Benutzer:Chris Ke/Spielwiese Negation

Beispiele aus der Einleitung

Betrachten wir nun das erste Beispiel aus der Einleitung:

Zu jedem $ϵ > 0$ gibt es ein $N \in ℕ$ , sodass für alle $n \geq N$ die Ungleichung $| a - a (n) | < ϵ$ erfüllt ist.

Zum Negieren der Aussage gehen wir schrittweise wie im ersten Beispiel vor:

\begin{matrix} Negation der Aussage: Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein N \in ℕ, sodass für alle n \geq N die Ungleichung | a - a (n) | < ϵ erfüllt ist. \\ ↓ Übersetzung in formale Schreibweise \\ \neg (\forall ϵ > 0 \exists N \in ℕ \forall n \in ℕ : n \geq N \Rightarrow | a - a (n) | < ϵ) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (\forall x : A (x)) \Leftrightarrow \exists x : \neg A (x) \\ \exists ϵ > 0 : \neg (\exists N \in ℕ \forall n \in ℕ : n \geq N \Rightarrow | a - a (n) | < ϵ) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (\exists x : A (x)) \Leftrightarrow \forall x : \neg A (x) \\ \exists ϵ > 0 \forall N \in ℕ : \neg (\forall n \in ℕ : n \geq N \Rightarrow | a - a (n) | < ϵ) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (\forall x : A (x)) \Leftrightarrow \exists x : \neg A (x) \\ \exists ϵ > 0 \forall N \in ℕ \exists n \in ℕ : \neg (n \geq N \Rightarrow | a - a (n) | < ϵ) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \land \neg B \\ \exists ϵ > 0 \forall N \in ℕ \exists n \in ℕ : n \geq N \land \neg (| a - a (n) | < ϵ) \\ ↓ \neg (| a - a (n) | < ϵ) \Leftrightarrow | a - a (n) | \geq ϵ \\ \exists ϵ > 0 \forall N \in ℕ \exists n \in ℕ : n \geq N \land | a - a (n) | \geq ϵ \\ ↓ Übersetzung in natürliche Sprache \\ Es gibt ein ϵ > 0, sodass es für alle N \in ℕ ein n \in ℕ mit n \geq N und | a - a (n) | \geq ϵ gibt. \end{matrix}

Verständnisfrage: Versuche nun folgende Aussagen zu negieren.

Für alle $R > 0$ gibt es ein $n \in ℕ$ , sodass $| x_{n} | \geq R$ .
Für alle $ϵ > 0$ und $x \in D$ gibt es ein $δ > 0$ , sodass $| f (x) - f (y) | < ϵ$ für alle $y \in D$ mit $| x - y | < δ$ .
Für jeden Menschen gibt es einen anderen, der ihn liebt.

Erste Aussage:

\begin{matrix} Negation der Aussage: Für alle R > 0 gibt es ein n \in ℕ, sodass | x_{n} | \geq R . \\ ↓ Übersetzung in formale Schreibweise \\ \neg (\forall R > 0 \exists n \in ℕ : | x_{n} | \geq R) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (\forall x : A (x)) \Leftrightarrow \exists x : \neg A (x) \\ \exists R > 0 : \neg (\exists n \in ℕ : | x_{n} | \geq R) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (\exists x : A (x)) \Leftrightarrow \forall x : \neg A (x) \\ \exists R > 0 \forall n \in ℕ : \neg (| x_{n} | \geq R) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (| x_{n} | \geq R) \Leftrightarrow | x_{n} | < R \\ \exists R > 0 \forall n \in ℕ : | x_{n} | < R \\ ↓ Übersetzung in natürliche Sprache \\ Es gibt ein R > 0, so dass für alle n \in ℕ, | x_{n} | < R gilt. \end{matrix}

Zweite Aussage:

\begin{matrix} Negation der Aussage: Für alle ϵ > 0 und x \in D gibt es ein δ > 0, sodass | f (x) - f (y) | < ϵ für alle y \in D mit | x - y | < δ . \\ ↓ Übersetzung in formale Schreibweise \\ \neg (\forall ϵ > 0 \forall x \in D \exists δ > 0 \forall y \in D : | x - y | < δ \Rightarrow | f (x) - f (y) | < ϵ) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (\forall x : A (x)) \Leftrightarrow \exists x : \neg A (x) \\ \exists ϵ > 0 : \neg (\forall x \in D \exists δ > 0 \forall y \in D : | x - y | < δ \Rightarrow | f (x) - f (y) | < ϵ) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (\forall x : A (x)) \Leftrightarrow \exists x : \neg A (x) \\ \exists ϵ > 0 \exists x \in D : \neg (\exists δ > 0 \forall y \in D : | x - y | < δ \Rightarrow | f (x) - f (y) | < ϵ) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (\exists x : A (x)) \Leftrightarrow \forall x : \neg A (x) \\ \exists ϵ > 0 \exists x \in D \forall δ > 0 : \neg (\forall y \in D : | x - y | < δ \Rightarrow | f (x) - f (y) | < ϵ) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (\forall x : A (x)) \Leftrightarrow \exists x : \neg A (x) \\ \exists ϵ > 0 \exists x \in D \forall δ > 0 \exists y \in D : \neg (| x - y | < δ \Rightarrow | f (x) - f (y) | < ϵ) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \land \neg B \\ \exists ϵ > 0 \exists x \in D \forall δ > 0 \exists y \in D : | x - y | < δ \land \neg (| f (x) - f (y) | < ϵ) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (| f (x) - f (y) | < ϵ) \Leftrightarrow | f (x) - f (y) | \geq ϵ \\ \exists ϵ > 0 \exists x \in D \forall δ > 0 \exists y \in D : | x - y | < δ \land | f (x) - f (y) | \geq ϵ \\ ↓ Übersetzung in natürliche Sprache \\ Es gibt ein ϵ > 0 und ein x \in D, so dass für alle δ > 0 es ein y \in D mit | x - y | < δ und | f (x) - f (y) | \geq ϵ gibt. \end{matrix}

Dritte Aussage:

\begin{matrix} Negation der Aussage: Für jeden Menschen gibt es einen anderen, der ihn liebt. \\ ↓ Übersetzung in formale Schreibweise \\ \neg (\forall x : x ist ein Mensch \Rightarrow \exists y : y ist ein Mensch \land y liebt x) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (\forall x : A (x)) \Leftrightarrow \exists x : \neg A (x) \\ \exists x : \neg (x ist ein Mensch \Rightarrow \exists y : y ist ein Mensch \land y liebt x) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \land \neg B \\ \exists x : x ist ein Mensch \land \neg (\exists y : y ist ein Mensch \land y liebt x) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (\exists x : A (x)) \Leftrightarrow \forall x : \neg A (x) \\ \exists x : x ist ein Mensch \land \forall y : \neg (y ist ein Mensch \land y liebt x) \\ ↓ Umformungsregel: \neg (A \land B) \Leftrightarrow \neg A \lor \neg B \\ \exists x : x ist ein Mensch \land \forall y : \neg (y ist ein Mensch) \lor \neg (y liebt x) \\ ↓ Umformungsregel: (\neg A \lor \neg B) \Leftrightarrow (A \Rightarrow \neg B) \\ \exists x : x ist ein Mensch \land \forall y : y ist ein Mensch \Rightarrow \neg (y liebt x) \\ ↓ Übersetzung in natürliche Sprache \\ Es gibt einen Menschen, so dass alle Menschen ihn nicht lieben. \\ ↓ Umformulierung \\ Es gibt einen Menschen, den 𝑘 𝑒 𝑖 𝑛 𝑀 𝑒 𝑛 𝑠 𝑐 ℎ liebt. \end{matrix}