Wikibook Mathematik (Entwurf)

Buchinformationen

Buchstruktur

Kurse
- Themen
  - Kapitel
    - Seiten
      - Definitionen
      - Sätze
      - Verweise auf Wikipedia, andere Wikibooks
Einführungskurs: Mengen, Relationen und Abbildungen
- Schreibweisen
- A1. Aussagenlogik
  - Definitionen
    - Überschrift fehlt noch
      - Aussage
- M1. Mengen
  - Mengendefinitionen
    - Klasse
    - Menge
  - Induktion
    - Induktive Mengen
    - Induktive Beweise
- MO1. Mengenoperationen

Schreibweisen

Symbole

Zeichen	Bedeutung	Beispiel
:=	ist definiert als	$G2:=\{x\in \mathbb {N} \vert x>2\}$	G2 sei definiert als die Menge aller natürlichen Zahlen die größer als 2 sind
$\forall$	für alle	$\forall x\in G2:x>2$	Für alle x aus G2 gilt: x > 2
$\exists$	existiert ein	$\exists x\in G2:x<10$	Es existiert ein x in G2 mit der Eigenschaft x < 10
$\Leftrightarrow$	genau dann wenn	$x>2\Longleftrightarrow x+1>3$	x ist größer 2 genau dann wenn x + 1 > 3
$:\Leftrightarrow$	definitionsgemäß genau dann wenn	$A=B:\Leftrightarrow \forall x\left(x\in A\,\Leftrightarrow x\in B\right)$	Zwei Mengen A und B sind als gleich definiert, wenn jedes Element der einen Menge auch in der anderen vorkommt.
$\Rightarrow$	daraus folgt	$x>2\Rightarrow x>1$	Aus x>2 folgt, dass x>1 ist
$\in$	Element von	$x\in M$	x ist Element der Menge M

Schreibweise von Definitionen und deren Verwendungen

Beispieldefinition:

Menge := geeignete Zusammenfassung von Objekten.

Verwendungsbeispiel:

$M\in Menge$ : M ist eine Menge.

Beispieldefinition 2:

Magma(M,f) $:\Leftrightarrow$ Menge(M) $\land$ zweistellige_innere_Verknüpfung(f)

In Worten: Ein Magma ist eine Menge M zusammen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung.

Verwendungsbeispiel:

$X\in Magma$ : X ist ein Magma.

$X\in Magma(M,f)$ : X ist ein Magma mit einer passenden Menge M und Verknüpfung f.

Aussagen

$X\in Aussage(*)$ bedeutet: X ist eine (logisch korrekt gebildete ) Aussage mit einer Variablen.

Beispiel: X(5) bedeutet dann: die Aussage X trifft auf die Zahl 5 zu.

A1. Aussagenlogik

Definitionen

Überschrift fehlt noch

Aussage

Siehe Wikipedia 'Aussage (Logik)'

CB.A1.1 Begriffliche Definition: Aussage := sprachlicher/schriftlicher Ausdruck der sinnvoll/entscheidbar wahr oder falsch sein kann.

Aussage(*) := Aussage mit einer Variablen

Aussage(*,*) := Aussage mit zwei Variablen

...

M1. Mengen

Mengendefinitionen

Menge

Klasse

Siehe Wikipedia 'Klasse (Mengenlehre)'

CB.K1.1 Begriffliche Definition: Klasse(A) := $\{x\mid A(x)\}mitA\in Aussage(*)$

In Worten: Eine Klasse (für eine Aussage A mit einer Variablen) sind alle Objekte x, die die Aussage erfüllen.

Menge

Siehe w:Menge_(Mathematik)

CB.M1.1 Begriffliche Definition: Menge := geeignete Zusammenfassung von Objekten (Nicht alle Zusammenfassungen sind als Mengen geeignet.)

CB.M1.2 Satz: $M\in Menge\Rightarrow M\in Klasse$

In Worten: Jede Menge ist eine Klasse.

Induktion

Induktive Mengen

CB.M1.2 Begriffliche Definition: Induktive Mengen Gegeben sei

eine Basismenge B (mit Basiselementen)
Induktionsregeln die angegeben wie aus bestehenden Elementen neue gewinnen kann.

Die daraus induktiv definierte Menge ist die kleinste Menge, die B enthält und abgeschlossen bezüglich der Induktionsregeln ist (die alle mit den Induktionsregeln erzeugbaren Elemente enthält) .

CB.M1.3 Beweismethode: Induktiver Beweis/Strukturelle Induktion

Gegeben sei