. Jedes der Glieder muß endlich groß bleiben, wenn es auch noch so winzig ist. Also müßte die konvergente Reihe - wohl die krasseste „contradictio in adiecto“ - divergent sein, denn Endliches, unendlichmal zueinander addiert, ist selbstverständlich unendlich. Es ist aber ebenso „selbstverständlich“ das Gegenteil der Fall, wozu jedoch mehr die Intuition als die Logik verhilft, da die Logik trotz aller apagogischen Beweise zumindest einwenig unsicher bleibt.

Nun wissen wir weiter, daß schon die Scholastik, vor allem Bradwardinus, Thomas von Aquino und Cusanus tief in diese Antinomien eingedrungen sind, die trotz aller Beteuerungen der modernsten Grundlagenforschung, Logik, Logistik und der „Als-ob-Philosophie“ für den gänzlich undogmatischen und unerbittlichen Betrachter nach wie vor das „Credo, quia absurdum“ der Mathematik bilden und - wie wir hinzufügen - bilden sollen, da erst aus diesem metalogischen Gesichtswinkel heraus sich völlig neue Erkenntnislandschaften blickmäßig erschließen.

Gerade die stolzen und harten logischen Gefilde der Mengenlehre und der Gruppentheorie gehören zu diesen - man erschrecke nicht - metalogischen Gegenden. Denn im Verein mit der modernen Physik haben sie die Logik zu einem Prokrustesbett gemacht. Man rettet, kurz gesagt, die Logik bei einer neuen meta- oder kontralogischen Entdeckung dadurch, daß man ohne viel Aufsehen die Logik entsprechend „streckt“ und hierauf triumphierend verkündet, die neuen Lehren vertrügen sich glänzend mit der Logik. Dadurch, und wir werden darüber im Schlußkapitel noch eingehend sprechen, ist das neunzehnte Jahrhundert das „Säkulum der dehnbaren Maßstäbe“ geworden. Was für einen logischen Sinn, um zur Mengenlehre zurückzukehren, kann die apodiktische Aussage haben, daß der Teil unter gewissen Umständen dem Ganzen gleich sein muß? Und daß die Summe unendlich vieler solcher Teile wieder nicht größer sein kann als das Ganze? Für all das, was man billigerweise unter Logik verstehen kann, ist das ein kompletter Unsinn, ja ein Wahnsinn und Widersinn.

(Man sagt bei unendlichen Mengen „Äquivalenz“ und „Verschiedene Mächtigkeit“, um die Begriffe der Gleichheit bzw. des Größer und Kleiner zu umgehen, das sind aber, wenn man will, bloße Alibiversuche der LogikStreckung.)

Solche Möglichkeiten heben sofort die Sicherheit der gesamten elementaren Mathematik auf, wenn man sie für „logisch“ einordenbar erklärt. Nun kommt aber der Kunstgriff: man erweitert einfach die Logik, grenzt das Gebiet, in dem diese „Ungesetze“ gelten, streng ab und betrachtet im Wege einer ebenso ungeheuren wie ungeheuerlichen Maßabstreckung und Verallgemeinerung die Gesetze des Endlichen als nebensächliche Sonderfälle eines viel umfassenderen Kosmos des Aktual-Unendlichen, das sich seit dem Beginn des neunzehnten Jahrhunderts, seit Bolzano, ohne Widerspruch denken läßt. Im § 14 seiner „Paradoxien“ stellt Bolzano nämlich fest, daß niemand, der sich die „Einwohnerschaft“ Prags oder Pekings vorstelle, dabei auch an jeden einzelnen Einwohner denke. Ebensowenig müsse man etwa, so fügen wir hinzu, bei jeder unendlichen „Punkteschaft“ (Punktmenge) jedem einzelnen Punkt in Gedanken nachlaufen.

Für uns ist Bolzanos Ausspruch geradezu der Beweis dafür, daß es sich bei all diesen Dingen um „Metalogik“ handelt: das ewige Vergleichen, das Extrapolieren aus dem Endlichen ins Unendliche, das absichtliche Verschwimmenlassen des Einzelnen, des Konstituierenden, ist ein intuitiv optischer Vorgang, der durch noch so scharfsinnige Zirkelschlüsse nicht widerlegt werden kann. Georg Cantor selbst, der sich ursprünglich wenig um Philosophie kümmerte, was er später in redlichstem Bemühen durch den Verkehr mit scholastisch geschulten Ordensgeistlichen ausglich, wobei er auf Thomas von Aquino und sein „aktuales Unendlich“ stieß, hat seine Theorie sicherlich rein logisch gemeint. Es liegt uns auch Vollkommen fern, die Genialität der Mengenlehre anzuzweifeln oder die ungeheuren Verdienste Cantors herabzusetzen. Wir fühlen nur, rein historisch, daß sich auch auf diesem Gebiet wieder eine weltwichtige geistige Entscheidung vollzieht, die in kürzerer oder längerer Zeit für die Weiterentwicklung der Mathematik epochal werden wird. Mathematisiert sich die Logik oder logisiert sich die Mathematik? so lautet hier die Kernfrage, und es ist eine Angelegenheit des Gegensatzes zwischen euklidischer, magischer oder faustischer Geisteshaltung, wie man zu diesem Problem, besser zu dieser Problemgruppe, Stellung nimmt.

Doch auch diese Umwälzungen, in denen wir heute noch mit beiden Füßen stehen, dürfen wir bloß andeuten, um unserer eigentlichen Aufgabe nicht untreu zu werden. Wir konkretisieren: Eine Menge ${\mathfrak {M}}$, die wir bereits definierten, kann endlich sein wie die Menge der Zündhölzer in einer Schachtel oder die Menge aller geraden Zahlen bis 10.000. Oder die Menge der Primzahlen von 1 bis 79. Solche endliche Mengen sind stets abzahlbar.

(Und, wie man sagt, auch darüber hinaus noch tatsächlich „abgezählt“.)

Es gibt aber auch unendliche Mengen, die abzählbar sind, und das eben sind die Mengen, derentwegen die Mengenlehre geschaffen wurde. Die Menge aller natürlichen Zahlen ist abzahlbar. Das heißt natürlich nicht, daß sie ein Mensch abzahlen kann, sondern nur, daß sie prinzipiell abgezahlt werden können. Diese prinzipielle Möglichkeit ist so einleuchtend, daß mein Töchterchen mit fünf Jahren sagte: „Nur der liebe Gott kann bis ans Ende zahlen; denn er lebt immer.“ Nun kann man aber auch sämtliche anderen unendlichen Mengen abzahlen, bei denen es möglich ist, jedem Element eineindeutig eine natürliche Zahl zuzuordnen. Etwa samtliche geraden Zahlen, sämtliche Primzahlen, sämtliche durch 2, durch 5, durch 13, durch 79 teilbaren Zahlen. Jede dieser weiteren Mengen ist klarerweise eine Teilmenge der Menge aller natürlichen Zahlen, der eine sogenannte „transfinite Kardinalzahl“ zugeordnet werden kann. Nur begibt sich dabei sofort das Schrecknis, daß alle diese Teilmengen, grob gesagt, gleich groß sind wie die Menge der Ganzheit der natürlichen Zahlen. Unser Schema zeigt deutlich diese Ungeheuerlichkeit:

${\begin{array}{rrrrrrrrrr}1,&2,&3,&4,&5,&6,&7,&8,&.....&\infty \\2,&4,&6,&8,&10,&12,&14,&16,&.....&\infty \\1,&3,&5,&7,&9,&11,&13,&15,&.....&\infty \\3,&6,&9,&12,&15,&18,&21,&24,&.....&\infty \\13,&26,&39,&52,&65,&78,&91,&104,&.....&\infty \\\end{array}}$

Cantor führte für diese Tatsache, daß das „Größer“ und „Kleiner“, der „Teil“ und das „Ganze“ keinen Sinn mehr haben, den Ausdruck „Machtigkeit einer Menge“ ein und schuf Machtigkeitsgruppen, die als transfinite Kardinalzahlen durch Indizierung voneinander unterschieden werden. Diese neue Zahl heißt $\aleph$ (Aleph) und erhält einen Index als $\aleph _{0}$, $\aleph _{1}$, $\aleph _{2}$, ... $\aleph _{\infty }$. Unsere obigen Beispiele gehören sämtlich zum Typus $\aleph _{0}$.

Nun glaubte man lange, daß die Menge aller rationalen Zahlen nicht abzählbar sei, also nicht zur Gruppe $\aleph _{0}$ gehöre. Cantor bewies jedoch, daß dieser Glaube nicht zutreffe. Denkt man sich nämlich alle rationalen Zahlen in folgender Art geschrieben:

${\begin{array}{lclclclclc}1&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&2&&3&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&4&&5&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&6&\quad 7&...&usf.\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&\\{\frac {1}{2}}&&{\frac {2}{2}}&&{\frac {3}{2}}&&{\frac {4}{2}}&&{\frac {5}{2}}&&{\frac {6}{2}}&\quad {\frac {7}{2}}&...&usf.\\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&\\{\frac {1}{3}}&&{\frac {2}{3}}&&{\frac {3}{3}}&&{\frac {4}{3}}&&{\frac {5}{3}}&&{\frac {6}{3}}&{\frac {7}{3}}&...&usf.\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&&&\\{\frac {1}{4}}&&{\frac {2}{4}}&&{\frac {3}{4}}&&{\frac {4}{4}}&&{\frac {5}{4}}&&{\frac {6}{4}}&{\frac {7}{4}}&...&usf.\\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&&&&&\\{\frac {1}{5}}&&{\frac {2}{5}}&&{\frac {3}{5}}&&{\frac {4}{5}}&&{\frac {5}{5}}&&{\frac {6}{5}}&{\frac {7}{5}}&...&usf.\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&&&&&&&\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\;\;\vdots &...&usf.\\\end{array}}$

so ist es klar, daß man, den Pfeilen folgend, in einer Art zählen kann, die keine denkbare rationale Zahl ausläßt, da im Schema sogar zahlreiche Rationalzahlen mehrfach stehen, wie

$\textstyle 1,{\frac {2}{2}},{\frac {3}{3}}$ usf. und $\textstyle {\frac {5}{6}},{\frac {10}{12}},{\frac {15}{18}},{\frac {20}{24}}$ usf.

So ist etwa auch die Menge aller algebraischen Zahlen

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}=0$

abzählbar, was man sehr leicht beweisen kann.

Das eigentliche Kreuz der Mengenlehre bildet bis heute noch die Menge aller Zahlen, die das Kontinuum zusammensetzen. Sicherlich ist die Menge aller Irrationalzahlen, die zu den rationalen hinzutreten müssen, um das Stetige auch wirklich zu füllen, oder besser, um die Stetigkeit zu erzeugen, nicht abzählbar. Die Menge aller reellen Zahlen gehört somit nicht zum Typus $\aleph _{0}$. Wohin also gehört sie? Das ist noch nicht geklärt und viele modernste Forscher neigen dazu, den Begriff der Mächtigkeit überhaupt fallen zu lassen.

Wir dürfen uns aber auch hier leider nicht in Einzelheiten verlieren, sondern wollen nur, außer den bereits erwähnten, noch einige Paradoxien anführen, die sich aus der Mengenlehre ergeben. Die bekanntesten Widersprüche liegen in den Begriffen der „Menge aller Kardinalzahlen“ und der „Menge aller Ordnungszahlen“ (Antinomie von Burali-Forti). Es muß namlich zu jeder Kardinalzahl noch eine größere derartige Zahl geben. Daher sind die beiden angeführten Mengen unmöglich und sinnlos. Auch eine „Menge der geraden Ordnungszahlen“ ist sinnlos. Ein weiteres paradoxes Ergebnis wäre nach Zermelo und Russel die „Menge aller Mengen, die einander nicht als Element enthalten“. Ebenso ist die „Menge aller Mengen“ unmöglich und paradox.

In neuester Zeit haben Hausdorff und andere eine ganze Reihe anderer mengentheoretischer Paradoxien, speziell in der Geometrie, entdeckt, die oft zu phantastischen Ergebnissen führen. So kann man beweisen, daß sich die Sonne zerlegen und wieder zu Apfelgröße zusammensetzen läßt, ohne daß etwas weggenommen, hinzugegeben oder komprimiert wird.

Der Begriff der geometrischen „Mannigfaltigkeiten“, wie auch Cantor selbst ursprünglich die Mengen nannte, spielt übrigens schon seit Graßmann und seit Riemann eine große Rolle in der Mathematik. Es handelt sich dabei um den primarsten Aufbaubegriff des Ausgedehnten. Man glaubte nun, und der „gemeine Menschenverstand“ hält dies für selbstverständlich, daß die Menge der Punkte in einer Linie zu den Mengen in der Fläche oder in den Körpern sich verhalten müßten wie $\infty ^{1}$ zu $\infty ^{2}$ zu $\infty ^{3}$. Die Mächtigkeit dieser Mengen müßten also verschieden sein wie Unendlichkeiten verschiedener Ordnung. Die Mengenlehre leugnet diesen Unterschied und kennt nur eine einheitliche Punktmenge für alle Dimensionen, die stets vom gleichen Grade der Mächtigkeit ist. Sehr unheimlich ist auch etwa folgende Antinomie. Nehmen wir an, wir hätten in einem gewöhnlichen kartesischen Koordinatensystem die Einheit auf der x-Achse etwa als Mikromillimeter und auf der y-Achse als Billion von Lichtjahren gewählt. Die Menge der Punkte in der x-Richtung muß „natürlich“ dieselbe sein wie in der y-Richtung, da ja sonst keine eineindeutige Zuordnung oder Bildung von Zahlpaaren möglich wäre. Wie nun sehen diese Punkte aus? Kann es irgendein Verstand fassen, daß es sich dabei um Punkte handelt? Das müßten doch ebenso „natürlich“ recht ansehnlich gedehnte Gebilde sein, und zwar gedehnt in der y-Richtung. Gut, es sind unendliche Mengen und vor der Unendlichkeit verschwinden solche lächerliche Unterschiede wie das Verhältnis von einem Mikromillimeter zu einer Billion Lichtjahre. Aber? Da gibt es kein „Aber“. Wenn wir nämlich plötzlich die Maßstäbe der Koordinaten tauschen, entsteht nicht etwa eine furchtbare Umwälzung, sondern es geschieht mengentheoretisch und analytisch überhaupt nichts. Nicht einmal die bescheidenste Transformation.

Kurz, faustisch betrachtet, hat sich hier wieder einmal die Kabbala mit den gotischen Spitzbogengewölben verschwistert, die sich in unheimlich-ahnungsschweres Dunkel verlieren. Der Logiker wird nicht erschrecken. Er wird rechnen, wird sondern, prüfen, begrenzen, wird überlegen lächelnd behaupten, es seien gleichsam ungeduldige Kinder, die sich stets unter all diesen rein denkmaschinellen Dingen etwas „Anschauliches“ vorstellen müßten. Man dürfe sich nichts vorstellen, sonst sei man bereits irgendwie mit außermathematischen Ansprüchen verseucht oder gar bloß infantil.

In dieser starren, gläsernen Begrenzung des Magischen wurde und wird auch die Mengenlehre zum Algorithmus ausgebaut und als Untermauerung der Zahlen-, der Funktionen- und der Integraltheorie verwendet. Sie wird mit einem Fingerschnippen sofort wieder ein Überbau der ganzen Mathematik und sogar der Logik. Sie wird überhaupt, wie die Gruppentheorie, zur Überwissenschaft, zur allgemeinen Denkkategorie.

Aber sie zeigt uns, wenn man so sagen darf, überall die Drachenzähne, und mehr als je stehen wir vor der Tatsache, daß jeden Augenblick die Donnerstimme ertönen kann: „Du gleichst dem Geist, den du begreifst, nicht mir!“

Denn die Intuition ist nicht bloß ein Requisit von Kindern, sondern in ihren Spitzenleistungen ein Requisit des Göttlichen. Wieder erhebt sich die dunkle Frage, ob wir Menschlein vollkommen ungestraft den Bereich der „Ge oikouméne“, der bewohnten Erde, verlassen und uns jenseits dieser Grenzen im Bereich Gottes tummeln dürfen. Ungestraft in dem Sinne, als es sehr fraglich ist, ob wir berechtigt sind, uns in magisch-diesseitigem Überheblichkeitsgefühl einfach die Logik so zurechtzustutzen, wie wir sie eben brauchen. Oder ob wir nicht vielmehr die faustische Verpflichtung haben, die Beruhigung der Logik dort zu verschmähen, wo viel ursprünglichere Hintergründe fühlbar werden. Mathematische Puritaner wird das Wort „fühlbar“ erschrecken oder abstoßen. Auch das Hereinziehen Goethescher Weltkategorien in diesen Bereich wird unzeitgemaß erscheinen, da Goethe unbestreitbar ein unmathematisch strukturierter Geist war, wenn man auch von mancher Seite seine angebliche mathematische Veranlagung zu retten versucht.

(Unsere Ansicht des unmathematischen Goethe wird in schlagendster Art allein durch die Farbenlehre, das Musterbeispiel rein qualitativer und vollstandig quantitätsfremder Physik bestätigt.)

Diese Einschränkung ändert es jedoch nicht im mindesten, daß die gleiche Goethesche Struktur sich auch auf mathematische Bereiche erstrecken kann und erstrecken muß. Wir reden da nicht ins Leere. Geister wie Poincaré, Boutroux und hervorragende Mathematiker in Deutschland, wie Bieberbach, zielen mit ihren neuesten Forschungen in dieselbe Richtung. Und man läßt sich nicht überall dadurch verblüffen, daß die „Streckung der Logik“ eine Pseudo-Logisierung der Mathematik ergibt. Es ist, noch einmal hervorgehoben, ebenso berechtigt, zu behaupten, es existiere gleichsam ein eigener „mathematischer Gegenstand“, ein Reich der Mathematik, das eher entdeckt als erfunden werden muß. Hat man es entdeckt, kann man es logisch oder logistisch, oder wie man will, kultivieren, verallgemeinern und formalisieren. Dieses Reich ist aber so groß, so voll von unerhörten Wundern, daß sich ein aufmerksamer Historiker niemals einbilden kann und einbilden wird, es sei erschlossen oder auch nur erschließbar. Wieder und wieder wird zwischen den gleißend-glatten Fliesen prunkvoller mathematischer Städte das Gras des ewigen Werdens hervorwuchern, und die Städte werden in Schutt und Trümmer sinken, bis neue Baumeister, in neuem, noch ungesehenem Stil, neue Städte bauen, in denen nie gehörte Idiome erklingen werden.

Der Algorithmus aber und die Verallgemeinerung, um wieder rein mathematisch zu sprechen, können riesige und stets riesigere Komplexe umgreifen.

Irgendwo bleibt aber stets jeder „Überzahl“ doch nur die Anzahl zugeordnet, die es erst erlaubt, mit der Überzahl zu rechnen.

Und sowohl der Algorithmus als auch die Verallgemeinerung sind bloß Forschungsgeräte, wenn sie sich auch als Zauberlehrlinge noch so wild gebärden. Man glaubt auch heute nicht mehr so innig wie zur Zeit des großen Laplace an die Allgewalt der industriellen Erschließung der Mathematik durch den Algorithmus. Die besten mathematischen Köpfe wissen aus eigener primärer, unbestreitbarer Erfahrung zu gut, daß neue mathematische Erkenntnisse nicht nur „errechnet“ oder „kalkuliert“ werden, sondern daß die größten Erleuchtungen wie nie gehörte Melodien plötzlich aus Urtiefen herauftönen, die auch ihr Schöpfer nie durchleuchten oder ergründen wird.

Die reinen Tautologisten und Panlogiker wollen in puritanischem Eifer den Kosmos der Mathematik zur Erstarrung und zum Abschluß, die Untergangspropheten der Richtung Spengler dagegen die mathematische Forschung zur Verzweiflung bringen. Wir behaupten dies in keiner Weise degradierend, sondern konstatierend. Gegen beide Tendenzen meldet sich aber nicht bloß religiöses und faustisches Empfinden, sondern geradezu das biologische Urgesetz, so daß man auch auf diesem Felde den Materialismus materialistisch schlagen könnte. Wozu wir noch, um Mißverständnisse zu vermeiden, anmerken, daß wir eine rein instrumentale, panlogische Behandlung der Mathematik als durchaus materialistisch betrachten müssen, da der Instrumentalgedanke in einem anderen Weltanschauiingstypus kaum zureichend widerspruchslos verankert werden kann.

Da aber - und dies möge als versöhnlicher Ausklang dieses Kapitels noch angefügt werden - die scharfe Logisierung der Mathematik und die Mathematisierung der Logik zur Vertiefung unserer Wissenschaft mächtig beigetragen haben, sollen nicht die Auswüchse, sondern eher die Früchte dieses Wachstumsprozesses betrachtet werden. Wir müssen noch einige Provinzen des Reiches der Mathematik durchschreiten, in denen im neunzehnten Jahrhundert mächtige Revolutionen tobten. Trotzdem aber wollen wir vorgreifend feststellen, daß die Beherrscher der „Provinz Algebra und Verallgemeinerung“ das Haus für die Zukunft Wohlgeordnet haben und daß alles bereitsteht, um neue Gaste und Boten aus dem Jenseits gebührend zu empfangen.

15

Fünfzehntes Kapitel

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C. F. GAUSS

Mathematik als Weltfahrt

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Wir schlossen unser letztes Kapitel mit der Ankündigung, daß noch einige Provinzen zu durchschreiten wären. Soweit es die Anlage unseres Buches betrifft, stimmt dieses Versprechen, besser diese Begrenzung. Nicht aber für Gauß selbst. Denn dieser Heros, dem wir uns jetzt ehrfürchtig nahen, war nicht bloß Beherrscher einer dieser Provinzen, sondern der unbestrittene „princeps mathematicorum“, der Fürst des Gesamtreiches der Mathematik.

Kein Makel, kein Schatten liegt über diesem einzigartigen Stern allererster Größe, über dieser Gestalt, die wie Leibniz, Goethe und Kant, Cartesius, Newton zu den ganz unvergleichlichen Spitzen der Menschheit aller Nationen und aller Zeiten gehört.

Wie ein Kant der Sohn eines armen Sattlers war, so verlebte der kleine Gauß die ersten Jahre seines Lebens im bescheidenen Hause eines Maurers. Doch nein. Nicht Maurer allein war der Vater, sondern noch dazu „Wasserkunstmeister“, also ein Mann, der die Wasserkünste und Springbrunnen zu betreuen hatte.

Geboren wurde Gauß im Jahre 1777 in Braunschweig, wo besagter Vater ansässig war. In den allerersten Lebensjahren lernte Gauß, wie er selbst erzählte, früher rechnen als sprechen. Dann begann er seine Verwandten „um Buchstaben anzubetteln“ und konnte plötzlich lesen und schreiben, ohne daß jemand recht wußte, woher.

Mit sieben Jahren bezog er die Katherinen-Volksschule, wo er an hundert Mitschüler hatte und sich durch nichts weiter auszeichnete. Erst mit neun Jahren führte ein Zufall zu seiner Entdeckung. Sein Lehrer Büttner stellte den Knaben die Aufgabe, die Zahlen 1 bis 60 zu summieren. Jeder, der mit der Aufgabe fertig sei, sollte dann die Schiefertafel auf einen großen Tisch legen, und zwar eine über die andere, so daß der Lehrer sowohl Tempo als Richtigkeit der Lösung konstatieren konnte. Wenige Augenblicke nach Bekanntgabe des Problems springt der winzige Gauß auf, eilt zum Tisch und sagt im Braunschweiger Dialekt die in der Wissenschaftsgeschichte ewigen Worte „ligget se“ („hier liegt sie“). Der Lehrer, der die Karbatsche in der Hand halt, sieht den blassen kleinen Kerl mitleidig an. Gut, wie er will. Die Karbatsche wird ihm solche Scherze für die Zukunft versalzen. Als nach geraumer Zeit alle Tafeln auf dem Tisch liegen, blickt der Lehrer eine nach der andern an und spendet Lob und Tadel. Fast hat er schon der ersten Tafel vergessen. Was? Wie? Dort steht ja nichts als 1830 auf der Tafel? Wie hat er das gemacht, der Knirps? Hat er gar zufällig das Ergebnis auswendig gewußt? Gauß aber sagt schlicht, er habe in Gedanken die höchste unter die niederste Zahl geschrieben, die zweithöchste unter die zweitniederste und so weiter. Also

${\begin{array}{rrrrrrr}1,&2,&3,&4,&5,&\dotsc ,&30\\60,&59,&58,&57,&56,&\dotsc ,&31\\\end{array}}$

___________________________________

${\begin{array}{rrrrrrr}61,&61,&61,&61,&61,&\dotsc ,&61\\\end{array}}$.

Dann habe er stets je zwei addiert und die dreißig gleichen Resultate summiert, bzw. durch Multiplikation von $30\cdot 61$ die Summe erhalten. Dreimal einundsechzig ist doch 183 mal zehn ist 1830. Ist das so schwer? Büttner ließ die Karbatsche sinken und tat etwas, wofür ihm ein Denkmal gebührt. Er besorgte für Gauß ein Lehrbuch der Mathematik aus Hamburg und erklärte kurze Zeit nach dieser ersten Tat freimütig, Gauß könne von ihm nichts mehr lernen. So aber ging es weiter. Weder die technische Hochschule noch die Universitat Göttingen konnten dem Riesengeist etwas bieten, der, gleich einem Galois, schon mit 15 Jahren Newton, Euler und Lagrange studierte. Noch nicht ganz 19 Jahre alt, entdeckte er die Kreisteilungsgleichungen, auf die wir zurückkommen werden, und empfand über diese Entdeckung, wie er später sagte, eine „mäßige Freude“. In dieser sonderbar melancholischen Freude schenkte er seinem besten Freund Wolfgang Bolyai die historische Schiefertafel, auf der seine Karriere als Mathematiker begonnen hatte. Sofort aber strebte er weiter. In seiner Studentenzeit verfaßte er bereits eines der grandiosesten Werke der Mathematikgeschichte, die „Disquisitiones arithmeticae“, die 1801 erschienen und den greisen Lagrange zum Ausruf nötigten, Gauß habe sich damit sogleich in den Rang der ersten Mathematiker erhoben. Mit 23 Jahren wurde Gauß schon Mitglied der Petersburger Akademie und mit 25 Jahren setzte er die ganze Welt in Erstaunen. Der kleine Planet „Ceres“ war nämlich kurz nach seiner Entdeckung dem Gesichtskreis der Astronomen wieder entschwunden und man wußte kein Mittel, ihn wiederzufinden. Da setzte sich der junge Mathematikerfürst zum Schreibtisch, rechnete einige Blätter voll und erklärte, er habe die Bahn der „Ceres“ festgestellt. Dort und dort müsse sich das Sternchen eben herumtreiben. Man suchte und fand sofort. Gauß aber war zum Weltwunder geworden, um den die Staaten zu buhlen begannen. Um ihn in der Heimat festzuhalten, ernannte man ihn zum Leiter der noch nicht erbauten Sternwarte in Göttingen, an der er dann bis an sein Lebensende im Jahre 1855 wirkte.

So weit eine kurze Skizze seines Lebenslaufes. Strukturell verbanden sich im Geist Gaußens, etwa wie bei Archimedes, drei Eigenschaften, die zugleich seine Einzigartigkeit ausmachen. Er blickte auf die Mathematik herab wie auf eine Landkarte, die man bloß zu entziffern brauchte, um die entferntesten Gegenden miteinander zu verbinden. Er wußte aber als durch und durch prometheischer Geist auch, daß Mathematik nicht Selbstzweck sei. Er wollte das Schwert nicht nur schmieden, sondern wollte wie Siegfried mit diesem Nothung sich durch Erde und Himmel durchschlagen. Dadurch aber wurde er ein Bahnbrecher der angewandten Mathematik, speziell der Geodäsie, Physik und der Astronomie. Drittens, und das erinnert ebenfalls an Archimedes, brauchte er keine fremde Hilfe, um die verwickeltsten und mühsamsten Dinge zu berechnen. Er rechnete mit gewöhnlichen Zahlen ebenso bienenfleißig wie mit Integralen, komplexen Variablen und gekrümmten Räumen. Oder mit Wahrscheinlichkeitskurven und Kongruenzen. Und er maß ein Riesendreieck Brocken-Hohenhagen-Inselsberg, um, wieder mittels der Fehlertheorie, herauszubringen, ob der Raum, in dem wir leben, ein ebener oder gekrümmter Raum sei. Und das Rätselhafteste: er behielt gerade, wie wir schon bei der Besprechung Niels Henrik Abels gesehen haben, die allerwichtigsten Entdeckungen bis an sein Lebensende bei sich und sah, im wohltätigen Gegensatz zu einem Newton, seelenruhig zu, wie andere seine Entdeckungen neu entdeckten und publizierten. Ja, er lobte sie dafür noch in überschwenglichen Worten. Als man ihn aber fragte, warum er etwa die nichteuklidische Geometrie, die er vollständig besaß, nicht bekanntgemacht habe, meinte er, er habe das „Geschrei der Böotier“ gefürchtet. Obwohl Gauß diese Worte gesagt hat, wagen wir, an ihrer objektiven Richtigkeit zu zweifeln. Ein Gauß, vor dem fast sechzig Jahre seines Lebens alle maßgebenden Kritiker ehrfürchtig und bewundernd, neidlos und um Gunst werbend, gleichsam kniend im Staube lagen, hatte kein Böotiergeschrei, also keinen Pöbelaufstand der Banausen zu fürchten. Viel eher fürchtete er die „Mütter“, fürchtete, durch Preisgabe eines Geheimnisses letzter Urtiefen, in dessen Besitz er durch Zufall gelangt war, die Harmonie der Sphären zu erschüttern oder Kräfte in Bewegung zu setzen, die das Maß des durch Menschen zu Bändigenden überstiegen. Wir halten das „Rätsel Gauß“ für ein hohepriesterliches Geschehen, für Gottesfurcht und Moralität in des Wortes schönster Bedeutung, für tiefinnerstes Denkertum, dem die große Sache der Welt über allen persönlichen Motiven steht. Schrullig war Gauß in keiner Art. Er war bloß dämonisch durch und durch und war so wissend, daß er nicht Dinge in Bewegung setzen wollte, für die die Zeit vielleicht noch nicht reif war. Fanden andere seine Geheimnisse aus eigenem, dann war dies für ihn der Beweis, daß die Zeit doch schon reif war. Und da wieder nur er wußte, wie unsäglich schwer diese Erkenntnisse zu erringen waren, schreibt er an Wolfgang Bolyai, als dessen Sohn Johann Bolyai die nichteuklidische Geometrie entdeckt hat und die äußere Priorität dieser Entdeckung gewinnt: „Ich halte diesen jungen Geometer von Bolyai für ein Genie erster Größe.“ Wir aber fügen hinzu, daß wir Gauß aus überströmendem Herzen und mit tiefster Ehrfurcht für einen Charakter erster Größe halten, was vielleicht noch mehr ist als höchste Genialität.

Es ist uns leider im Rahmen einer Epochengeschichte versagt, die Gesamterscheinung dieses Mannes zu würdigen. Doch dürfen wir uns dabei damit trösten, daß Gauß, rein wissenschaftlich, mitten unter uns lebt und auch auf mehr als eine Art jedem zugänglich ist, der ernster in die Mathematik eindringt. Wir werden uns also darauf beschränken, einige seiner allerobersten Entdeckungen anzudeuten und in unserer schon oft geübten Art auf unser Niveau herunterzutransformieren, wobei wir versuchen werden, an Dinge anzuknüpfen, die uns schon bekannt sind. Zuerst wollen wir die früheste epochale Entdeckung Gaußens, die die sogenannten Kreisteilungsgleichungen betrifft, unter die Lupe nehmen. Daß Gauß einer der größten Zahlentheoretiker war, sei hierbei vorausgeschickt. Ebensolche Gegenstände behandelten ja die berühmten „Disquisitiones arithmeticae“ vom Jahre 1801, die man, frei übersetzt, als eine „Untersuchung über das Reich der Zahlen“ bezeichnen könnte. Es war nun, ohne daß Gauß darum wußte, dem norwegischen Feldmesser Wessel gelungen, im Jahre 1798 zum erstenmal die imaginären Zahlen analytisch darzustellen, die man bisher, wie wir schon wissen, als „unmöglich“ oder höchstens als Einbildungsprodukte bildlosester Art angesehen hatte. Wessel sei genannt, weil er nicht um den Ruhm kommen soll, eine Genietat vollbracht zu haben. Als Epoche aber wirkte bloß die fast gleichzeitige identische Entdeckung Gaußens. Wir, die wir heute ja gewohnt sind, in jedem Mittelschullehrbuch oder im Konversationslexikon kurz und bündig über diese Abbildung imaginärer und komplexer Zahlen Aufschluß zu erhalten, können uns nicht mehr in die Lage zurückversetzen, der sich der junge Gauß gegenübersah. Man war noch das ganze achtzehnte Jahrhundert hindurch äußerst mißtrauisch gegen die imaginären Zahlen gewesen, da selbst die großen Mathematiker im Rechnen mit Imaginärzahlen unablässig die schwersten Fehler begingen, so daß es schließlich keiner mehr wagen wollte, für das mathematische Geisterreich seinen im mathematischen Diesseits festbegründeten Ruf aufs Spiel zu setzen. Gut, man hatte allerlei Rätselhaftes gefunden. So etwa hatte De Moivre im Jahre 1738 bereits ausgesprochen, daß die n-te Potenz der komplexen Zahl $(\cos \alpha +i\sin \alpha )^{n}$ gleich sei $\cos n\;\alpha +i\sin n\;\alpha$.

Euler wieder wußte um die Beziehung $i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$, und schließlich fanden Bernoulli und D'Alembert, daß durch beliebige algebraische Behandlung komplexer Zahlen stets wieder eine komplexe Zahl gewonnen werden müsse, wofür, nebenbei erwähnt, die Formel De Moivres ein sehr allgemeines Beispiel war.

Gleichwohl aber blieb das Reich der imaginären und komplexen Zahlen ein höchst unheimliches Geisterreich, dessen Gesetze dem allzu kühnen Eindringling ungreifbar und unkontrollierbar in den Händen zerrannen, als ob er nach Schleiern von Gespenstern hätte langen und sie festhalten wollen. Nun konnte man aber in einem bestimmten Gebiet der Mathematik dem „Geisterreich“ nicht ausweichen. Nämlich in der Lehre von den Gleichungen. Wenn der „Fundamentalsatz der Algebra“ (Gleichung n-ten Grades hat stets n Lösungen) gelten sollte, dann kam man um komplexe Lösungen nicht herum. Auch natürlich nicht bei einer Gleichung vom Typus $x^{n}=1$ oder, was dasselbe ist, $x^{n}-1=0$. Bei dieser Gleichung sind höchstens zwei Lösungen reell, nämlich $+1$ und $-1$ bei geradem n, Während alle anderen Lösungen zwangsläufig komplex sein müssen.

Nun war es aber, wie wir schon mitteilten, Gauß gelungen, in genialer Art eine geometrisch-analytische Darstellung der komplexen Zahlen zu finden, die nicht mehr auf Zahlenlinien, sondern in einer Zahlenebene liegen. In unserer Figur sehen wir diese „komplexe Zahlenebene“ vor uns, deren Ausdeutung und Entstehungsart in unserem Buche „Vom Einmaleins zum Integral“ nachgelesen werden kann. Tragen wir nun alle Lösungen der Gleichung $x^{n}-1=0$ auf diese Zahlenebene ein, dann lassen sich die Punkte, die diesenl Zahlen entsprechen, durch Gerade verbinden, die zusammen ein regelmäßiges n-Eck bilden. Welch magisches Wunder mit dieser Entdeckung erschlossen war, ist kaum zu schildern. Man mache sich den Tatbestand klar: eine Gruppe von reellen und komplexen Zahlen, die zusammen alle Lösungen der Gleichung $x^{n}-1=0$ bilden, ergibt in einer zweidimensionalen analytisch-geometrischen Darstellung ein reguläres Polygon und teilt damit den diesem Vieleck umschriebenen Kreis in n Teile, bzw. n gleiche Zentriwinkel. Arithmetik, Algebra, analytische Geometrie, Trigonometrie und Funktionenlehre verschwistern sich in diesem Gebiet mit der elementaren Geometrie und erhellen zudem noch das Gebiet der Konstruktion. Denn jetzt kann man untersuchen und voraussagen, wann ein regelmäßiges n-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sei. Zu allgemeinster Verblüffung selbst der größten Zeitgenossen bewies Gauß, daß das reguläre 17-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sei. Denn die Gleichung $x^{n}-1=0$ ist dann auf Quadratwurzeln rückführbar,

(Was ja bekanntlich die Bedingung für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal ist.)

wenn n eine Primzahl und von der Form $2^{k}+1$ ist, wobei k selbst von der Form $2^{s}$ sein muß. Unter Berücksichtigung dieser Bedingung kommt man für $s=0$ auf $n=3$,für $s=1$ auf $n=5$ und für $s=2$ auf $n=17$ usw., wobei sich allerdings für n in weiterer Folge nicht stets Primzahlen ergeben müssen.

Schon mit dieser Tat hatte sich der neunzehnjährige Gauß als„ Meister der drei großen A“ erwiesen, wie man ihn später nannte: der Arithmetik, der Algebra und der Analysis.

Wir wollen aber wieder nur andeuten, wenn wir erklären, daß er einen ganz neuen Operationstypus algorithmischer Art den Gleichungen an die Seite stellte, den man $a=b$ (mod n) schreibt und „a kongruent b, modulo (oder nach dem Modul) n“ spricht. Im tiefsten Wesen liegt dieser „Kongruenz“ ein Gruppengedanke zugrunde, da sich eine Zahl durch eine derartige Operation nicht als gleich mit einer anderen, sondern bloß als „strukturparallel“ herausstellen soll, wenn dieser Ausdruck erlaubt ist. So wäre etwa 19 kongruent mit 40 nach dem Modul 7 oder $19\equiv 40(mod\;7)$, weil beide Zahlen, durch 7 dividiert, den Rest 5 ergeben, sich also in bezug auf den gemeinsamen Modul 7 gleichartig verhalten.

Im Zusammenhang mit dieser Kongruenz wollen wir als einfaches Beispiel einer zahlentheoretischen Untersuchung die sogenannte Neunerprobe analysieren, die man schon im alten Griechenland und Indien kannte und die gleichwohl alle Mathematiker stets höchst geheimnisvoll anmutete. Wir stellen fest, daß es ebenso eine Elferprobe gibt, wenn man im Zehnersystem bleibt. In einem nichtdekadischen Ziffernsystem mit der Basis $g$ gibt es demgemäß eine $(g-1)$er- und eine $(g+1)$er-Probe.

Wir hätten also irgendeine Zahl $z=a_{m}10^{m}+\dotsc +a_{0}10^{m}$, die man umformen kann in

${\color {Brown}a_{m}10^{m}+\dotsc +a_{0}10^{1}-a_{m}-a_{m-1}-\dotsc -a_{1}+}$

${\color {Violet}a_{m}+a_{m-1}-\dotsc -a_{0}+}$

Der blau hervorgehobene Ausdruck ist der Rest.

Nun ist der braun hervorgehobene Ausdruck weiters gleich

$a_{m}(10^{m}-1)+a_{m-1}(10^{m-1}-1)+\dotsc +a_{1}(10^{1}-1)$

und

$(10^{m-\mu }-1)=(10^{1}-1)\cdot (10^{m-\mu -1}+\dotsc +10^{0})$

wobei das $\mu$ die natürlichen Zahlen von 0, 1, 2, \dotsc bis $(m-1)$ durchläuft.

Aus obigen Beziehungen ergibt sich, daß $a_{m}(10^{m}-1)+\dotsc +a_{1}(10^{1}-1)$, also der Wert des geklammert unterstrichenen Teils der beliebigen Zahl z, ein Vielfaches von $(10^{1}-1)$, also von 9 sein muß.

$a_{m}+a_{m-1}+\dotsc +a_{0}$ ist dann der bei der Division durch 9 verbleibende Rest.

Dieses $a_{m}+\dotsc +a_{0}$ ist aber nichts anderes als die Ziffernsumme der Zahl z, da ja die aμ nichts anderes sind als die Koeffizienten der Zehnerpotenzen, also eben die Ziffern, aus denen sich die Zahl z zusammensetzt. Wir nennen diese Ziffernsumme jetzt $S(z)$ und schreiben entweder

$a_{m}+\dotsc +a_{0}=S(z)$

oder mit Gauß

$z\equiv S(z)mod\ 9$,

weil ja sowohl die ganze Zahl z als deren Ziffernsumme, durch $(10^{1}-1)=9$ dividiert, denselben „Neunerrest“ $(a_{m}+\dotsc +a_{0})$ ergeben müssen. Es gilt nämlich auch als Gewinnung eines „Restes“, wenn wir sagen:

„8 : 9 = 0, bleibt als Rest 8.“

Aus all dem ergibt sich, daß $z\equiv S(z)\,mod\,(g-1)$, wenn g die Grundzahl ist. Wir hätten nämlich, ohne daß sich etwas geändert hätte, unsere Ableitung mit Potenzen von g statt von 10, also unabhängig von einer konkreten Größe der Grundzahl des Systems, durchführen können.

Da nun weiters die Ziffernsumme einer Ziffernsumme wieder der ursprünglichen Ziffernsumme kongruent ist, so ist sie nach dem Prinzip der Transitivität auch der ursprünglichen Zahl kongruent. Aus dieser Transitivitat der Kongruenz ergibt sich folgendes Schema der Neunerprobe:

Addition und Subtraktion:

$a\pm b=c$

$S(a)\equiv a$

$S(b)\equiv b$

___________________________________

$S(a)\pm S(a)\equiv [a\pm b=c]\equiv S(c)$.

Multiplikation:

$a\cdot b=c$

$S(a)\equiv a$

$S(b)\equiv b$

___________________________________

$S(a)\cdot S(a)\equiv [a\cdot b=c]\equiv S(c)$.

Division:

$a=b\cdot q+r$

$\textstyle q={\frac {a-r}{b}}$ (r = Rest)

$S(a)\equiv a$

$S(b)\equiv b$

$S(q)\equiv q$

$S(r)\equiv r$

___________________________________

$S(a)-S(r)=a-r$;

$a-r=b\cdot q$;

$S(a)-S(r)\equiv S(b)\;S(q)$;

$S(a)\equiv S(b)\;S(q)-S(r)$;

(Bei jeder „Kongruenz“ ist „mod (g - 1)“ hinzuzudenken. Oder mod 9, wenn man speziell die Neunerprobe im Auge hat.()

Zur Verdeutlichung geben wir für alle Spezies konkrete Beispiele:

Addition: $a+b+c=d$ (SS bedeutet die Ziffernsumme der Ziffernsumme)

${\begin{array}{rrrr}a=&1633,&S(a)=18,&SS(a)={\color {Brown}9}\\b=&1224,&S(b)=9,&SS(b)={\color {Brown}9}\\c=&37,&S(c)=10,&SS(c)={\color {Brown}1}\\\end{array}}$

______________________________________

${\begin{array}{rrrr}d=&2899,&S(d)=28,&SS(d)=10\end{array}}$

${\color {Brown}9+9+1}=19;19\equiv 10(mod\;9)$

Multiplikation: $a\cdot b=c$

${\begin{array}{rrrr}a=&1726,&S(a)=16,&SS(a)={\color {Brown}7}\\b=&321,&S(b)=6,&SS(b)={\color {Brown}6}\\\end{array}}$

______________________________________

${\begin{array}{rrrr}c=&554.046,&S(c)=24,&SS(c)=6\end{array}}$

${\color {Brown}6\cdot 7}=42;42\equiv 6(mod\;9)$

Division: $a:b=q$ mit einem Rest r. $a=b\cdot q+r$.

${\begin{array}{rrrr}a=&4647,&S(a)=21,&SS(a)={\color {Brown}3}\\b=&215,&S(b)=8,&SS(b)={\color {Brown}8}\\\end{array}}$

______________________________________

${\begin{array}{rrrr}q=&21,&S(c)=3,&SS(c)=3\\r=&132,&S(c)=6,&SS(c)=6\end{array}}$

$3\equiv {\color {Brown}8\cdot 3}+6(mod\;9)$

$8\cdot 3+6=30$

Wir haben mit dem Beispiel der Neunerprobe versucht, einen Schimmer zahlentheoretischer Herrlichkeit zu zeigen. Und dürfen jetzt wagen, das berühmte „quadratische Reziprozitatsgesetz“ Gaußens wenigstens anzudeuten, das einen der zahllosen Gipfelpunkte seiner Leistungen darstellt und ebenfalls in den „Disquisitiones arithmeticae“ enthalten ist. Es betrifft die sogenannten „quadratischen Reste“ und wurde von Gauß selbst wegen seiner ungeheuren Wichtigkeit für die gesamte Zahlentheorie als „Theorema aureum“ und „Theorema fundamentale“ bezeichnet.

In der Schreibung Legendres lautet es

$\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}$

wobei $\textstyle ({\frac {p}{q}})=+1$ die Tatsache ausdrückt, daß q als Rest einer Quadratzahl nach dem Modul p auftreten kann.

$\textstyle ({\frac {p}{q}})=-1$ dagegen bedeutet, daß q kein Rest modulo p eines Quadrates ist. Außerdem ist für die Geltung des „Reziprozitätsgesetzes“ gefordert, daß p und q voneinander verschieden und ungerade Primzahlen sein müssen. Wir wollen dazu nur bemerken, daß mod 3 nur 1 als quadratischer Rest denkbar ist, mod 5 dagegen 1 und 4, mod 7 die Zahlen 1, 2, 4, nach dem Modul ll die Zahlen 1, 3, 4, 5, 9, usw., da die quadratischen Reste gleichsam eine Periode bilden, in der, symmetrisch angeordnet, stets wieder dieselben Reste auftreten.

Beginnt man mit $0^{2}$, dann lautet diese Periode für den Modul 7 etwa: 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1, 0 und für den Modul 11 etwa: 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1, 0. Es hätte also 5² modulo 7 den quadratischen Rest, da 25, durch 7 dividiert, den Rest 4 ergibt.

Und die Bedingung $c^{2}\equiv q(mod\;p)$ ist dann erfüllt, wenn, wie schon erwähnt, $\textstyle ({\frac {p}{q}})=+1$.

Wir wollen aber hierbei nicht langer verweilen und erwähnen nur, daß Gauß in einem zweiten Hauptwerk, der „Algebra“, den schon besprochenen Fundamentalsatz der Algebra bewies. Und zwar führte Gauß diesen Beweis mehrere Male in ganz verschiedener Art. Eine weitere seiner Großtaten war die Aufstellung der hypergeometrischen Reihe, deren Bedeutung darin liegt, daß diese Reihe zahlreiche andere Reihen als Spezialfälle in sich enthält. Sie hat das Bildungsgesetz:

$F(\alpha ,\beta ,\gamma ;x)=1+{\frac {\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }}x+$${\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma \cdot (\gamma +1)}}x^{2}+$${\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\beta (\beta +1)(\beta +2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma \cdot (\gamma +1)(\gamma +2)}}x^{3}+\dotsc$,

würde also in einem konkreten Fall für $\alpha =2$, $\beta =5$ und $\gamma =3$ lauten:

$\textstyle F(2,5,3;x)=1+{\frac {10}{3}}x+{\frac {15}{2}}x^{2}+14x^{3}$

Aber auch hier dürfen wir nicht verweilen. Denn wir wissen, daß wir das Andenken Gaußens nur heben können, wenn wir uns dem Gebiete zuwenden, das er selbst bis ans Lebensende unveröffentlicht ließ. Und Wissen, daß sich kaum mehr ein „Böotier“ finden wird, der schreit, weil man von nichteuklidischen Geometrien spricht. Allerdings gibt es heute eine andere Sorte von Böotiern. Das sind nämlich die historisch und mathematisch Halbgebildeten, die glauben, die neueste Physik habe all diese Dinge erfunden, begonnen von der schon Newton sattsam geläufigen Relativität der Bewegung bis zu den Imaginärzahlen, den gekrümmten Räumen und den mehrdimensionalen Geometrien, bei denen die Anzahl der Dimension $d>3$. Damit soll der neuen Physik, die, das ganze neunzehnte Jahrhundert hindurch, die Mathematik gleichsam vorwärtspeitschte, um so weniger nahegetreten sein, als Gauß selbst oder Hamilton oder andere bahnbrechende Mathematiker ja selbst ungeheure Verdienste um die theoretische Physik haben oder selbst Physiker waren. Es ist gleichwohl ganz unzulässig, ohne genaueste Nachprüfung, meistens direkt im Widerspruch zu den eigenen Quellenangaben dieser neuesten Physiker, die Entdeckungsgeschichte in derart krasser Form zu vernebeln. Aber die großen Physiker sind für das Volk der Böotier neuerer Prägung nun einmal gleichsam die Schwergewichtsweltmeister der Wirklichkeit, und es mag besser sein, daß die Wahrheit irgendwie zur Diskussion gestellt, als daß sie überhaupt übersehen wird.

Daß Euklid dem Parallelenpostulat eine komplizierte Fassung gab, die wesentlich von der Formulierung der anderen Axiome abweicht, haben wir bereits erwähnt. Dem wachen mathematischen Sinn der alten Hellenen mußte diese Ungleichmäßigkeit irgendwie auffallen. Und sie ist tatsächlich mehr als einem einzigen Mathematiker der Antike aufgefallen. Wozu noch all die Verwirrung kam, die die Entdeckung der Asymptoten in das Problem trug, was wir auch bereits angedeutet haben. So setzten schon frühzeitig die Bemühungen der Forscher ein, in diese unklare Lage Ordnung zu bringen, und zwar zielten die Bemühungen nach zwei Richtungen. Man wollte einerseits das Parallelenpostulat auf eine vereinfachte Form bringen, um es den übrigen Grundsätzen anzugleichen; anderseits versuchte man, es zu beweisen, was nichts anderes heißt, als daß man es seines axiomatischen oder postulatorischen Charakters entkleiden wollte. Dazu noch eine kurze terminologische Klarstellung. Bei Euklid findet sich eine Trennung der Grundsätze, die geometrische Gebilde betreffen (Postulate), von den Aussagen über reine Größenbeziehungen (Axiome). Da, vom modernen Standpunkt aus gesehen, diese Unterscheidung keine Bedeutung hat, sondern für uns ein Axiom stets eine Behauptung oder Festsetzung ist, deren weiterer Beweis sich erübrigt, weil eben diese Grundsätze selbst die letzten Beweisinstanzen sind, werden wir von nun an sowohl die Postulate als die Axiome im engeren Sinn als Axiome schlechtweg bezeichnen; daher auch ruhig vom Parallelenaxiom sprechen. Also noch einmal: man wollte das Parallelenaxiom etwa in der Art des Proklos (410 bis 485 n. Chr. Geb.) vereinfachen, der es folgendermaßen formulierte: „Wenn $a$ eine Parallele zu $g$ durch den Punkt $P$ ist, so gibt es keine zweite von $a$ verschiedene Parallele zu $g$ durch diesen Punkt $P$.“ Oder man wollte es auf die übrigen Axiome zurückführen und es dadurch gleichsam zum abgeleiteten Lehrsatz degradieren. Dabei aber stellte es sich regelmäßig und mit unfehlbarer Sicherheit heraus, daß ein solcher „Beweis“ des Parallelenaxioms durch irgendeine Hintertür ein neues Axiom einschmuggelte, das über die anderen Axiome Euklids hinausging und sich schließlich als „äquivalent“ mit dem Parallelenaxiom entpuppte. So haben die Geometer M. Pasch und Baldus am Ende des neunzehnten bzw. am Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts gezeigt, daß man das Parallelenaxiom durch andere Grundsätze ersetzen kann, deren jeder geeignet ist, im Zusammenhalt mit den übrigen Axiomen Euklids eine Beweisgrundlage für das Parallelenaxiom zu liefern, das dann tatsächlich zu einem abgeleiteten Lehrsatz wird. Solche neue Ersatzaxiome sind etwa: „Die Winkelsumme im Dreieck beträgt stets zwei Rechte“, „Es gibt zwei ähnliche, nicht kongruente Dreiecke“, „Die auf derselben Seite einer Geraden von dieser gleich weit entfernten Punkte liegen selbst auf einer Geraden“ usw.

Wie wenig man sich aber trotzdem über alle diese Dinge im klaren war und welche Verwirrung herrschte, mag man daraus entnehmen, daß bis gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts in manchen Lehrbüchern der Geometrie ein „Beweis“ des Parallelenaxioms enthalten war, den der Verfasser selbst in seiner Kindheit vor Augen gehabt hat. Natürlich hat sich auch dieser „Beweis“ im Lichte der neuen Forschung als mit logischen Mängeln und versteckten Voraussetzungen behaftet herausgestellt und ist daher inzwischen überall ausgemerzt worden.

Wir wollen nur im Vorbeigehen erwähnen, daß sich griechische, arabische, italienische, deutsche, englische, französische und ungarische Gelehrte mit dem Parallelenaxiom beschäftigten, daß es mehr als 250 ernst zu nehmende Schriften gibt, die sich damit befassen und die uns bekannt sind, und daß man sich schließlich auf einen resignierten Standpunkt zurückzog und einige Warnungstafeln vor diesen Versuchen aufstellte. Es ist nämlich buchstäblich mehr als einmal vorgekommen, daß hochbegabte Mathematiker den Scharfsinn und die Arbeitskraft eines langen Lebens ans Rätsel der Parallelen vergeudeten und dieses vergeudete Leben schließlich in tiefster Verzweiflung beschlossen. Solch ein Schicksal widerfuhr etwa Gaußens Freund Wolfgang von Bolyai, den noch die weitere Tragik umhüllte, daß sein eigener Sohn Johann von Bolyai als einer der ersten das Rätsel löste, ohne daß es der Vater begriff oder anerkannte.

Nun sind wir aber verpflichtet, zur Chronologie zurückzukehren. Wir haben zu berichten, daß der geniale Jesuitenpater Gerolamo Saccheri, Professor der Grammatik, Philosophie, polemischen Theologie, Arithmetik, Algebra, Geometrie usw., der zuletzt an der Hochschule von Pavia wirkte, eine Schrift verfaßte, in der er, grob gesprochen, die Unrichtigkeit des Parallelenpostulates hypothetisch annahm und diese Annahme ad absurdum zu führen versuchte. Dieser apagogische Beweis glückte ihm verhältnismäßig leicht bei der „Hypothese des stumpfen Winkels“. Bei der „Hypothese des spitzen Winkels“ ließ Saccheri sich dagegen von Scheinbeweisen täuschen und schloß dann irrtümlicherweise, er habe Euklid von jedem Makel gereinigt. Die Schrift heißt in diesem Sinne auch „Euclides ab omni naevo vindicatus“. Wir wollen hierzu nur noch nachtragen, was man unter den oberwähnten Hypothesen versteht. Betrachtet man nämlich ein Viereck, bei dem auf der Basis AB die beiden angenommenermaßen gleichlangen Seiten AD und BC senkrecht stehen, so daß also die Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ kongruent und rechte Winkel sind, dann läßt sich, unabhängig vom Parallelenaxiom, bloß beweisen, daß die beiden verbleibenden Winkel $\gamma$ und $\delta$ einander gleich sind. Daß sie rechte Winkel sind, ist ohne das Parallelenaxiom unbeweisbar.

Nun ruhte sei Saccheri unser Problem nicht mehr, sondern die Entwicklung vollzog sich in dramatischer Steigerung. J. H. Lambert (1728-1777), der beide Hypothesen untersuchte, drang ziemlich weit vor, zog das sphärische Dreieck (Winkelsumme größer als 180°) in den Kreis der Betrachtung, wobei er sich der Äquivalenz von Dreieckswinkelsumme und Parallelenpostulat bewußt war. Er sprach sogar schon von der „imaginären Kugel“. Und G. S. Klügel (1739-1812) sowie der große Geometriker Legendre (1752-1833) stießen gleichfalls auf das Problem, wobei sie es allerdings bei Zweifeln an der Denknotwendigkeit (Apriorität) des Parallelenpostulats bewenden ließen. Oder gar die Falschheit der „Hypothesen“ durch Scheinbeweise zu erhärten suchten. Die große Revolution der Geometrie beginnt so eigentlich erst mit Gauß, der sich schon 1799 mit dem Parallelenpostulat beschäftigte, wie aus seinem Brief an Wolfgang von Bolyai hervorgeht. W.nbsp;Bolyai selbst beschäftigte sich ein Leben lang mit diesem Gegenstand, um schließlich die Nichtigkeit seiner Bemühung einzusehen, Euklid voll zu rechtfertigen. Und nun begann eine der merkwürdigsten Entdeckungs-Gleichzeitigkeiten der Wissenschaftsgeschichte, die wir, um nicht zu verwirren, schematisch darstellen müssen:

a) Gauß selbst war, wie erwähnt, dem Geheimnis bald auf der Spur. Er entwickelte selbständig eine widerspruchsfreie Geometrie, bei der das Parallelenpostulat nicht galt und die Winkelsumme im Dreieck kleiner war als 180°.

b) Zur grundsätzlich selben Geometrie gelangte der Jurist Schweikart, der seine Gedanken an Gauß weitergab und von diesem Lob erntete.

c) Der Neffe Schweikarts, Taurinus, veröffentlichte als erster im Jahre 1825 Erörterungen über unseren Gegenstand, wobei er sowohl die Hypothese des spitzen als des stumpfen Winkels prüfte und auch von der imaginären Kugel sprach. Er verfiel allerdings wieder in den Fehler Saccheris und behauptete schließlich die Alleingültigkeit des Parallelenpostulats im Sinne Euklids.

d) Erst der Sohn W. Bolyais, der ungarische Genieoffizier Johann Bolyai, baute 1823 eine mit der Gaußschen identische „nichteuklidische“ Geometrie (nach der Hypothese des spitzen Winkels) aus und veröffentlichte sie im Jahre 1832.

e) Ebenfalls unabhängig von allen anderen

(Wenn man davon absieht, daß ein Schüler Gaußens Kollege des Russen an der Universität war, der ihm vielleicht von der Beschäftigtmg Gaußens mit dem Parallelenproblem sprach.)

gelangte der Russe I. N. Lobatschewskij (1793-1856) im Jahre 1826 zur nämlichen nichteuklidischen Geometrie und legte seine Entdeckung der Universität Kasan vor („Kasaner Abhand1ung“). Die Veröffentlichung erfolgte 1829-1840. Lobatschewskij stellte seine Geometrie ausdrücklich als gleichberechtigt neben die euklidische.

f) In aller Allgemeinheit bereitete der geniale Bernhard Riemann, ein Schüler von Gauß und später Professor in Göttingen, im Jahre 1854 den endgültigen Sieg der Revolution vor. Seine Habilitationsschrift „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen“, die Gauß noch anhörte, kennt bereits alle drei Geometrien mit $\textstyle \sum =2R$, $\textstyle \sum >2R$ und $\textstyle \sum <2R$, wobei $\textstyle \sum$ die Winkelsumme des Dreiecks bedeutet.

g) Den vollen Sieg erfochten dann Beltrami und F. Klein zwischen 1868 und 1871, die beide die Reellpunktigkeit auch der negativ konstant gekrümmten Fläche, also der angeblichen „imaginären Kugel“, nachwiesen und darüber hinaus das geometrische Weltbild ebenso vereinfachten wie erweiterten.

Es kann nun durchaus nicht unsre Aufgabe sein, dieser sonderbaren Entdeckung in ihren Einzelheiten nachzuspüren. Wir haben uns eher mit ihren erkenntniskritischen Folgen zu befassen und verweisen für Einzelheiten u. a. auf die Darstellung in unsrer Geometrie für jedermann „Vom Punkt zur vierten Dimension“.

Hier fragen wir bloß, was dadurch geschehen war, daß man einsehen lernte, das Problem der Parallelen sei deshalb undurchdringlich, weil es in der bisherigen Art gar nicht gestellt werden durfte. Es sind, so wußte man plötzlich, Geometrien denkbar und in gewissem Sinne realisierbar, in denen es zu einer Geraden durch einen Punkt überhaupt keine oder zwei Parallele gab. Wobei allerdings der Begriff der „Geraden“ im archimedischen Sinne genommen und all das als „Gerade“ bezeichnet wird, was sich auf der gegebenen Fläche als „kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten“ herausstellt. Ist daher ein „gekrümmter Raum“, etwa der gekrümmte $R_{2}$ der Kugeloberfläche, im ebenen oder nicht gekrümmten euklidischen $R_{3}$ „eingebettet“, dann ist, von diesem Standpunkt aus, die „Gerade“ des nichteuklidischen Raumes „gekrümmt“. Aber nur von diesem außernichteuklidischen Standpunkt aus. Schon der Kapitän weiter Fahrt, der, von Plymouth aus, New York anzusteuern hat, fährt nur dann auf „geradem Wege“ dorthin, wenn er auf einem Kugelgrößtkreis navigiert, also eine nichteuklidische g-Linie, wie Mohrmann die allgemeinste Gerade nennt, als Kurs benutzt. Wir geben zu, daß dieses Jonglieren mit scheinbaren Kontradiktionen die nichteuklidischen Geometrien für den sogenannten ,›gesunden Menschenverstand“ schwer verdächtig macht. Was aber, so lautet die Gegenfrage, hat dieser Verstand, wenn er nur gesund sein will, als Richtschnur? Wohl die Gesetze der Logik. Wenn wir also, seit Archimedes, als „Gerade“ die kürzeste Verbindung zweier Punkte definieren, wobei wir diese Verbindung nicht unbedingt in einem euklidischen R2, also in einer Ebene verlangen (deren Ebenenqualität, nebenbei bemerkt, auch erst wieder festgelegt werden müßte), dann bleibt uns nichts übrig, als jenes Gebilde als „Gerade“ zu akzeptieren, das dieser Definition genügt. Wen das Wort „Gerade“ stört, der kann ruhig „g-Linie“ oder „geodätische Linie“ oder „Kürzest-Verbindung“ oder irgendwie sagen. Das Wesen der Sache liegt nicht in dieser scheinbaren Ungereimtheit, sondern in einer weit auffallenderen Symmetrie. Es stellt sich nämlich heraus, daß alle Axiome Euklids, vom Parallelenaxiom abgesehen, auch in den nichteuklidischen Geometrien widerspruchsfrei gelten und daß etwa Konstruktionen, die das Parallelenaxiom nicht voraussetzen, in jeder beliebigen Geometrie durchgeführt werden können. Daher hat man auch mehr als einmal in den letzten Jahren von „absoluter Geometrie“ gesprochen, wenn man den Inbegriff aller geometrischen Axiome und Sätze zusammenfassen wollte, die invariant zu allen Geometrien, also gleichsam unempfindlich gegen den Strukturtypus der betreffenden Geometrie sind.

Nun sind wir im Verlaufe unsrer mathematischen Zeit-Raum-Fahrt sicherlich schon gegen Verallgemeinerungen und Antinomien aller Art ziemlich abgestumpft. Im Zusammenhang mit dem Nichteuklidischen aber werden erfahrungsgemäß auch sonst geduldige Antinomieverzeiher ungeduldig und böse. Denn hier kommt etwas in die Betrachtung hinein, was nicht bloß dem „common sense“ im Sinne des Verstandes, sondern auch im Sinne der Anschauung widerspricht. Unsre Geometrie, so glaubte man bis zu Kant und glaubt es in mathematisch nicht genügend orientierten Philosophenkreisen noch heute, ist a priori an den dreidimensionalen euklidischen, ebenen Raum gebunden, ist sonach naturgegeben, und eine andere „Wirklichkeit“ ist der Traum von Phantasten, Spintisierern oder bestenfalls die rein rationalistische Konstruktion von Pan-Logikern, die sich durch ihre Begriffsakrobatik im Kreise drehen; und dazu gleichsam vom Bekannten ins ewig Unbekannte hinaus extrapolieren, in dem Gesetze der Anschauung gelten können, die so anders geartet sind als unsre Formen der Anschauung, daß damit allein schon der Versuch des Überschreitens unsrer gegebenen Möglichkeiten zur leeren metaphysischen Spielerei werde.

Auf derartige Einwände wurden die verschiedensten Antworten gegeben, insbesondere im Zusammenhang mit der neuesten Physik. Einige, wie etwa Georg Simmel, erklären, daß die Apriorität im Sinne Kants durch die Erweiterung der Geometrie überhaupt nicht berührt wird. Wir lassen ja die Apriorität der Axiomatik und Logik voll bestehen, im Gegenteil, wir beugen uns dieser „Notwendigkeit“ und „Allgemeingültigkeit“ dadurch, daß wir die verlorene Position des einseitig festgelegten Parallelenpostulats aufgeben und die Geometrie durch Verallgemeinerung von einer inneren Schwäche, wenn nicht gar von einem inneren Widerspruch befreien. Was die Erfahrungsseite anbelangt, können wir im $R_{2}$ sowohl die sphärische nichteuklidische Geometrie auf der Kugelfläche als auch die pseudosphärische auf der Pseudosphäre mit Zirkel und Lineal handhaben, als ob es sich um Schulwandtafeln ältester euklidischer Observanz handelte. Ob der $R_{3}$ als Erfahrungsraum euklidisch sein muß, um unser Leben und Erkennen zu ermöglichen, ist mehr als zweifelhaft. Wir halten ja die Erde heute auch nicht mehr für eine ebene Scheibe, obgleich wir im Alltagsleben so handeln, als ob sie eine solche wäre. Vielleicht ist unser Raumgefühl auch nur ein solches „Als ob“. Was, so fragen wir, würde sich für uns ändern, wenn sich durch verfeinerte Messung herausstellte, daß die Winkelsumme aller Dreiecke ein wenig kleiner oder größer als 180° ist? Nichts würde sich ändern, antworten wir sofort. Denn in der Astronomie und theoretischen Physik arbeitet man ohnehin bereits mit nichteuklidischen Geometrien und im Alltagsleben würde die euklidische Geometrie wie bisher stets mit genügender Annäherung ihre Geltung behalten. Und wenn sie auch diese Geltung verlöre? Auch solche Umstürze des Denkens haben wir in der oder jener Form überlebt und wir wurden nicht krank, als wir erfuhren, daß die Quadratur des Kreises unausführbar ist. Um derartige Größenordnungen aber wie bei der Abweichung der Zahl $\pi$ vom „wahren Wert“ kann es sich bei der Auswirkung einer allfälligen Raumkrümmung für uns nicht einmal handeln, und die neue Physik nimmt dazu noch an, daß die genaue Geltung der euklidischen Geometrie für gewisse Gebiete überhaupt nicht fraglich ist.

Jedenfalls haben wir bisher keinen experimentellen Anlaß, in begrenzten Gebieten die euklidische Geometrie zu verlassen. Wir müssen aber gleichwohl stets darauf gefaßt sein, daß sich, auch rein real, die Notwendigkeit der Annahme einer Raumkrümmung aufdrängt. Dies ganz abgesehen davon, daß es auch noch andre Wege gibt, dem Dilemma zu entkommen. Es ist nämlich jederzeit möglich, gekrümmte Räume gedanklich in höher dimensionierte „euklidische“ Räume „einzubetten“ und die euklidische Geometrie projektiv anzuwenden. Aus solchen Gedankengängen heraus ergibt sich der „Verabredungs-“ oder der konventionalistische Standpunkt, wie ihn in gewissem Sinn Henri Poincaré vertrat, der die anzuwendende Geometrie nicht nach ihrer „Wahrheit“, sondern nach ihrer „Bequemlichkeit“ auswählt. Damit ist die Frage nach der „Wahrheit“ überhaupt ausgeschaltet. Allerdings scheint es uns, daß selbst Poincaré diesen Standpunkt nicht vollständig extrem vertritt, da ihn daran sein Intuitionismus hindert, der irgendwo der reinen „Richtigkeit“, also der logischen Unanfechtbarkeit allein mißtraut.

Wir wollen an dieser Stelle vorläufig abbrechen. Und wollen bloß noch hinzufügen, daß auch das Kapitel der nichteuklidischen Geometrien unseres Erachtens nach noch lange nicht abgeschlossen ist, wenn es auch einen ungeheuren Schritt zur Eroberung des mathematischen Kosmos bedeutet. Wir dürften auch auf diesen Gebieten eher früher als später noch Überraschungen erleben. Denn einige revolutionäre Provinzen der Mathematik streben, in sich abgekämpft, nach einer höheren Synthese, die ihren heutigen Stand ebenso grundlegend verändern kann, wie sich der Sinn der Tangente durch den Unendlichkeitskalkül veränderte. Nur ein innerlicher „Alexandriner“ kann wähnen, es sei bereits alles entdeckt. Aufrichtige Forscher zeigen uns in allen Regionen der mathematischen Landkarte die „weißen Flecken“ des Unerforschtseins, und selbst wenn solche weiße Flecken nicht vorhanden wären, ist es sehr leicht möglich, daß auch innerhalb der bereits „pazifierten“ Gebiete der Mathematik in abgelegenen Tälern Schätze liegen, die noch nicht gehoben sind.

Um keine unerfüllbaren Hoffnungen zu erwecken, erklären wir an dieser Stelle, daß wir damit durchaus nicht die konstruktive Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal oder die Rationalität der Wurzel aus zwei meinen, die beide sich in keiner denkbaren neuen Mathematik enthüllen können, die die Voraussetzung jeder Logik nicht über Bord wirft.

Aber - und das wollen wir deutlich bekennen - wir sind als historisch Schauende um nichts in der Welt dazu zu bewegen, uns dem Eingeständnis anzuschließen, das man oft hört: dem Eingeständnis, die Mathematik sei mit „ihrem Latein“ am Ende angelangt. Ob sie sich in einer Sackgasse befindet, ist ebenso schwer zu sehen wie das Gegenteil. Vielleicht sitzt, während wir diese Zeilen schreiben, irgendwo ein junger Galois oder Gauß am Schreibtisch und formt die vorläufig nur ihm selbst verständlichen Hieroglyphen eines neuen Kalküls, dem gegenüber alle bisher bekannten Gebiete neuerlich zu Spezialgebieten herabsinken. Oder aber wird eine weit umfassendere Wissenschaft - der Traum des Lullus, des Descartes, des Leibniz - die Mathematik in ihren Schoß aufnehmen und ihr neuen Sinn geben. Nicht ohne daß vielleicht auch die Mathematik sich plötzlich als Überwissenschaft enthüllt und einige ihrer obersten Denkformen an eine solche „Universalmathematik“ abgibt.

Der Zeichen sind viele. Die Taten werden folgen.

16

Sechzehntes Kapitel

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BERNHARD RIEMANN

Mathematik als Geisterreich

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Einer der ältesten und großartigsten Träume der Menschheit führt in ein Land, in dem all das in unvorstellbarer Vollkommenheit existiert, von dem wir auf Erden gleichsam nur Bruchstücke oder einen entfernten Abglanz wahrnehmen dürfen. Kein Geringerer als Platon hat diesem „Urmythos der Sehnsucht“ in der Ideenlehre seinen erhabensten und tiefsten Ausdruck geschaffen. Wir haben diese Ideenlehre seinerzeit als einen Gipfelpunkt eleatischer Weisheit gekennzeichnet und angedeutet, daß in der Idee das Sein, das ewige Wesen verkörpert ist, dem irgendeine dem Werden unterworfene Wirklichkeit sich zwar in einer Stufenfolge nähern, es aber niemals erreichen kann. Aus diesem Gesichtswinkel gesehen, erhält die Ideenlehre wieder etwas DynamischPrometheisches. Denn alle Sehnsucht, aller Erkenntnistrieb drängt zur Idee, ob er sie nun als verlorenes, einst besessenes Paradies oder als fernes, unerreichbares Ziel betrachtet.

Dem neunzehnten Jahrhundert war es nun vorbehalten, ein Reich zu erobern, das irgendwie an das Ideenreich Platons gemahnt, zum mindesten jener Vorstellung von der Unvollkommenheit des Diesseitigen und der Vollendung im Jenseits nahekommt. Wir haben dieses Geisterreich der Mathematik bereits angedeutet. Wir wollen aber jetzt über diese Andeutungen hinausgehen und sein Bild in einer gewissen Breite entrollen. Dabei wird es uns auch möglich sein, einige Blicke hinter die magischen Kulissen zu werfen, zwischen denen sich all das abspielt, was wir Mathematik nennen. Und wir wollen auf dieser unserer Fahrt ins Geisterreich vergessen, daß es möglich ist, ganz kühl, ganz logisch und ganz nüchtern all das zu betrachten, was uns auf unserer Forschungsfahrt als Wunder erscheinen muß. Um jedoch dieses Erlebnisses teilhaftig zu werden, müssen wir neuerlich ziemlich weit ausholen.

Über das Wesen und über die Macht des Algorithmus und der Notation, der Symbolik und des speziellen Kalküls brauchen wir nichts mehr zu sagen, da wir diese mathematischen Requisiten bei ihrem Werden durch die Jahrtausende verfolgt und geprüft haben. Gleichwohl müssen wir eine spezifische Seite dieses Algorithmus naher ins Auge fassen und die Grundlagen des Rechnens und die Eigenschaften der Zahlentypen ein wenig erörtern.

Es zeigten sich namlich gelegentlich sämtlicher Versuche, die Algorithmen zu verallgemeinern, sonderbare und eigentlich recht disharmonische Erscheinungen. Wollte man etwa die Rechnungsoperationen im Bereiche der natürlichen Zahlen durchführen, dann erlebte man sofort Enttäuschungen, die dazu zwangen, diesen Bereich zu überschreiten und zu verlassen. Man mußte, wie man endlich einbekannte, dem ursprünglichen Zahltypus der natürlichen Zahlen stets neue Zahltypen „adjungieren“ oder, zu deutsch, angliedern. Zu solcher Notwendigkeit zwang bereits die kleinste Verallgemeinerung insbesondere der lytischen Operationen. Wenn wir $b$ von $a$ subtrahieren und $a$ und $b$ beides natürliche Zahlen sind, dann genügt die Bedingung $b>a$, um den Bereich der natürlichen Zahlen zu sprengen. Wir müssen das Resultat entweder als „falsch“ betrachten, wie man es bis zu Descartes hielt. Oder aber wir müssen uns dazu entschließen, einen umfassenderen Typus der „ganzen Zahlen“ einzuführen, der sowohl die positiven (natürlichen) ganzen Zahlen als auch die negativen ganzen Zahlen in sich begreift. In einer anderen Art sprengt die Division das System der natürlichen Zahlen. Hier nämlich erzeugt die Forderung, eine kleinere natürliche Zahl durch eine größere zu teilen, den Begriff oder den Typus der echten Brüche, die außerdem sowohl positiv als negativ sein können, wenn man zur Division nicht allein die natürlichen, sondern die ganzen Zahlen verwendet. Dadurch aber haben wir unseren Zahlenbereich bereits zum Bereich aller rationalen Zahlen erweitert, da innerhalb dieses Zahltypus eine Vergleichbarkeit der einzelnen Zahlen untereinander stets in einem greifbaren Verhältnis möglich ist. Kurz, die Teilung kann im rationalen Bereich in irgendeiner Form prinzipiell zu Ende geführt werden. Doch schon die nachsthöhere lytische Operation, die Ausziehung der Wurzel, stellt ein neues Problem und liefert einen neuen Zahltypus, der wiederum weit über unsre eben mühsam abgegrenzten rationalen Gefilde hinausführt. Mit der Mehrzahl sämtlicher Wurzeln betreten wir das Gebiet der irrationalen Zahlen, deren erschöpfende Darstellung in statischer Art unmöglich ist. Um irrationale Zahlen zu fassen, müssen wir zum „dynamischen Ausdruck“ greifen und wir können ill irgendeiner Reihe bestenfalls ein Bildungsgesetz aufspüren, das uns erlaubt, die Annäherung an den „wirklichen Wert“ einer solchen Irrationalzahl so weit vorzutreiben, als wir es wollen. Oder den Fehler unter eine beliebige Grenze zu drücken, wie man auch sagt. In der Praxis, die sich ja stets der Approximationsmathematik bedient, wird uns dieser Wesensunterschied oft gar nicht fühlbar. Und wir brechen ruhig Rechnungen mit rationalen oder irrationalen Dezimalbruchentwicklungen irgendwo ab, ohne uns über die prinzipielle Ungleichartigkeit dieses Abbrechens aufzuregen. Theoretisch aber müssen wir feststellen, daß das Einbeziehen irrationaler Zahlen in die Operationen eine der mächtigsten Erweiterungen des Zahlenbereiches ist. Denn es kann bewiesen werden, daß zwischen je zwei unendlich benachbarten Rationalzahlen eine unendliche Menge von Irrationalzahlen liegen muß. Und zwar im Sinne der Mengenlehre eine nicht mehr abzählbare Menge, deren transfinite Kardinalzahl ihrer Index-Ordnung nach bis heute nicht erforscht ist. Mit dieser neuerlichen Erweiterung des Zahlbegriffes, mit der „Adjunktion“ der Irrationalzahlen, haben wir aber den Begriff der Zahlen zum Bereich der reellen Zahlen ausgedehnt, in dem jetzt alle natürlichen, alle positiven und negativen ganzen, alle positiven und negativen gebrochenen und alle positiven und negativen Irrationalzahlen enthalten sind.

Nun hat es der Gleichungsalgorithmus bald geoffenbart, daß sich das Ausziehen der Wurzeln nicht immer nur auf positive Zahlen erstrecken kann. Wozu noch anzumerken wäre, daß derartige Probleme auch bei einer rein kombinatorischen Durchforschung der Anwendung aller Operationsarten auf sämtliche Zahltypen auftauchen müßten. Man müßte ja bei solchen Untersuchungen nicht nur die Division negativer Zahlen, sondern auch deren Radizierung unter die Lupe nehmen. Wir haben also die Gleichung nicht aus prinzipiellen, sondern aus rein historischen Gründen in unsere Betrachtung einbezogen, weil bei der Lösung von Gleichungen durch Wurzelziehen die „unmöglichen“ oder „imaginären“ Forderungen zum erstenmal auftraten. Wir wissen auch bereits einiges über diese imaginären Zahlen und ihre Behandlung, wissen, daß der Fundamentalsatz der Algebra im tiefsten Grund darauf beruht, daß eine n-te Wurzel eben n verschiedene Wurzelwerte ergibt, die zum Teil imaginär bzw. komplex sind.

Nun wurde aber, was wir gleichfalls schon angedeutet haben, durch D'Alembert, Euler und andere die hochbedeutsame Tatsache entdeckt, daß Operationen mit komplexen Zahlen, also mit Zahlen des Typus $-(a+bi)$, niemals den Bereich der komplexen Zahlen sprengen. Ob wir komplexe Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, potenzieren, radizieren, stets erhalten wir äußerstenfalls wieder eine komplexe Zahl als Ergebnis. Da man aber in weiterer Folge auch andere Operationen, etwa logarithmische und goniometrische, mit Imaginärzahlen und komplexen Zahlen durchzuführen lernte und dabei stets wieder nur auf höchstens komplexe Zahlen stieß, mußte man sich schließlich sagen, daß hier die Grenzen des Zahlenreiches entdeckt sein müßten. So weit waren Gauß und Cauchy bereits gelangt. Ebenso Graßmann und andre. Es drängte sich aber dazu noch der Gedanke auf, ob man unbedingt in der komplexen Zahlenebene, wie sie ein Gauß dargestellt hatte, verbleiben müßte, oder ob nicht eine Erweiterung in den Raum zu hyperkomplexen Zahlen des Typus $a+bi+cj$ führen könnte. Die einschlägigen Untersuchungen ergaben jedoch bald, daß dreigliedrige hyperkomplexe Zahlen infolge ihrer Asymmetrie schwer und umständlich zu handhaben seien und keine Vorteile brächten. Deshalb, dies sei vorweggenommen, entschloß sich Sir William Rowan Hamilton, einer der genialsten und eigenwilligsten Geister des neunzehnten Jahrhunderts, zu einem noch höheren hyperkomplexen Typus, zu den sogenannten Quaternionen der Form $a+bi+cj+dk$ vorzustoßen, über die wir noch sprechen werden.

Inzwischen, und auch hierin waren schon Gauß und Cauchy in mancher Art vorangegangen, kam es zu einer entwicklungsgeschichtlich und entwícklungspsychologisch außerordentlich interessanten Situation, die wir am Beginn dieses Kapitels bereits angedeutet haben. Wie nämlich Konquistadoren in fernen, neuerworbenen Gebieten plötzlich ihre Heimat in anderer Beleuchtung zu erblicken beginnen und aus den Schätzen des Neulandes manche Einrichtung der „alten Welt“ als verstümmelten oder unvollkommenen Rest einer viel reicheren Vor-Welt erkennen, so schauten die Konquistadoren des komplexen Geisterreíches unvermittelt zurück auf alles, was unterhalb dieses Dorados der Zahlen lag. Und dabei stellte es sich heraus, daß das Reich der reellen Zahlen tatsächlich oft nicht mehr war als ein rudimentärer Rest einer viel ursprünglicheren, vollkommeneren und symmetrischeren Welt, die man hier, im Geisterreich, gleichsam wie in einem Reich platonischer Ideen der Mathematik mit Händen greifen konnte. Als es dazu noch offenbar wurde, daß man aus dem Verhalten der „Urbilder“ in einer bisher unzugänglichen Art auf das Verhalten der Zahlen in den unteren Bereichen schließen und daß man sogar mit vergleichsweiser Leichtigkeit aufzeigen konnte, warum selbst große Mathematiker Fehler über Fehler gemacht hatten, war ein weites Tor zu neuem Anstieg geöffnet. Zu einer neuen Welt von Formen, die so vielfältig und bestimmend wurde, daß ein großer Mathematiker am Ende des neunzehnten Jahrhunderts dieses Jahrhundert kurzweg als das „Jahrhundert der Funktionentheorie“ bezeichnete.

Wir haben jetzt das Wort ausgesprochen, an dessen Inhalt wir uns bisher langsam heranzutasten bemühten. Wir sind nämlich auch hier wieder gezwungen, durch indirekte Schilderung einen ungefähren Einblick in das sicherlich unzugänglichste und unpopulärste Gebiet der modernen Mathematik zu vermitteln: in die Theorie der „komplexen Veränderlichen“ oder in die „Funktionentheorie“ im engeren Sinne des Wortes.

Unter „Funktionentheorie“ überhaupt müßte man einen großen Teil der Mathematik zusammenfassen. Denn was kann schließlich nicht alles als Funktion angesehen werden? Schon am Beginn des neunzehnten Jahrhunderts hatte man den klassischen Begriff der Funktion verlassen und derart erweitert, daß diese Verallgemeinerung fast einer Veränderung gleichkam. Dirichlet nämlich prägte den Begriff einer Funktion dahin um, daß man unter Funktion einer reellen Veränderlichen x in einem Gebiet oder Intervall von a bis b jede Größe y zu verstehen habe, die für jeden besonderen Wert, den x in diesem Gebiet annehmen kann, einen einzigen und bestimmten Wert hat, der durch den Wert des x gegeben ist oder gefunden werden kann, gleichviel, ob durch Rechnung, geometrische Konstruktion, Beobachtung oder sonstwie. So wäre etwa ein Dezimalbruch, dessen Stellen wir auswürfeln, eine Funktion der Anzahl x der Würfe u. dgl. m.

(Dagegen wird eine gerade Wurzel von x erst dann zur Funktion von az, wenn das Vorzeichen eindeutig bestimmt ist.()

Eine allgemeinste Funktionentheorie hätte also in diese fast unendliche Mannigfaltigkeit von Funktionen Ordnung hineinzutragen, sie zu klassifizieren, ihre Eigenschaften zu erforschen, ihre Kalküle zu prüfen usw. Nun haben es aber diese Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffes auch bei der Funktionentheorie im engeren Sinne, also bei der Theorie der komplexen V eränderlichen, bewirkt, daß die Definition des Funktionsbegriffes vorerst so weit gezogen werden muß, daß dieser Bereich, wie etwa Knopp sagt, kaum von allgemeinen Sätzen und Gesetzen beherrscht sein kann. Knopp fährt fort: „Es wird unsre Aufgabe sein, die Voraussetzungen in geeigneter Weise so einzuschränken, daß aus der Gesamtheit aller Funktionen eine zwar speziellere, aber besonders wertvolle Klasse von Funktionen ausgesondert werde, wertvoll im Hinblick auf ihre Anwendbarkeit in Mathematik und Naturwissenschaften. Die einschränkenden Forderungen, die wir stellen werden, sind die der Stetigkeit und der Differentiierbarkeit.

Wir haben mit Absicht diese Sätze aus einem Lehrbuch jüngsten Datums zitiert, um zu zeigen, daß sich der Forschungsstandpunkt der Funktionentheorie seit ihrer Entdeckung kaum wesentlich geändert hat. Differentiierbarkeit und Stetigkeit sind „wertvoll“, weil nur derartige Funktionen der eigentlichen rechnerischen Behandlung durch den Unendlichkeitskalkül zugänglich sind. Darauf aber kommt es an, so tiefgründig und verwickelt die Mittel sind, die zu dieser Erkenntnis führen, sofern es sich um einigermaßen unelementarere Funktionen handelt. Die Unendlichkeitsanalysis ist voll von Tücken und Abgründen, man muß auf Schritt und Tritt auf sonderbare Extravaganzen der Funktionen gefaßt sein, und eine wirklich erschöpfende Kenntnis einer Funktion ist gewöhnlich erst dann möglich, wenn man sie in ihrem komplexen Uroder Idealzustand untersucht hat. Für diese Behauptung möge nach Wieleitner ein einfaches Beispiel gegeben werden, das die Exponentialfunktion bzw. die Logarithmusfunktion betrifft. Im Jahre 1748 wurde von Euler die wichtige Beziehung entdeckt:

$e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha$.

Nun wird bekanntlich $\sin \alpha$ gleich $0$ für $\alpha =0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\dotsc \pm n\pi$, und $\cos \alpha$ gleich $1$ für gerade Vielfache von $\pi$, wobei $\pi$ das Bogenmaß für 180 Grade bedeutet, wie das in der Analysis allgemein üblich ist. Daher ist $e^{2ni\pi }=1$, da bei dem Winkel $\alpha =2n\pi$ der Sinus $\alpha$ gleich Null und der $\cos \alpha$ gleich $1$ wird. Wäre also irgendeine Potenz von $e$, etwa $e^{m}$ gegeben, so darf statt dieser Potenz $e^{m+2i\pi }$, $e^{m+4i\pi }$, allgemein $e^{m+2ni\pi }$ geschrieben werden, da sich ja hierdurch nichts ändert.

Denn $e^{m+2ni\pi }=e^{m}\cdot e^{2ni\pi }$ und $e^{2ni\pi }=1$, wie wir schon fanden. Es ist also, wenn wir jetzt weiters die „Potenz“ als Exponentialfunktion ansehen, also den Exponenten als Veranderliche auffassen, diese Exponentialfunktion im komplexen Gebiet unendlich vieldeutig. Wenn wir aber jetzt die Exponentialgleichung $e^{m}=a$ oder $a=e^{m}$ logarithmieren, dann erhalten wir nach obigem, aus dem Wesen des Logarithmus heraus, nicht bloß $\log _{e}a=m$, sondern mit ebendemselben Recht $\log _{e}a=m+2ni\pi$, wobei n irgendeine ganze Zahl von $0$ bis $\pm \infty$ bedeuten kann. Es gibt also im Geisterreich zu jeder Zahl a unendlich viele Logarithmen, von denen allerdings nur ein einziger reell ist und uns gewöhnlichen Sterblichen als „der“ Logarithmus erscheint.

Aber auch in der Lehre von den Reihen treffen wir beim Übergang ins komplexe Gebiet derartige Erweiterungen an. Die uns gelaufigen Reihen, etwa die fallenden geometrischen Progressionen vom Typus

$\textstyle 1+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{q^{3}}}+\dotsc$

bewegen sich ausschließlich auf der Zahlenlinie und sind auf dieser einzutragen, wenn man sie geometrisch darstellen will. Sie streben auch auf dieser Linie einer Grenze, einem Konvergenzpunkt zu, der etwa für

$\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dotsc$

der Punkt 2 auf der Zahlenlinie ist. Ganz anders verhalten sich komplexe konvergente Reihen. Der Eigentümlichkeit der komplexen Zahl entsprechend, breiten sich solche Reihen auf der ganzen Zahlenfläche aus, und aus dem Konvergenzpunkt wird dementsprechend ein Konvergenzkreis. Man könnte, sehr bildlich gesprochen, die komplexe Zahlenebene überhaupt mit "zwei einander kreuzenden Straßen vergleichen, die auf festen Dämmen laufen. Bleibt man entweder im Bereich der reellen oder aber der rein imaginären Zahlen, dann spielen sich alle rechnerischen Vorgänge auf diesen festen Straßen ab. Hat man es jedoch mit einer Mischung beiderZahlenarten, also mit komplexen Größen zu tun, dann gerät man nach allen Seiten in die üppig verwucherten Sumpfregionen der komplexen Ebene, die, quadrantenartig angeordnet, zwischen dem Straßenkreuz liegt.

Wie schon mehrfach erwähnt, ist es uns leider versagt, hier eine Materie abzuhandeln, deren gewissenhafte Darstellung ein ganzes Buch erfordern würde, wenn man auch nur die wichtigsten Kapitel erschöpfend erörtern wollte. Wir müssen uns also wieder darauf beschränken, im Wege unsrer „pädagogischen Substitution“, einige zugängliche Beispiele zu geben, deren vielfache Transformation in die Gefilde der höheren Schwierigkeit und Kompliziertheit erst den Gegenstand ausmacht, von dem wir andeutungsweise zu sprechen versuchen. Wir haben schon gehört, daß Stetigkeit und Differentiierbarkeit charakteristisch und bedeutungsvoll für eine Klasse von Funktionen sind. Mit dieser Klasse haben wir es im „Leben“ vorwiegend zu tun. Wobei unter „Leben“ die Physik, Technik, Geodäsie, Astronomie, Meteorologie usw. zu verstehen ist. Am Beginn der Unendlichkeitsanalysis hielt man auch diese beiden Klasseneigenschaften der Stetigkeit und Differentiierbarkeitfast als begriffswesentlich für eine Funktion, zumindest war man der festen Überzeugung, daß es sich hierbei nicht um getrennte Eigenschaften handelte. Wußte man, daß eine Funktion stetig war, dann war sie differentiierbar, und war sie differentiierbar, dann war sie stetig. War sie aber das eine oder das andere, dann mußte die Bildkurve der Funktion eine Tangente haben. Denn der Differentialquotient ist ja nichts andres als ein rechnerischer Ausdruck des Verhältnisses gewisser mit der Tangente zusammenhängender Projektionen. Um so erstaunter war man, als Weierstraß diesem Traum ein unwiderrufliches Ende bereitete. Die von Riemann und Weierstraß begründete Funktionentheorie deckte nämlich nicht nur all die Dinge auf, von denen wir bisher gesprochen haben, sondern sie bewies darüber hinaus, daß die Stetigkeit und die Differentiierbarkeit zwei voneinander getrennte Eigenschaften sind. Es gibt also Funktionen, die stetig sind und keinen Differentialquotienten, also keine Tangente besitzen.

(Wie wir sehen werden, gibt es sogar Stellen, an denen ein Differentialquotient, aber keine Tangente existiert!)

Allerdings ein geometrisch kaum faßbarer Gedanke. Außerdem weiß man heute, daß Funktionen mit Stetigkeit und Differentiierbarkeit nur ein winziges Inselchen im Ozean der ungleich zahlreicheren Funktionen sind, denen diese Eigenschaften nicht zukommen. Dazu allerdings müssen wir bemerken, daß dieser Tatbestand, rein logisch betrachtet, nicht so sehr aus dem Wesen der ursprünglichen Begriffsbestimmung der Funktion, als aus deren Erweiterung resultiert. Und daß es sich hierbei im höheren Sinne um einen Trugschluß handelt, der allerdings der Mathematik nicht angelastet werden soll, da es nur durch die Erweiterung des Funktionsbegriffes möglich wurde, das Gebiet der Funktionen im alten Sinne richtiggabzustecken und zu sichern. Wobei noch außerdem selbst in dieses eingeengte, sozusagen klassische Gebiet der Funktionen Dinge und Abnormalitaten hineinragen, deren tiefere Zusammenhänge nur im erweiterten Gebiet der komplexen Funktionen erforscht werden können.

Doch wir versprachen Beispiele, damit wir wenigstens einen schwachen Schimmer der Tiefen erblicken, um die es sich in diesem Kapitel handelt. Hätten wir etwa die Funktion $\textstyle y=x^{\frac {1}{3}}$ zu untersuchen, so müssen wir sofort einsehen, daß sie im ganzen Bereich von $-\infty$ bis $+\infty$ stetig verläuft. Der Differentialquotient dieser Funktion ist $\textstyle y^{'}={\frac {1}{3}}x^{-{\frac {2}{3}}}$ für $x$ kleiner oder größer als $0$. Für $x=0$ erhalten wir als Differentialquotienten den Wert $\infty$. Unsre Funktion hat also einen Differentialquotienten, der allerdings in einem bestimmten Punkt keine endliche Zahl darstellt. Komplizierter wird die Lage bereits bei der sogenannten Neilschen Parabel $y=x^{\frac {2}{3}}$, die ebenfalls von $-\infty$ bis $+\infty$ stetig verläuft. Diese Kurve hat nämlich an der Stelle $x=0$ als sogenannten vorderen oder rechten Differentialquotienten $+\infty$ und als hinteren oder linken Differentialquotienten $-\infty$. Es existiert an dieser Stelle also trotz Stetigkeit keine Tangente. Dasselbe wäre der Fall bei $y=|x|$, wo für die Stelle $|x|=0$ der vordere Differentialquotient $+1$ und der hintere Differentialquotient $-1$ beträgt. Also wieder keine Tangente trotz Stetigkeit und Differentiierbarkeit.

Nun existieren aber, wie gesagt, sogar stetige nicht differentiierbare Funktionen, die wir allerdings in unsrem Rahmen nicht erörtern können. Als Abschluß dieser Betrachtungen noch ein kleines Beispiel: bis zur Einführung komplexer Größen glaubte man mit Recht, die Funktion $\textstyle y={\frac {1}{1+x^{2}}}$ sei von $+\infty$ bis $-\infty$ stetig. Bei näherer Betrachtung stellte es sich jedoch sofort heraus, daß diese Funktion bei $x=\pm i$ zwei Unstetigkeitsstellen hat, an denen der Funktionswert plötzlich ins Unendliche fortschnellt.

Denn ${\frac {1}{1+i^{2}}}={\frac {1}{1+({\sqrt {-1}})^{2}}}$$={\frac {1}{1-1}}=\infty$ und bei $(-i)$ desgleichen.

Daß diese und ähnliche weitergehende Untersuchungen außerdem eine ungeheure Bedeutung für die Theorie der Integrale haben, ist klar. Und es ist weiter klar, daß sie diese Bedeutung auch auf einem Gebiet besitzen, das zu den Hauptanwendungsbereichen des Integralkalküls gehört: nämlich bei den Differentialgleichungen. Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, bei der nicht bloß die Veränderlichen, etwa $x$ und $y$, sondern auch Differentiale der Veränderlichen, also das $dx$ und $dy$, entweder allein oder in Verbindung mit den Veränderlichen erscheinen. Solche Gleichungen entstehen in allen Gebieten der theoretischen Physik durch Umformungen von vorhergegangenen Differentiationen oder als primärer Ansatz. Sie dienen in ausgedehntester Weise zur Beschreibung von Naturvorgängen, da wir imstande sind, durch Differentialgleichungen Zustände ganzer Felder oder Bereiche zu fixieren. Die Auflösung derartiger Gleichungen erfolgt in letzter Linie durch beiderseitige Integration der Gleichung, wodurch die Differentialgleichung auf eine normale Funktion mehrerer Veränderlicher zurückgeführt wird, also nunmehr einen konkreten Verlauf charakterisiert.

Was also spielt bei diesen Problemen, zu denen noch die teilweise oder partielle Differentiation erschwerend hinzutritt, die Hauptrolle? Wohl die Funktion, die Differentiation und die Integration. Wie aber komme ich diesen Gebieten wirklich zureichend bei? Wieder nur durch eine erschöpfende Kenntnis aller Möglichkeiten, die in den Funktionen liegen.

Wir denken, daß es dem Leser jetzt schon einigermaßen klar sein muß, worum es sich bei der Funktionentheorie rein zielmäßig handelt. Und daß er dazu überzeugt ist, es drehe sich dabei um todernste Realitäten und nicht um geistige Exzesse mathematischer Akrobaten. Wir werden dieses Kapitel aber gleichwohl nicht schließen, bevor wir noch das Tor zu einem weit grandioseren Ausblick geöffnet haben, zu einem Reich, dessen Kolonien heute fast alle Gebiete der dynamischen Physik sind. Damit aber wollen wir zugleich in den biographischen Teil unsrer Erörterungen eintreten und von Sir William Rowan Hamilton sprechen, der im Jahre 1805 in Dublin geboren wurde. Wir nannten ihn bereits ein eigenwilliges Genie. Er war fast mehr. Nämlich einer der göttlich Wahnwitzigen unsrer Wissenschaft, besser unsrer großen Kunst. Hamilton konnte bereits mit 10 Jahren den ganzen Homer auswendig und begann hierauf Arabisch und Sanskrit zu studieren. Wenige Jahre später beherrschte er 13 Sprachen. Er dichtete auch und lebte in Freundschaft mit Wordsworth. Mit 23 Jahren erhielt er die ehrenvolle Stellung eines Direktors der Sternwarte von Dunsink bei Dublin mit dem Titel „Royal Astronomer of Ireland“, die er bis zu seinem Tode (1865) innehatte. Er ist auch zeitlebens der Dichtung nicht untreu geworden. Leider aber auch nicht dem Alkohol, dem er so sehr frönte, daß eine Legende berichtet, er habe des Nachts mit einem Seil an das Fernrohr der Sternwarte festgebunden werden müssen, um nicht abzustürzen. Die vielfachen Räusche des Dichtens, der höchsten Mathematik, der Philosophie und des Alkohols verdüsterten schließlich seinen Geist, so daß er in den letzten Lebensjahren wunderlich, wenn nicht sogar wirklich geistig abnormal wurde. Jedenfalls wollen wir in keiner Weise mit diesem Genius rechten, sondern bloß feststellen, wie er dionysisch lebte, schuf und starb. Denn sein Wollen war sicherlich noch weit gigantischer als seine riesige Tat und er wurde darum so recht eigentlich einer der mächtigsten Propheten des Geisterreiches der Mathematik.

Schon im Jahre 1835 erschien das erste Werk Hamiltons über „konjugierte Funktionen“. Er versuchte in dieser Arbeit den philosophischen Spuren Kants zu folgen und den Zahlbegriff aus der Anschauungsform der Zeit zu begründen, was er in Sätzen wie: „Das quantitativ Räumliche tritt erst bei der Differenzenbildung in die Vorstellungswelt, wodurch die Operation des Messens ermöglicht wird“ ausdrückte. Die gewöhnlichen komplexen Zahlen faßt er in dieser Abhandlung als Zahlenpaare auf, eine Deutung des Komplexes, die seither nicht mehr verschwunden ist und die die ganze analytische Auslegung des Komplexen wesentlich erleichterte.

Um aber wenigstens etwas über die „ Quaternionen“ zu sagen, die durch Hamiltons Veröffentlichungen von 1853 (Vorlesungen über die Quaternionen) und von 1866 (Elemente der Quaternionen) der Allgemeinheit zugänglich gemacht wurden, müssen wir einen Übergang zur Physik suchen. Wir haben seinerzeit im Kapitel über Leibniz erwähnt, daß Varignon das Parallelogramm der Kräfte einführte, das es gestattet, die resultierende Kraft zweier Komponenten (oder zusammensetzenden Kräfte) festzustellen, bzw. umgekehrt eine Resultierende in ihre Komponenten zu zerlegen. Wenn man nun die komplexen Zahlen nicht mehr in der gewöhnlichen Art, sondern nach Art von Polarkoordinaten darstellt, dann erhält man für jede komplexe Zahl einen sogenannten Vektor, d. h. eine gerichtete Strecke, aus deren Länge, Richtung und Neigungswinkel zur Abszisse alle Bestimmungsstücke der komplexen Zahl entnommen werden können. Addiert man derartige Vektoren, dann entsteht ein Bild, das genau dem Parallelogramm der Kräfte entspricht. Die Operation mit komplexen Zahlen ist also gleichsam eine genaue Abbildung dynamischer Vorgänge, und das Rechnungsresultat komplexer Operationen ist unter gewissen Voraussetzungen identisch mit mechanischen Untersuchungen und Umformungen. Mathematisch gesprochen, tritt durch die Addition $(x+iy)+(a+ib)=(x+a)+i(y+b)$ eine Parallelverschiebung der Ebene um die Strecke $(a+ib)$ ein. Eine Multiplikation $(x+iy)\cdot (a+ib)=(x+iy)\varrho \cdot e^{i\phi }$ verursacht eine Drehung der Ebene um den Koordinatenursprungspunkt um den Winkel $\phi$ bei gleichzeitiger Vergrößerung sämtlicher Strecken im Verhältnis $1:\rho$, also eine Ähnlichkeitstransformation und Drehung oder, wie man kurz sagt, eine Drehstreckung.

Diese sogenannte „Vektoranalysis“,d. h. die Rechnung mit derartigen „gerichteten Strecken“, ist inzwischen zu einem riesigen Betatigungsfeld der Mathematik und Physik geworden, da durch eine solche Betrachtungsweise die meisten mechanischen und anderen Naturvorgänge in verblüffender Unmittelbarkeit rechnerisch erfaßt werden können.

Hamilton selbst hat den Begriff des Vektors (des „Fahrers“) im Jahre 1845 in einer Abhandlung im Quarterly Journal erstmalig eingeführt und dann später jede komplexe Größe in den skalaren,

(Abgeleitet von „Skala“ = Zahlenlinie)

rein numerischen Teil und den gerichteten vektoriellen Teil geschieden, eine Unterscheidung, die aus naheliegenden Gründen für jede Vektorrechnung von eminenter Bedeutung ist, da für den skalaren Teil der Größe andre Rechnungsregeln gelten als für den vektoriellen.

Nun sind die schon oft erwähnten Quaternionen nichts andres als hyperkomplexe Zahlen des Typus $t+ix+jy+kz$, bei denen t der skalare und $ix+jy+kz$ der vektorielle Teil ist. Sie sind in erster Linie für die Bewegungen (Drehstreckungen usw.) im Räaume erdacht und erfordern vier Koordinaten. Die Rechenregeln mit solchen Quaternionen sind äußerst komplizierte und es mag nur angedeutet werden, daß die Multiplikation der Quaternionen eine Kommutativität nicht kennt, also für zwei Quaternionen, die miteinander multipliziert werden, je nach der Reihenfolge der Faktoren zwei voneinander verschiedene Produkte resultieren. Felix Klein, dem wir auch bisher schon vielerlei Daten entnahmen, sagt in seinen „Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert“ ungefähr, die Quaternionen hätten in England ein derartiges Aufsehen erregt, daß sie zu einem Credo der Schule in Dublin wurden. Sie sind in ihrer Behandlung so elegant und auf gewisse Probleme der Physik in so symmetrischer Weise anwendbar, daß sie zu einer ungeheuren Überschätzung dieser Methode führen mußten. So hat sich 1895 in England ein „Weltbund zur Förderung der Quaternionen“ gebildet, der sich als letztes Forschungsziel eine „quaternionistische Funktionentheorie“ setzte, von der man sich einen vollständigen Umsturz der Mathematik, ja in gewissem Sinne eine Lösung aller Welträtsel erhoffte. Gelegentlich derartiger Untersuchungen stellte sich schließlich heraus, daß eine quaternionistische Algebra möglich ist, in der der Fundamentalsatz der Algebra nicht gilt und in der dafür eine kubische Gleichung existiert, der sämtliche denkbaren Quaternionen als Lösungen genügen.

Es ist heute noch nicht zu entscheiden, wohin diese Epoche der Mathematik führen wird. Als weithin sichtbaren Erfolg hatten die Quaternionen Hamiltons inzwischen ihre Verwendung in der Relativitätstheorie Einsteins zu buchen, die ihnen in gewissem Sinne ihre rechnerische Abrundung verdankt.

Wir müssen also feststellen, daß das Geisterreich der Mathematik in mehrfacher Art die Herrschaft über die anderen mathematischen und mathematisch-physikalischen Provinzen an sich riß und teils als Welt der Urbilder, teils als Welt der Vektoren zur Begründung der Funktionentheorie und Vektoranalysis beitrug. Nun verschwisterten sich aber in letzter Zeit die Mengenlehre und die Gruppentheorie sowohl mit der Funktionentheorie als mit der Vektoranalysis, so daß tatsächlich eine neue riesengroße mathematische Welt im Werden ist, deren weitere Hilfsregionen noch die mehrdimensionale, die nichteuklidische und die projektive Geometrie sind, die untereinander wieder in den verschiedensten Beziehungen stehen.

Es wird aber jetzt langsam höchste Zeit, der großen Vorkämpfer zu gedenken, die den Grund zur Theorie der komplexen Veränderlichen, also der Funktionentheorie im eigentlichen, engeren Sinne, legten. Es sind dies Bernhard Riemann und Carl Weierstraß, die Felix Klein, selbst ein mathematischer Stern erster Größe, in folgender Weise charakterisiert: „Riemann ist der Mann der glänzenden Intuition. Durch seine umfassende Genialität überragt er alle seine Zeitgenossen. Wo sein Interesse geweckt ist, beginnt er neu, ohne sich durch Tradition beirren zu lassen und ohne einen Zwang der Systematik anzuerkennen. Weierstraß ist in erster Linie Logiker; er geht langsam, systematisch, schrittweise vor. Wo er arbeitet, erstrebt er die abschließende Form.“ Wir fügen hinzu, daß sich das äußere Leben dieser beiden deutschen Bahnbrecher, die der Welt den gewaltigsten mathematischen Fortschritt des neunzehnten Jahrhunderts geschenkt haben, ihren Anlagen entsprechend gestaltet. Oder Claß diese Anlagen gleichsam eine Abbildung ihrer Lebensläufe sind.

Riemann wurde, gleich Abel, als Sohn eines Landpfarrers geboren, und zwar im Jahre 1826. Die göttliche Vorsehung, an die er in stiller und erhabener Frömmigkeit glaubte wie kein zweiter, gönnte ihm eine Lebenszeit von weniger als vierzig Jahren, die zudem noch von einem Passionsweg erfüllt war, der sich nur schwer ausdenken läßt. Er verliert zuerst die Mutter, im Jahre 1855 den Vater und eine Schwester, im Jahre 1857 einen Bruder, im Jahre 1864 eine zweite Schwester: das unerbittliche Schicksal einer schwindsüchtigen Familie, das auch ihn selbst bald umkrallt. Im Jahre 1862 heiratet er. Kaum einen Monat nach der Hochzeit wirft ihn jedoch schon eine Brustfellentzündung nieder, die der Anfang vom Ende wird. Er erlebt noch das Glück eines Kindes, das im Jahre 1863 zu Pisa das Licht der Welt erblickt. Die letzten drei Jahre seines Lebens aber sind nur mehr ein verworrener Traum. Er verlebt sie größtenteils in Italien, flieht 1865 heim an die Stätte seiner Wirksamkeit nach Göttingen und versucht, über den Winter an Arbeit zu retten, was noch zu retten ist. Plötzlich, im Frühsommer, weiß er, daß alles zu Ende ist. Letzter Lebenswille baumt sich in ihm auf und er will nach Italien. Da sperrt ihm der Krieg mit Österreich den Weg. In Kassel sind die Schienen aufgerissen. Trotzdem will er nach dem Süden. Mit Pferdefuhrwerk, zu Fuß. Am 28. Juni war er endlich am Lago Maggiore eingetroffen, am 20. Juli starb er wie ein Heiliger im Garten der Villa Pisoni in Selasca bei Intra. Bis zum letzten Tag hat er gearbeitet. Hat die jämmerlich kurze Zeitspanne von kaum fünfzehn Jahren bis zum Rest ausgenützt, die ihm zum Aufbau seiner ungeheuren Gedanken gegönnt war.

Wo er hingriff, leuchtete der mathematische Kosmos in nie gesehenem Glanz auf. Seine Habilitationsschrift vom Jahre 1854 „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen“ ist das klassische Produkt reifsten Könnens, die sogar einen Gauß, der selbst schon vom Tod gezeichnet war, als er sie hörte, zutiefst erschütterte. Schon im Jahre 1851 aber hat er mit fünfundzwanzig Jahren als Doktordissertation seine „Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer komplexen Größe“ eingereicht, die vollkommen ohne äußeren Widerhall blieb, obgleich sie all das enthält, was den Fortschritt der modernen Mathematik begründet. Es war Riemanns Schicksal, übergangen und vernachlässigt zu werden, obgleich er auf akademischem Boden nicht zurückgesetzt wurde und verhältnismäßig jung die Professur erreichte. Seine stille, esoterische und tiefe Art brachte es aber gleichwohl mit sich, daß sein Name in den Konversationslexicis noch in den Neunzigerjahren des neunzehnten Jahrhunderts fehlte! Wohl eine erschütternde Tatsache. Aber der Grund für diese Erscheinungen liegt so sehr im Wesen der von ihm behandelten und erforschten Materie, daß auch wir nicht imstande sind, seine Taten in halbwegs populärer Art zu schildern. Wir müssen uns damit begnügen, zu berichten, daß die „Riemann-Fläche“ eine der genialsten Erleuchtungen ist, die die Mathematik kennt, da es auf dieser Fläche möglich ist, den Bereich und Verlauf auch verwickelter Funktionen abzubilden und dadurch etwas anschaulich und greifbar zu machen, was ohne diese Königstat für ewig reine Abstraktion geblieben wäre.

Auch bei Weierstraß sind wir in keiner viel besseren Lage, obwohl es diesem Manne vergönnt war, seine Ideen durch ein langes Leben zur Reife zu bringen. Er wurde im Jahre 1815 in Ostenfelde im Münsterland geboren, war zuerst Jurist in Bonn und aktives Mitglied des Korps „Saxonia“. Er führte ein ziemlich bewegtes, teils recht ärmliches Leben, war 1842 bis 1848 Gymnasiallehrer in Deutsch-Crone in Westpreußen, 1848 bis 1855 Lehrer am Collegium Hoseanum in Braunsberg in Ostpreußen, erhielt 1854 das Ehrendoktorat in Königsberg und wurde 1856 als Professor der Mathematik nach Berlin berufen. Dort wirkte er vor einer stets wachsenden Hörerzahl fast 30 Jahre und starb im Jahre 1897. Er hatte die Gewohnheit, kaum etwas drucken zu lassen, und verlangte, daß seine Vorlesungen in Abschriften zirkulierten, die nicht einmal mechanisch vervielfältigt werden durften.

Wie schon erwähnt, verdanken wir Weierstraß hauptsächlich die logische Abrundung der Funktionentheorie und die Erkenntnis, daß die stetigen und differentiierbaren Funktionen nur eine winzige Insel im Ozean samtlicher Funktionen sind. Dabei untersuchte er in erster Linie die Potenzreihen, in die er die Funktionen verwandelte.

Wir wollen dieses Kapitel nicht schließen, ohne wenigstens einen ungefähren Überblick darüber zu geben, welche Probleme die von uns sehr indirekt angedeutete Funktionentheorie behandelt. Wir durchblättern zu diesem Behuf ein modernes Werk über Funktionentheorie und stellen fest, daß als grundlegende Begriffe mengentheoretische Untersuchungen über Punktmengen in der Ebene und über Funktionen einer komplexen Veränderlichen nach Definition, Stetigkeit und Differentiierbarkeit vorangesetzt werden. Hierauf folgen die sogenannten Integralsätze, unter denen die Formeln Cauchys einen hervorragenden Platz einnehmen. Hierauf werden Konvergenzuntersuchungen und Untersuchungen über die Entwicklung analytischer Funktionen in Potenzreihen angestellt, worauf transzendente Funktionen und schließlich die sogenannten „singulä,ren Stellen“ in die Betrachtung einbezogen werden. Hierzu ist zu bemerken, daß etwa das Verhalten analytischer Funktionen im Unendlichen zu dieser Lehre von den „Singulären Stellen“ gehört. Damit sind die allgemeinen Grundlagen der Theorie abgeschlossen. Eine spezielle Theorie befaßt sich jetzt etwas naher mit den eindeutigen Funktionen, zu denen die periodischen gehören, und mit mehrdeutigen, die wir bereits als Wurzeln und Logarithmen kennengelernt haben. Bei diesen letzteren Funktionen finden wir auch Darstellungen solcher Funktionen auf der Riemannschen Fläche.

Natürlich soll dieser kleine Streifzug durch ein besonders leicht zugangliches Werk über Funktionentheorie (von Prof. Knopp in der Sammlung Göschen) nicht mehr bedeuten als eine Anregung und einen Hinweis. Denn die Funktionentheorie wird stets eine Disziplin bleiben, die den Mathematikern im engeren Sinne als Überwissenschaft zur Prüfung und Richtigstellung weiter Gebiete der Mathematik dient. Ihre praktische Bedeutung ist infolge der physikalischen Anwendung verwickelter Funktionen ungeheuer groß. Aber ihre elementare Darstellung oder Erlernbarkeit ist so schwer, daß vorläufig keine Hoffnung auf Änderung ihres esoterischen Charakters besteht.

Wir schließen auch deshalb dieses Kapitel ab, ohne den Versuch weiteren Eindringens in diese Materie zu wagen, und betonen nur noch einmal, daß das „mathematische Geisterreich“ heute die unteren Regionen der Mathematik beherrscht und den Bereich der Zahlen vollständig abschließt. Woraus allerdings nicht geschlossen werden darf, daß neue Entdeckungen und Erleuchtungen, auch auf diesem Gebiete, unmöglich sind. Waren es doch gerade die komplexen Zahlen selbst, die durch Jahrtausende als „impossibiles“, als unmöglich bezeichnet wurden.

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Siebzehntes Kapitel

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DAVID HILBERT

Mathematik und Logik

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Wir haben versucht, auf die Entwicklung der Mathematik im letzten Jahrhundert einige Streiflichter zu werfen. Dabei konnten wir aus der verwirrenden Mannigfaltigkeit der genialen Entdeckungen manche herausheben, die dem historisch geschulten Auge als Epochen oder als Ansatze zu solchen Epochen erscheinen. Wir werden aber trotz dieser Einzelanalysen uns jetzt bemühen, einen noch höheren Standpunkt zu gewinnen, indem wir trachten werden, das bereits Gehörte zu vereinfachen. Es ist namlich ein immanentes Gesetz jeder Durchforschung irgendeines Gegenstandes, daß uns zuerst die Einzelheiten, die Unterschiede, die Varietaten überwaltigen, da wir ja im allgemeinen nur von den Details her an die eigentlichen Gegenstände herankommen. Erst langsam und nach großer Bemühung wird der tiefinnere Zusammenhang sichtbar, die Differenzen fliehen zurück, und rein und klar liegt die Aussicht auf die Gipfel vor uns.

Dieses „Gesetz der Zusammenziehung der Einzelheiten“, wie man es nennen könnte, ist nirgends so sehr am Werke wie in einer werdenden Wissenschaft. An tausend Stellen wird an Einzelheiten gearbeitet, werden neue Wege versucht, neue Stollendurchbrüche vorbereitet. Irgendeiner dieser Durchbrüche stößt auf bisher unbekannte Quellen, unbekannte Erzlager. Hängen sie mit anderen Lagern zusammen, die im N achbartal erschlossen wurden? Zu Welchem Stromsystem gehört die Quelle? Wohin wird der Bach fließen? Haben wir bloß den abgekürzten Weg nach Indien gefunden oder den neuen Weltteil Amerika entdeckt? Weder die Quelle, noch das Erzlager, noch der Weltteil geben uns auf solche Fragen Antwort. Oft währt es Jahrhunderte lang, bis man sich aller Zusammenhänge bewußt wird. Oft auch halt man die Forschung, wie etwa bei den Irrationalzahlen, für ein todeswürdiges Verbrechen, bis man nach Jahrtausenden endlich dazukommt, zu behaupten, der Begriff der Stetigkeit wäre ohne das Irrationale ein Unding und die Zahlenfläche bliebe ohne Irrationalzahlen im besten Falle ein Gitter von Punkten.

Irgendwie dreht sich nicht nur die Erde, sondern auch der geistige Kosmos im Kreise herum. Vielleicht auch in einer Spirale, die, je nachdem, wie man es auffaßt, den Mittelpunkt in stets Weiteren Umschwüngen umkreist oder ihm in stets engeren Windungen näherkommt. Und es wird kaum einen Mathematiker geben, der sich nicht in Stunden der Einkehr, des Katzenjammers oder der Verzweiflung die bange Frage vorlegt, ob seine ganze mathematische Welt nicht eine ungeheure Seifenblase sei. Gewiß, manchmal wirft sich der Mathematiker stolz in die Brust, weist auf die großartigen Erfolge hin, die den Arm des Menschen gleichsam bis zu den entferntesten Spiralnebeln verlängert haben. Und die ihm die Gabe des Zauberers und des Propheten verleihen. Ist der Arm des Menschen aber wirklich so lang geworden? Ist das alles nicht bloß eine furchtbare Selbsttäuschung? Schon der Kubikinhalt eines knorrigen Eichbaumes ist rechnerisch fast unzuganglich - wozu also die Theorien komplexer Veränderlicher?

Es ist zugegeben, daß dieses Chaos der Gefühle manches für sich hat. Es ist aber doch wieder auch hier alles nicht so einfach. Denn wenn ein Banause behaglich auf die Uhr blickt, hierauf den Radioapparat andreht und sich dann im Sportbericht an den Weltrekorden von Automobilen oder Flugzeugen ergötzt, kann er wohl, subjektiv ehrlich, behaupten, er habe es ohne Mathematik zu diesem Wohlstand und Lebensgenuß gebracht und jede höhere Mathematik sei für ihn Humbug. Allerdings vergißt er dabei die Kleinigkeit, daß sein „Wohlstand“ für ihn von anderen durch die Mathematik geschaffen wurde. Begonnen von der Uhr, auf die er blickt. Mit solchem Unsinn wollen wir uns Weiter auch nicht auseinandersetzen. Wir meinen bloß, daß selbst in den Gedanken großer Mathematiker manchmal ein Schimmer solchen Banausentums steckt. Es kreißen Berge und ein Mauslein wird geboren. So erscheint die ganze Bemühung oft den Forschern selbst. Und es dürfte solchen Zweifelregionen entsprungen sein, wenn der französische Mathematiker Brunschwieg einmal ausrief : „Es ist ein feierlicher Augenblick, wenn zwei Gebiete der Mathematik miteinander in Kontakt treten.“Denn dann, so fügen wir hinzu, ist es zu hoffen, daß sich wieder die Verwirrung um ein gutes Stück entknotet.

Unsere Leser, soferne sie nicht Mathematiker sind, werden wähnen, wir hatten sie in den letzten Kapiteln zunehmend mit einem Wust von stets schwieriger werdenden Einzelheiten und mathematischen Sensationen überschüttet. Weit gefehlt! Mit geradezu väterlichem Gefühle haben wir ihnen, so weit es ging, die Schrecknisse des Details vorenthalten und sie nur von Gipfeln über weite Länder blicken lassen, die von diesen Gipfeln aus friedlich in der Sonne liegen. Betritt man diese Länder, dann umgibt einen sofort tosender Lärm, Volksgedränge, Aufruhr, Einsturz, Wildes Geschrei. Und die Gassen, in die man fliehen Will, werden undurchdringlicher und krauser als die Gänge des kretischen Labyrinths. Wir haben vieles verschwiegen. Haben nichts über höhere Flächen, nichts über nichtorientierbare Räume gesprochen, in denen man nach einer Weltumseglung sein Herz auf der rechten Seite finden kann, während der zurückgebliebene Freund sein Herz auf der linken Seite behielt. Der einfachste Fall eines solchen Raumes ist das bekannte Blatt von Möbius, das sich jeder aus einem Stück Papier kleben und es hierauf in einem Zug auf beiden Seiten mit einer in sich zurückkehrenden Linie beschriften kann.

Wir zeigen es im Bilde, zeigen, wie dabei durch „Weltumseglung“ die rechte und linke Seite vertauscht Wird, Was ein sogenanntes Beltramisches Flächenwesen gar nicht verstände, da es sich nicht in die dritte Dimension erheben kann.

Wir haben auch nichts über die große Erregung berichtet, die all diese geometrischen Entdeckungen hervorriefen. So erfuhr etwa der berühmte Astrophysiker Zöllner (geb. 1834), der durch seine Untersuchungen der Protuberanzen und Spektrallinien rühmlichst bekannt ist, einmal zufällig durch Felix Klein, daß ein Knoten in einem $R_{3}$ eine Angelegenheit der Lagegeometrie, also gegen jede Verzerrung seinem Wesen nach invariant oder unempfindlich sei. Im $R_{4}$ dagegen könnte ein solcher Knoten durch bloße „Verzerrung“ gelöst werden. Klein war über die enthusiastische Aufnahme dieser Neuheit durch Zöllner erstaunt. Er war aber geradezu entsetzt, als er erfuhr, daß sich Zöllner mit dem damals berühmten, später entlarvten amerikanischen Medium und Okkultisten Slade verbündet habe, um im Wege der Knotenlösung die reale Existenz des vierdimensionalen Raumes zu beweisen. Durch die Taschenspielerkunststücke Slades gelangen die Experimente trotz Versiegelung der Knoten und trotz anderer Vorsichtsmaßnahmen. Nun gab es für Zöllner keinen Halt mehr. Er begann eine fieberhafte Tätigkeit zu entwickeln, ließ in seinen letzten Lebensjahren taglich mindestens einen Bogen Abhandlungen drucken und starb im Jahre 1882 infolge Überreizung, noch nicht fünfzig Jahre alt, an Gehirnschlag.

Wir haben aber auch noch über viele andere Dinge geschwiegen. Vor allem über die heute bereits zu unerhörter Durchbildung gelangte Wahrscheinlichkeitsrechnung, die in alle Wissenschaften stets siegreicher eindringt und die im Begriffe ist, das von „Gesetzen“ beherrschte klassische Weltbild zu einem „Statistischen Weltbild“ umzumodeln, in dem es keine Sicherheit, sondern nur mehr Grade von Wahrscheinlichkeit gibt. Wir haben weiters gar nicht erwähnt, daß Hamilton, Cayley und andere Mathematiker die Algebra durch einen Symbolkalkül erweiterten, der an Allgemeinheit und Unerforschtheit alles Bisherige übertrifft; und haben vor allem nicht die Kombinatorik durchleuchten können, die für manche Mathematiker geradezu die Grundlage der Forschung geworden ist. Ganz zu schweigen von den Höhen der Zahlentheorie, von denen sich selbst der mathematisch einigermaßen Gebildete kaum eine Vorstellung machen kann.

Damit aber nicht genug. Es gibt noch etwas Diffuseres im heutigen Reich der Mathematik, etwas, das der Laie gar nicht erfahren sollte. So hat etwa ein Mann wie Felix Klein, der einer der ganz großen führenden Geometriker und Funktionentheoretiker des neunzehnten Jahrhunderts war, nach seiner Darstellung der Quaternionen Hamiltons von englischen „Q,uaternionisten“ die Zensur erhalten, es seien gar nicht Quaternionen, von denen er spreche. Und von dem ebenso berühmten Mathematiker und Zahlentheoretiker Kronecker behauptete Henri Poincaré, er hätte niemals etwas Geniales zustandegebracht, wenn er nicht zeitweilig die eigenen philosophischen Grundsätze seiner Forschung Vergessen hatte. Riemann und Weierstraß erging es nicht viel besser, und es ist unbestreitbar, daß es Gebiete gibt, in denen selbst große Mathematiker einander nicht mehr folgen können.

Wir sprechen hier von durchwegs seriösen Kennern ihres Faches und nicht von den zahllosen mathematisierenden Philosophen, die frisch, frank und frei Generalurteile über das „Wesen der Mathematik“ abgeben und sofort betreten schweigen, wenn man ihnen als Widerlegung ihrer Behauptungen ein verhältnismäßig einfaches Exempel irgendeines Gebietes der Mathematik vorhält.

Das alles soll uns aber nicht hindern, auf solider Grundlage eine Vereinfachung dieser babylonischen Verwirrung zu erstreben. Und so wollen wir festhalten, daß wohl der Zahlbegriff stets die Grundlage aller Mathematik bleiben wird und bleiben muß. Wir haben gerade auf diesem Gebiete im neunzehnten Jahrhundert durch die Ausbildung der Theorie der komplexen Zahlen ungeheuer viel Terrain gewonnen, und auch die Gleichungstheorie tat ihr übriges, um den Zahlbegriff zu festigen und zu erweitern, da sie ja mit Wurzeln, Irrationalitaten und komplexen Zahlen aufs innigste zusammenhangt. Dann hat uns das neunzehnte Jahrhundert endgültige Erkenntnisse über die Unauflösbarkeit der Gleichungen, die den vierten Grad überschreiten, und über die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises gebracht (Lindemann 1882). Weiters gewannen wir in den Determinanten, Mengen und Gruppen gleichsam neue „Überzahlen“, mit denen wir bereits ohne viel Schwierigkeit operieren. Und schließlich hat es die darstellende, die projektive und die nichteuklidische Geometrie verstanden, einen neuen bedeutenden Aufstieg der Geometrie einzuleiten, der Weit über alles Vorhergegangene hinaufreicht.

Nach all dem, Was mathematisch, physikalisch und philosophisch in diesem neunzehnten Jahrhundert vorging, war es klar, daß in mehr als einem Kopf und Gemüt der Wunsch erwachte, das riesige Chaos der genialen Entdeckungen und Verallgemeinerungen zu bändigen. Und man war bestrebt, gleichsam die Wurzeln all dieses üppigen Wachstums bloßzulegen. In geometrischen Dingen hatte man für diese Bemühung ein leuchtendes Vorbild, nämlich Euklid, an dessen Sturz durch die nichteuklidischen Geometrien Wohl nur neuerungssüchtige Progressisten glaubten, denen die Auflösung und Relativierung aller Wahrheit irgendwie am Herzen lag.

Nun gelang es David Hilbert (geb. 1862, zuletzt Professor in Göttingen) in einer fast endgültigen Art, die ganzen Fragenkomplexe über die Grundlagen der Geometrie zu klären, und sein Axiomensystem ist eine der großen Leistungen des neunzehnten Jahrhunderts. Diese Axiomatik erlaubt es nämlich, sämtliche Typen von Geometrien in ihrem Aufbau und in ihrer Bedingtheit klarzustellen. Durch bloße Weglassung gewisser Axiome gewinnen wir mühelos die nichteuklidischen, die nichtarchimedischen und andere Geometrien und können dadurch begreifen, warum Geometrien wíderspruchsfrei möglich sind, die unserem am vollständigen euklidischen Axiomensystem geschulten Empfinden auf den ersten Blick wie Wahnsinn erscheinen. Hilbert leistete in seinen „Grundlagen der Geometrie“ jedoch noch weit mehr. Vor allem zeigte er, daß die Verschwisterung von Geometrie und Arithmetik, also von Größe und Zahl, nur dann aufrechterhalten werden kann, wenn sämtliche Rechnungsregeln reeller Zahlen vollständig identisch auch für die sogenannte Streckenrechnung, also für eine Rechnung mit Größen gelten. Ist eine solche Identität zu erweisen, dann dürfen, gleichsam gruppentheoretisch, Größe und Zahl oder Zahl und Größe mutatis mutandis miteinander vertauscht werden. Diese Möglichkeit, die als stillschweigende Voraussetzung jeder analytischen und jeder Maßgeometrie überhaupt zugrunde liegt, ist das unerläßliche Fundament der logischen Berechtigung der Maßgeometrie. Wie Hilbert zeigt, ist diese Verschwisterung von Größe und Zahl durchaus nicht selbstverständlich, sondern muß auf Grund der projektiven Geometrie, insbesondere der Sätze von Pascal und Desargues, sorgfältig nachgeprüft und nachgewiesen werden.

Wir wollen nicht verschweigen, daß auch die Geometriker Pasch und Schur, Zermelo und andere an der axiomatischen Grundlagenforschung in vieler Beziehung beteiligt sind. Sie ist überhaupt seit mindestens fünfzig Jahren auf der „Tagesordnung“, und noch niemals hat ein so heißes Bemühen stattgefunden, den erworbenen Geistesbesitz zu sichern.

Die Gründe für solche Bemühungen liegen sehr tief und sind in verschiedener Richtung zu suchen. Rein historisch betrachtet, handelt es sich um die Rezeption Euklids im faustischen Kulturkreis. Aber auch nur zum Teil. Denn es steckt ebensogut der Geist des Ramon Lullus hinter all diesen Bestrebungen. Wissenschaftspsychologisch kommt man einfach vom Traum der „Denkmaschine“, der „allgemeinen Charakteristik“, der „ars inveniendi“ nicht los und will es mit der Logisierung der Mathematik versuchen, wenn es im Algorithmus und Kalkül selbst nicht mehr weitergeht. Dabei ergeht es der Logik aber genau so wie der Geometrie. Wir haben früher schon die Tragikomödie erwähnt, daß die projektive Geometrie aus dem Wunsch heraus geschaffen wurde, dem sieghaften Algorithmus der Algebra ein Paroli zu bieten. Der Schluß war eine vollständige Algebraisierung der Geometrie, wobei sich projektive Geometrie und Algebra fast unlösbar amalgamierten, und aus der revolutionierenden Geometrie erst recht eine Algebra der Formen, Invarianzen und anderer Beziehungen wurde. Die Algebra scheint ein Licht zu sein, in das die Schmetterlinge der anderen Geisteszonen nicht ungestraft fliegen dürfen. Denn wenn auch die Logik sich plötzlich als Übermathematik zu gebarden begann, sich als Überwissenschaft konstituierte und mit allen Mitteln der Symbolik zu operieren anhub, so stellte es sich gleichwohl sehr bald heraus, daß sie nichts anderes getan hatte, als sich in aller Stille zu algebraisieren. Wie ein militanter Eroberer, der ein fremdes Reich unterwirft, am Ende jedoch Sprache und Sitten der unterjochten Völker annimmt, ist es der Logik und der Logistik ergangen. Und nur unter vollständiger Verwirrung aller Begriffe kann man ernstlich behaupten, daß der Gedanke des Kalküls und der Symbolschreibung eine logische und keine mathematische Kategorie sei.

Wir wollen in keiner Weise die Fruchtbarkeit dieser „Streckung der Logik“ anzweifeln, solange sie sich in vernünftigen Grenzen halt. Wenn aber behauptet wird, daß es sich plötzlich „herausgestellt“ habe, daß die Mathematik nichts sei als ein Komplex von Tautologien und Kreisschlüssen, dann muß der Historiker der Mathematik darauf hinweisen, daß eine solche Auffassung zumindest etwas einseitig ist, wenn sie auch nicht ohneweiters widerlegt werden kann. Sie kann namlich deshalb schwer widerlegt werden, weil sie Dinge postuliert, die vollständig der Willkür unterliegen. Und diese Dinge sind eben die Kompetenzgrenzen von Mathematik und Logik. Durch Jahrtausende hat sich die Mathematik der logischen Operationen des Schließens, des Beweisens und des Analysierens bedient. Sie hatte auch stets und fast zu jeder Zeit das Bestreben, dieses „negative Kriterium der Wahrheit“, wie es Kant nennt, nicht zu verletzen. Sie war aber gezwungen, nicht nur die formale, sondern auch die transzendentale Logik zu berücksichtigen. Mußte darüber hinaus stets am Rande der Metaphysik, ja sogar der Mystik operieren, da ihr sonst gerade die leuchtendsten Gipfel ihres Erfolges nicht beschieden gewesen waren. Von einem gewissen Standpunkte aus könnte man der Mathematik sogar biologische Bedingtheiten nachsagen, zumindest aber kulturmorphologische.

In solchen Bindungen und gegen solche Bindungen hat sich die Mathematik entwickelt und es ist vom Standpunkt einer Wesensschau kaum zweifelhaft, was man unter mathematischem Denken und Handeln verstehen kann und was nicht. Wenn sich also eine der Mathematik irgendwie bisher stets nebengeordnete Wissenschaft plötzlich der integrierenden Errungenschaften der Mathematik zu bedienen beginnt und aus dieser Position heraus Vorrangsansprüche stellt, ist das Wesen der Sache, vom historischen Standpunkt aus, so gut wie ins Gegenteil verkehrt.

Wir wollen an diese Stelle einige Worte Hilberts aus dessen Abhandlung über „Logik und Arithmetik“ setzen, die nach unserer Ansicht das Wesentliche sehr scharf wiedergeben. Hilbert sagt: „Man bezeichnet wohl die Arithmetik als einen Teil der Logik und setzt meist bei der Begründung der Arithmetik die hergebrachten logischen Grundbegriffe voraus. Allein bei aufmerksamer Betrachtung werden wir gewahr, daß bei der hergebrachten Darstellung der Gesetze der Logik gewisse arithmetische Grundbegriffe, z. B. der Begriff der Menge, zum Teil auch der Begriff der Zahl, insbesondere als Anzahl bereits zur Verwendung kommen. Wir geraten so in eine Zwickmühle und zur Vermeidung von Paradoxien ist daher eine teilweise gleichzeitige Entwicklung der Gesetze der Logik und der Arithmetik erforderlich.“

Wir haben absichtlich nicht einen Intuitionisten oder Mystiker der Mathematik, sondern einen der strengsten und erfolgreichsten Logiker der Mathematik zitiert. Wir sind namlich der festen Überzeugung, daß sich diese unpolare und objektive Stellungnahme gegenüber der Rangordnung der beiden Wissenschaften Logik und Mathematik deshalb durchringen muß, weil die Verwischung oder Veranderung der Grenzen keiner der beiden Wissenschaften auf die Dauer Vorteile bringen kann. Und Wir sind Weiter der Überzeugung, daß die Geschichtsschreibung einer nicht allzufernen Zeit eine „Epoche“ konstatieren Wird, die mit dem Titel „Prioritatsstreit der Logik mit der Mathematik“ überschrieben werden könnte. Wobei „Priorität“ nicht zeitlich, sondern erkenntniskritisch gemeint ist.

Noch einmal: es fällt uns nicht im geringsten ein, die Bemühungen um die logische Fundierung und Reinigung der Mathematik zu verkennen und zu verkleinern. Wer so dachte, dem lage die Wahrheit nicht am Herzen und er müßte als schlechter Mann verachtet Werden, der nicht bedenkt, was er vollbringt. Anderseits aber erscheint uns Wieder die heute sehr verbreitete Bestrebung, die Produktivität der Mathematik um jeden Preis zu verriegeln, und die Erzeugung des Wahnglaubens, es sei bereits alles „durchschaut“, als eine Versündigung am Geist, die scharfe Zurückweisung verdient. Aus solchem Sterilitatsaspekt heraus, der sich puritanisch gebärdet Wie irgendeine andere Beckmesserei der Weltgeschichte, Wird den „Meistersingern“ der Mathematik, vor allem den Stolzings, der Weg versperrt, auf dem allein nach allen Lehren der Mathematikgeschichte die Wissenschaft vorwärtskam. Es muß namlich -- und hier liegt die Gefahr--nicht jeder geniale Mathematiker durchaus a priori ein großer fachlich geschulter Logiker und Philosoph sein. Und es könnte geschehen, daß solche zukünftige Bahnbrecher gleichsam verzagt und kopfscheu Werden, wenn sie den Wust vor sich sehen, durch den sie angeblich schreiten müssen, oder aber wenn man ihnen von philosophischer Seite vorhalt, sie befanden sich in einem Zauberkreis, den sie nicht sprengen könnten.

Unsere Ermahnung zu intensiverer historischer Einstellung gegenüber dieser Wahrscheinlich bald wieder vorübergehenden einseitigen Hyper-Logisierung der Mathematik, die in Wahrheit allem Anschein nach nichts ist als die Tragikomödie einer Mathematisierung der Logik, richtet sich auch nicht an die Fachleute, die ja sicherlich alle diese Tatbestände kennen und ihre eigenen Lehren durchaus nicht so einseitig meinen, wie sie von all denen aufgefaßt werden, die weder die Mathematik, noch die Logik, noch die Philosophie, noch auch die Kulturgeschichte hinreichend allgemein überblicken. Kurz zusammengefaßt: wir befinden uns seit der Grundlagenforschung der Mathematik und seit der Erfindung des Logikkalküls in einer äußerst spannungsreichen und interessanten Epoche der Mathematik und der Logik, die durch die Aufstellung der mehrwertigen Logiken und durch die Verbindung n-wertiger Logiken mit der Wahrscheinlichkeitstheorie, wie sie etwa durch Reichenbach erfolgte, an Problematik nicht gerade arm ist; wobei gleichwohl ein kühler Historiker der Mathematik mit einer gewissen Skepsis feststellen muß, daß diese Überkomplikationen den Befähigungsnachweis nach der produktiven Seite hin noch durchaus nicht erbracht haben.

Wir wollen deshalb die strengen Bereiche der logisierten Mathematik und der mathematisierten Logik, die wir ja auch bloß streifen durften, verlassen und wollen uns am Schluß dieser Reise durch Zeiten und Räume der Frage zuwenden, welches übergeordnete, gemeinsame Merkmal wohl all den Bestrebungen der Jahrhunderte seit Leibniz, insbesondere dem neunzehnten und dem beginnenden zwanzigsten Jahrhundert, zukommen möge. Wir sind uns darüber klar, daß wir damit in gewissem Sinne den Boden der Tatsachen verlassen und die Regionen subjektiver Eindrücke betreten müssen. Wir werden uns aber gleichwohl bemühen, diese Eindrücke nicht zu Träumen oder zur Fabuliererei entarten zu lassen.

Wenn wir also auf den langen und mühsamen Weg zurückblicken, den wir bisher miteinander gegangen sind, dann fällt uns eine merkwürdige Eigenschaft auf, die all den Entdeckungen der letzten hundertfünfzig Jahre mehr oder minder versteckt zugrundeliegt. Wir wollen sie vorläufig sehr angenähert als „Perspektive“, als „Ähnlichkeitsuntersuchung“ und als „Maßstabveränderung“ bezeichnen. Im innersten Wesen gehören alle drei Standpunkte irgendwie eng zusammen. Wir wollen es aber nicht bei der Andeutung größerer Zusammenhänge bewenden lassen, sondern unsere Vermutung im einzelnen durchführen.

Daß sich die darstellende und die projektive Geometrie, weiters auch überhaupt jede Geometrie der Lage, mit allen dreien der oben erwahnten Begriffskategorien befaßt und befassen muß, ist einleuchtend und bedarf keiner weiteren Erörterung. Dieser Drang, alle Dinge unter anderen Gesichtswinkeln abzubilden, sie zu transformieren, um zu untersuchen, was dabei Bestand habe und was nicht, griff jedoch Weit über den engeren Bereich der darstellenden und der projektiven Geometrie hinaus und wurde etwa bezüglich der nichteuklidischen Geometrien zur unbedingten Verallgemeinerung des Begriffes einer Geometrie überhaupt. Dadurch auch entwickelte sich die Idee einer invarianten oder unempfindlichen Zone, die sämtlichen Geometrien gemeinsam ist und von manchen Autoren treffend die „absolute Geometrie“ neben den unendlich vielen möglichen, gleichsam relativen Geometrien genannt wird. Da nun aber seit Descartes ein Weitgehender Strukturparallelismus, wenn nicht gar eine Identitat von Geometrie und Algebra besteht, indem beide Teilreiche der Mathematik als nichts anderes betrachtet werden denn als untergeordnete Vasallenstaaten eines über beiden stehenden Reiches der reinen Formen,

(Wir gebrauchen den Ausdruck „Form“ in noch umfassenderem Sinn als die moderne Theorie, die unter „Form“ die linke Seite einer aufs Null gebrachten Gleichung versteht.)

war es sehr wenig verwunderlich, daß sich die Veranderung in den Anschauungen über die Geometrie sofort auch als eine Verfassungsänderung im Reiche der Algebra und der universellen Symbolik geltend machte. Auf dieser Linie liegen sämtliche epochalen Entdeckungen über Kongruenz im Sinne Gaußens und über Gruppen. Überall in diesen Ideengebäuden handelt es sich irgendwie um die Frage, was bei allerlei Verzerrungen, allerlei anderen Perspektiven und allerlei Substitutionen bzw. Transformationen erhalten oder invariant bleibt. Wir erinnern uns bei diesen vielfältigen Bemühungen um versteckte Zusammenhänge unwillkürlich an die „Koinzidenzen“ des Gusanus. Natürlich ist die Ähnlichkeit des scholastischen Begriffes der „Koinzidenz“ mit dem modernen Begriff der „StrukturInvarianz“ nur eine sehr ungefähre. Aber sie besteht trotzdem irgendwie in der psychologischen Richtung des Herantretens an die Probleme.

Was, so fragen wir uns, ist nun der tiefste Sinn und die unterste Absicht all dieser perspektivischen Bemühungen? Ist es bloß das Bestreben, die Dinge aus verschiedensten Gesichtswinkeln zu erblicken, sie deutlicher oder allgemeiner zu machen? Sicherlich sind derartige Motive in diesem Forschungsziel auch mitenthalten. Sie sind aber unserer Ansicht nach nicht die primären Triebkräfte. Denn „Verallgemeinerung“ an sich wäre bloß eine extensive und durchaus keine intensive Bemühung. Man hätte dadurch letzten Endes das Feld der Forschung nur verbreitert, ohne den wirklichen Zusammenhängen näher an den Leib zu rücken. Im Gegenteil: man hätte sich -- und es schien zum Teil wirklich so - durch eine zügellose Verallgemeinerung sogar von der Möglichkeit entfernt, die Zusammenhänge zu durchschauen. Aber es schien nur oberflächlichen Betrachtern so. Denn die gleichzeitige Bemühung um Verallgemeinerung und Erkenntnis der Invarianz ist etwas grundlegend anderes als die Ausbreitung und Anhäufung des verallgemeinerten Materiales ohne die Korrektur der Invarianzuntersuchung. Wählen wir ein simples Beispiel: schon Diophant, wenn nicht manch noch früherer Arithmetiker, hat instinktmäßig gewußt, daß eine an sich unlösbare Gleichung sofort lösbar wird, wenn man, im gewöhnlichen Sinne des Wortes, für die Unbekannte einfachere oder vielleicht auch manchmal kompliziertere Ausdrücke „substituiert“. Die Tätigkeit des Umformens, die wir etwa bei der Cardanoschen Lösung der kubischen Gleichungen in besonderer Deutlichkeit erfolgreich am Werke gesehen haben, ist jedoch nicht auf die Gleichungen beschränkt geblieben. In weit umfassenderer und noch viel weniger durchsichtiger Art trat sie bei der Auswertung (Lösung) von Integralen auf, bei denen sie zum großen Teil die Voraussetzung der Brauchbarkeit des ganzen Integral-Algorithmus wurde. Warum nun darf man das eine Mal substituieren, das andre Mal nicht? Warum führt die eine Art dieser Transformation bei gewissen Integralen sicher zum Ziel, während sie ein anderes Mal kläglich versagt? Was, wie und wo darf man transformieren? Wir sprechen dabei noch gar nicht von der theoretischen Physik, bei der solche Fragen gleichsam stündlich auftreten.

Kurz, man mußte in all diese Probleme des Algorithmus irgendeine Klarheit hineinbringen, mußte die einzelnen Algorithmen gleichsam degradieren, mußte sie zu Teilalgorithmen machen, um die Möglichkeit und Richtigkeit der Übergänge von einem Formreich zum andren zu zeigen. Diesem Zwecke diente auch in hervorragendem Maße die Einführung der komplexen Zahlen. Wir haben wiederholt vom „Geisterreich“ der Mathematik gesprochen, haben die komplexen Gebilde mit platonischen Ideen verglichen und behauptet, sie seien in ihrer Vollkommenheit und Symmetrie die Urbilder aller anderen Zahlen, die manchmal so sehr verstümmelt, so sehr von „irdischen“ Mängeln und Gebrechen entstellt seien, daß man ihre wahren Eigenschaften überhaupt nicht mehr erkennen könne und dadurch zwangsläufig in Fehler verfalle, die nur dann vermeidbar seien, wenn man sich Rat im Geisterreich bei den Vorbildern hole. Auch diesen Methoden liegt ein perspektivischer, ein Abbildungsgedanke zugrunde. Man projiziert gleichsam das reelle Reich ins komplexe und das komplexe ins reelle und erkennt bei dieser Transformation, welche Eigenschaften erhalten bleiben und welche nicht. Und man ist imstande, im komplexen Gebiet Operationen allgemeinster Art durchzuführen, deren manchmal sehr begrenzte Spezialfälle hierauf die Operationen im reellen Reiche sind. Denken wir hier bloß an den Fundamentalsatz der Algebra, an die polygonale Anordnung der Wurzellösungen und an die mit dieser Polygoneigenschaft zusammenhängende Lehre von der Kreisteilung. Diese Kreisteilungslehre setzt sich Weiter in trigonometrischer, konstruktiver und gleichungstheoretischer Richtung fort und man ist, etwa in der Gruppentheorie, imstande, eine „Gruppe“ der Lösungen einer Gleichung n-ten Grades zu bilden, die sich nun nach dem Algorithmus der Gruppentheorie zu anderen Gruppen, etwa Rest-Modulsystemen, in Beziehung setzen läßt. Oder denken wir an die Logarithmen, deren Eigenschaften zugleich erklärlicher, zugleich aber noch mystischer und noch „wundertätiger“ werden, wenn wir erfahren, daß im Geisterreich jeder Zahl unendlich viele Logarithmen zugeordnet sind. Solche „Geistereigenschaften“ treten auf der reellen „Erde“ plötzlich irgendwo unvermutet ans Tageslicht und sind ebenso undurchsichtig wie verheerend, wenn man die Urbilder nicht kennt.

Es gibt aber noch ein weiteres Gebiet der Mathematik, das mit dieser „perspektivischen Weltanschauung“ zu tun hat, die wir als gemeinsames Symptom der Forschungen des neunzehnten Jahrhunderts ansprechen. Wir meinen den Begriff der Konvergenz. Rein optisch betrachtet, ist eine konvergente Reihe nichts andres als eine Skala, deren „Einheiten“ irgendwie perspektivisch liegen. Gewisse konvergente Reihen gleichen, bildlich gesprochen, einem Meßband, das sich in die Ferne verliert, so daß die „Einheiten“ sich mehr und mehr verkürzen, bis sie endlich an die Sky-line, an den Horizont des Grenzpunktes, bzw. komplex gesprochen, des Randes oder Konvergenzkreises stoßen. Aus solchen Überlegungen heraus verbinden sich auch sofort die nichteuklidischen Geometrien, die projektive Geometrie und die Konvergenzbetrachtungen zu einer neuen Über-Einheit von Gebieten. Derartige Standpunkte aber leiten weiter zu kosmologischen Betrachtungen, wie etwa zurAnsicht von der Geschlossenheit' und Endlichkeit des Universums über, da es sich ja dabei um nichts andres als um die Postulierung einer nichteuklidischen Struktur des Erfahrungsraumes h andelt. Aber selbst die Mengenlehre, die auf den ersten Blick mit ihrer aktualen Unendlichkeit den Gesetzen der Perspektive nicht zu folgen und abseits von diesen Aspekten ihren Weg zu schreiten scheint, ist durchaus in das „perspektivische Weltbild“ des neunzehnten und des beginnenden zwanzigsten Jahrhunderts eingegliedert. Die „punktweise Zuordnung“ der Mengen allein ist eine perspektivische Angelegenheit, und sämtliche Maßstabfragen der Koordinatengeometrie, die mit Punktmengen operiert, führen auf derartige Probleme zurück.

Wir haben versucht, in kurzen Andeutungen zu zeigen, daß die ganze Mathematik der letzten hundertfünfzig Jahre, so vielfältig, verworren, esoterisch und andersgeartet sie auch erscheint, gleichwohl einen sehr deutlichen „Konvergenzpunkt“ besitzt, der alles eher denn ein unendlich ferner Punkt zu sein scheint. Irgendwie liegt die Tat des Jakobiners De Monge und seiner Schüler, die auf deutschem Boden dann ihren faustischen Aufwärtstrieb erhielt, als Schatten über dem Jahrhundert. Und wir vermuten, daß sich, rein historisch betrachtet, eine Synthese all dieser „perspektivischen“ Ansätze vorbereitet, die in irgendeine allgemeinste „Ähnlichkeitsmathematik“ münden wird. Dieser Mathematik gegenüber dürfte die „vor-Galoissche“ oder „vor-Gaußsche“ Mathematik als „Gleichheitsmathematik“ bezeichnet werden dürfen.

Naturgemäß ist der einwandfreie und gesicherte Ausbau dieser Synthese, zu der im höchsten Maß sämtliche Vektorenbetrachtungen mit ihren Verschiebungen, Drehungen, Drehstreckungen und Drehkürzungen gehören, ohne gründlichste philosophische Kontrolle nicht möglich. An dieser Stelle und von diesem neuen Standpunkt aus ist die Mitarbeit der Logistik nicht nur interessant, sondern höchst ersprießlich, sofern sie sich ihrer kontrollierenden Aufgabe bewußt bleibt und nicht wähnt, die letzte Instanz eines vollendeten logisch-mathematischen Kosmos zu sein. Dieser letztere, durchaus magische Gedanke widerspricht, wie wir zu zeigen versuchten, den Tatsachen der Geschichte. Und widerspricht, wie man in unerschöpflicher Vielfalt zeigen könnte, auch dem tiefsten Instinkt zahlreicher erstrangiger Mathematiker.

So sagt etwa Felix Klein auf Seite 51 seiner bereits erwähnten „Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert“ ungefahr, daß „Strenge“ der Mathematik ein aus der griechischen Antike stammendes Ideal sei, das die rein logische Ableitung der ganzen Mathematik aus einer möglichst beschränkten Anzahl an die Spitze gestellter Voraussetzungen beinhalte. „Hier möchte ich“, fährt Klein fort, „nun betonen, daß selbst bei einer idealen ,Strenge“ in diesem Sinne ein gewisses, anschauungsmäßiges, alogisches Element bei der Bildung der Grundlagen beteiligt bleibt.“ Und er sagt dann auf Seite 53 weiter: „Aus der Betrachtung der Geschichte unsrer Wissenschaft ergibt sich nämlich, daß „Strenge“ bei alledem etwas Relatives ist, eine Forderung, die sich mit der fortschreitenden Wissenschaft erst entwickelt. Es ist interessant, zu beobachten, wie in einer auf Strenge gerichteten Periode die Zeitgenossen jedesmal glauben, das Maximum in dieser Richtung geleistet zu haben, und wie dann noch eine spätere Generation in ihren Forderungen und Leistungen über sie hinwegschreitet. So wurde Euklid überholt, so Gauß, so Weierstraß. Es scheinen der Entwicklung in dieser Richtung so wenig Grenzen gesetzt zu sein, wie sie für die schöpferische Erfindungskraft existieren.“

Diese Worte sind nicht etwa als Programm, sondern als Summe eines unendlich reichen Lebens gesprochen worden. Der damals mehr als sechzigjährige Klein hielt seine „Vorlesungen“ in den ersten Kriegsjahren, also zu einer Zeit, da alle Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik, an die man heute appelliert, bereits vorlagen. Kronecker, Frege, Hilbert, um nur wenige Namen zu nennen, waren Klein bereits genau bekannt, ebenso Poincaré, Couturat und andre.

Wir halten somit diese Worte für durchaus mehr als ein geistreiches Aperçu. Und wir können und wollen uns nach unsrer Fahrt durch Raum und Zeit keinerlei Untergangs- oder Vollendungsbehauptung unterwerfen. Im Gegenteil: wie sich nach der Monadenlehre eines der Größten unsrer Wissenschaft, des großen Leibniz, ein Kosmos über den andren türmt, um schließlich in die Monade der Monaden, in Gott, zu münden, so scheinen, um die Worte Kleins abgekürzt zu wiederholen, weder der kritischen noch der produktiven Entwicklung unsrer herrlichen, wahrhaft königlichen Wissenschaft irgendwelche Grenzen des Höherbaues gesetzt zu sein.

ENDE