Benutzer:Diamond-Warrior/ Testbuch

Vorwort

Dieses Manuskript stellt eine kurze Einführung in die Maßtheorie dar und wendet sich vor allem an Nicht-Mathematiker. Es werden die grundlegenden Entwicklungen und Erkenntnisse der Maßtheorie, insbesondere im Hinblick auf die Verwendung im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie vorgestellt und anhand von Beispielen erläutert. Diese Arbeit ist sicher nicht so tiefgründig wie Standard-Literatur zu diesem Thema, die sich zumeist an Studenten der Mathematik richtet und beschäftigt sich auch nicht mit allen Aspekten der Maßtheorie, die sich beispielsweise auf Wikipedia finden lassen. Stattdessen erfolgt eine strukturierte Aufarbeitung der Grundlagen des Themas, bei der die didaktische Darstellung und die angesprochene Zielgruppe im Fokus stehen. Auf Beweise wird daher größtenteils verzichtet.

Die Gliederung orientiert sich an einer dem Autor sinnvoll erscheinenden Struktur, die in Teilen von der Aufarbeitung des Thmas in der gängigen Literatur abweichen kann. Wer sich eingehender mit dem Thema beschäftigen möchte, dem seien die im Anhang genannten Standardwerke empfohlen. Diese mögen an vielen Stellen eine sauberere und elegantere Darstellung bieten, sind aber mathematisch anspruchsvoller als das vorliegende Dokument. Ihre Lektüre ist daher nicht nur zeitaufwändiger, sondern erfodert auch ein höheres mathematisches Hintergrundwissen.

Zu einem Großteil der hier vorgestellten Begriffe, Sätze und Zusammenhänge lassen sich auch bei Wikipedia umfangreiche Informationen finden. Im Unterschied zu den Einzel-Artikeln greift das vorliegende Manuskript alledings die Wikibooks Idee auf, in dem das gesicherte Wissen in einer dem Autor didaktisch sinnvoll erscheinenden Art und Weise präsentiert wird. Zur weiteren Vertiefung wird an den passenden Stellen auf die jeweiligen Artikel von Wikipedia verwiesen.

Mengenlehre

Zum Verständnis der Maßtheorie sind Kenntnisse der Mengenlehre notwendig. Daher sollen im Folgenden die wichtigsten Erkenntnisse, Namenskonventionen und Rechenregeln der Mengenlehre kurz dargestellt werden.

Eine Menge zeichnet sich dadurch aus, dass sie aus mehreren Elementen besteht. Die einzige Menge, bei der dies nicht der Fall ist, ist die sogenannte leere Menge, die auch als $\emptyset$ bezeichnet wird. Bei den Elementen einer Menge muss es sich nicht notwendigerweise um Zahlen oder mathematische Objekte handeln, sondern genauso gut auch um Wörter oder sonstige Objekte. Die mathematische Notation einer Menge $A$ erfolgt durch Darstellung der einzelnen Elemente innerhalb einer geschweiften Klammer:

A={a,b,c}

und dementsprechend ergibt sich für die leere Menge $\emptyset =${}. Die Schreibweise $a\in A$ besagt, dass a ein Element der Menge A ist.

Grundlegende Mengen-Operationen

Mengen lassen sich vereinigen und schneiden. Die Vereinigung zweier Mengen ergibt eine Menge, die alle Elemente der beiden ursprünglichen Mengen als Elemente enthält. Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B wird durch $A\cup B$ symbolisiert.

Beispiel: Sei A={a,b,c} und B={x,y,z}, dann ist A $\cup$ B={a,b,c,x,y,z}.

Ein weiteres Beispiel verdeutlicht, dass es sich bei der Vereinigung von Mengen nicht um ein reines Kumulieren der Elemente der einzelnen Mengen handelt.

Beispiel: Sei A={a,b,c} und B={c,d,e}, dann ist A $\cup$ B={a,b,c,d,e}.

Der Schnitt zweier Mengen A und B ist die Menge, die genau alle Elemente enthält, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B enthalten sind. Diese Menge wird auch Schnittmenge genannt und als $A\cap B$ bezeichnet.

Fortsetzung des vorherigen Beispiels: Sei A={a,b,c} und B={c,d,e}, dann ist A $\cap$ B={c}.

In diesem Fall besteht die Menge also nur aus einem Element. Der Schnitt zweier Mengen, die in keinem ihrer Elemente übereinstimmen ergibt dementsprechend die leere Menge $\emptyset$.

De Morgansche Regeln:

Mengensysteme

Unter einem Mengensystem kann man sich eine Menge vorstellen, deren Elemente selbst wiederum Mengen sind. Ein wichtiges Mengensystem ist die Potenzmenge. Die Potenzmenge $2^{\Omega }$ einer Grundmenge $\Omega$ enthält alle Teilmengen als Elemente, die sich aus den Elementen der Menge $\Omega$ erzeugen lassen.

Beispiel: Sei $\Omega$={a,b,c}. Dann ist $2^{\Omega }$={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}, wobei {a}, {a,b} etc. jeweils Teilmengen von $\Omega$ sind.

Die Bezeichnung der Potenzmenge von $\Omega$ mit $2^{\Omega }$ rührt daher, dass sich die Anzahl der Elemente der Potenzmenge mit jedem zusätzlichen Element, das in der Menge $\Omega$ enthalten ist verdoppelt. Dies lässt sich anhand obigen Beispiels wie folgt veranschaulichen: Wird der Menge $\Omega$ ein Element d hinzugefügt, so enthält die Potenzmenge alle Teilmengen, die bereits in der ursprünglichen Potenzmenge enthalten waren und außerdem alle Teilmengen, die sich aus den ursprünglich in der Potenzmenge enthaltenen Teilmengen ergeben, wenn diesen das zusätzliche Element d hinzugefügt wird.

$\sigma$-Algebra

Ein Mengensystem ${\mathcal {A}}$, welches die Eigenschaften

• $\Omega \in {\mathcal {A}}$
• gilt $A\in {\mathcal {A}}$ für eine beliebige Menge A, so gilt auch $\Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}$, das heißt das Komplement einer Menge, die in ${\mathcal {A}}$ enthalten ist, ist ebenfalls in ${\mathcal {A}}$ enthalten
• für alle Mengen $A_{i}\in {\mathcal {A}}$ mit $i\in \mathbb {N}$ folgt $\cup _{i}A_{i}\in {\mathcal {A}}$

erfüllt, wird als $\sigma$-Algebra bezeichnet. Man spricht in diesem Fall auch von einer $\sigma$-Algebra in $\Omega$.

Aus den ersten beiden Eigenschaften folgt sofort, dass auch die leere Menge $\emptyset$ in jeder $\sigma$-Algebra enthalten ist. Mittels der De Morganschen Gesetze und der letzten beiden Eigenschaften lässt sich zudem zeigen, dass nicht nur die Vereinigung beliebig vieler Mengen aus einer $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ in ${\mathcal {A}}$ enthalten ist, sondern dass auch der Schnitt beliebig vieler Mengen aus ${\mathcal {A}}$ ebenfalls in ${\mathcal {A}}$ enthalten ist.

Mengensysteme, bei denen es sich um eine $\sigma$-Algebra handelt, spielen in der Maßtheorie eine große Rolle, wie wir später noch sehen werden. Dies liegt an den aufgeführten Eigenschaften der $\sigma$-Algebra, nach denen Mengen, die durch Mengenoperationen wie Komplentbildung, Vereinigung und Schnitt aus den Teilmengen einer $\sigma$-Algebra hervorgehen ebenfalls Elemente der $\sigma$-Algebra sind. Diese Tatsache machen sich viele Beweise zu Nutzen.

Messbare Menge (Definition)

• Eine Menge A wird als messbar bezüglich einer $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ bezeichnet, wenn $A\in {\mathcal {A}}$ gilt.

Erzeuger

Ein Mengensystem ${\mathcal {T}}$ heißt Erzeuger der $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}'$, wenn ${\mathcal {A}}'$ anschaulich gesprochen die kleinste in der Potenzmenge $2^{\Omega }$ enthaltene $\sigma$-Algebra ist, die ${\mathcal {T}}$ enthält, wenn es also keine andere $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ gibt, für die ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}'$ und ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {A}}$ gilt. Mathematisch formuliert ergibt sich die $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}'$ zu einem Erzeugendensystem ${\mathcal {T}}$ durch Bildung des Schnitts über alle $\sigma$-Algebren die das Erzeugendensystem erhalten:

${\mathcal {A}}'=\bigcap \{{\mathcal {A}}\subset 2^{\Omega }$ ist $\sigma$-Algebra $\mid {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {A}}\}$

Die von einem Mengensystem ${\mathcal {T}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}'$ wird auch als $\sigma ({\mathcal {T}})$ bezeichnet. In vielen Fällen lässt sich eine $\sigma$-Algebra durch Angabe des Erzeugendensystems wesentlich eleganter und kürzer definieren, als beispielsweise durch Angabe aller einzelnen enthaltenen Teilmengen.

Herleitung des Maß-Begriffes

Die Maßtheorie beschäftigt sich mit der Frage, wie sich beliebige Arten von Mengen, genauer gesagt deren Inhalt, Umfang oder Volumen messen lassen. Die Messung sollte zum Einen mit den gängigen aus der Physik bekannten Messmethoden für Länge, Fläche oder Volumen konsistent sein und gleichzeitig auf einer sauberen mathematischen Definition aufbauen. Wie wir sehen werden ist ein Maß eine Abbildung, die diese Anforderungen erfüllt. Zum Verständnis und zur Herleitung ist es allerdings wichtig, sich zunächst mit Abbildungen zu befassen, die auch als äußeres Maß bezeichnet werden.

Äußeres Maß (Definition)

Eine Abbildung $\eta :2^{\Omega }\rightarrow [0,\infty ]$ wird für $\Omega \neq \emptyset$ als äußeres Maß bezeichnet, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

• $\eta (\emptyset )=0$

• Ist $A\subseteq B$, so folgt $\eta (A)\leq \eta (B)$, diese Eigenschaft wird auch als Monotonie bezeichnet.

• $\eta \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\eta (A_{i})$, diese Eigenschaft wird auch als $\sigma$-Subadditivität bezeichnet.

Messbarkeit bezüglich eines äußeren Maßes (Definition)

Eine Menge $A\subseteq \Omega$ wird als messbar bezüglich eines äußeren Maßes $\eta$ bezeichnet, falls für alle Mengen $B\in 2^{\Omega }$ die Beziehung

$\eta (B)=\eta (B\cap A)+\eta (B\setminus A)$

erfüllt ist. Da die Mengen $B\cup A$ und $B\setminus A$ offensichtlich disjunkt sind erscheint es trivial, dass sich die Summe ihrer äußeren Maße zum äußeren Maß der Vereinigung der beiden Mengen addiert (es ist $B=(B\cap A)\cup (B\setminus A)$). Anhand der Definition des äußeren Maßes erschließt sich diese Eigenschaft aber nicht, da dort ein äußeres Maß nur die Eigenschaft der $\sigma$-Subadditivität besitzen muss. Die oben angegebene Gleichung erfüllt natürlich die Eigenschaft der $\sigma$-Subadditivität, allerdings kann es eben auch vorkommen, dass Mengen A' existieren, so dass für eine Menge $B\in 2^{\Omega }$

$\eta (B)<\eta (B\cap A')+\eta (B\setminus A')$

gilt. Diese Beziehung wäre zwar nachwievor mit der $\sigma$-Subadditivität des äußeren Maßes $\eta$ verträglich, A' wäre in diesem Fall aber nicht messbar bezüglich des äußeren Maßes $\eta$.

Maß (Definition)

Sei $\mu :{\mathcal {A}}\rightarrow [0,\infty ]$ eine Abbildung und ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra in $\Omega \neq \emptyset$. Dann wird $\mu$ als Maß bezeichnet, wenn die Abbildung folgende Eigenschaften erfüllt:

• $\mu (\emptyset )=0$

• Ist $A_{n},n\in \mathbb {N}$eine Folge paarweise disjunkter Mengen, so gilt $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$. Diese Eigenschaft wird auch als $\sigma$-Additivität bezeichnet.

In manchen Definitionen eines Maßes wird als Zielmenge auch $\mathbb {R}$ angegeben. In diesem Fall ergibt sich als dritte Forderung, dass $\mu (A)\geq 0$ für alle Mengen $A\in {\mathcal {A}}$ gilt.

Die wesentlichen Unterschiede zwischen einem Maß und einem äußeren Maß sind zum Einen der Definitionsbereich. Das äußere Maß besitzt immer die Potenzmenge $2^{\Omega }$ als Definitionsbereich, während ein Maß eine beliebige $\sigma$-Algebra auf $\Omega$ als Definitionsbereich haben kann, wozu natürlich auch die Potenzmenge von $\Omega$ zählen kann. Der zweite wesentliche Unterschied ist die $\sigma$-Additivität von Maßen. Aus dieser folgt sofort, dass Maße auch die Eigenschaft der $\sigma$-Subadditivität besitzen. Ebenfalls folgt aus der $\sigma$-Additivität und den Eigenschaften einer $\sigma$-Algebra sofort die Eigenschaft der Monotonie.

Maße besitzen also nicht nur die Eigenschaft der $\sigma$-Additivität, sondern sind außerdem auch monoton und $\sigma$-subadditiv. Hieraus folgt, dass ein Maß, welches auf der Potenzmenge $2^{\Omega }$ definiert ist ein äußeres Maß ist.

Anders herum lässt sich ein Maß aus einem gegebenen äußeren Maß $\eta$ herleiten, indem der Definitionsbereich des äußeren Maßes von der Potenzmenge $2^{\Omega }$ auf das Mengensystem ${\mathcal {A}}_{\eta }$ der bezüglich des äußeren Maßes $\eta$ messbaren Mengen reduziert wird. Da man zeigen kann, dass das Mengensystem ${\mathcal {A}}_{\eta }$ eine $\sigma$-Algebra ist, wenn $\eta$ ein äußeres Maß ist folgt sofort, dass die Abbildung $\eta |_{{\mathcal {A}}_{\eta }}:{\mathcal {A}}_{\eta }\rightarrow [0,\infty ]$, die auf ${\mathcal {A}}_{\eta }$ mit $\eta$ übereinstimmen möge, ein Maß ist: Da die $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}_{\eta }$ nur Mengen enthält, die messbar bezüglich des äußeren Maßes $\eta$ sind, ist die an ein Maß gestellte Forderung der Additivität für jedes Paar von in ${\mathcal {A}}_{\eta }$ enthaltener Mengen A und B erfüllt, denn

$\eta (B)=\eta (B=(B\cap A)\cup (B\setminus A))=\eta (B\cap A)+\eta (B\setminus A)$

war ja gerade die Definition dafür, dass die Menge A messbar bezüglich $\eta$ ist. Man kann nun zeigen, dass diese Bedingung auch für die Vereinigung unendlich vieler Mengen gilt, dass somit auch die Forderung der $\sigma$-Additivität erfüllt ist und $\eta |_{{\mathcal {A}}_{\eta }}$ somit also tatsächlich ein Maß ist.

Weitere Eigenschaften eines Maßes

Ein Maß weist die Eigenschaften der sogenannten Stetigkeit von oben und der Stetigkeit von unten auf, die wie folgt definiert sind:

Stetigkeit von oben

Sei $\mu$ ein Maß auf der $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$. Sei $A_{n},n\in \mathbb {N}$ eine Folge von Mengen mit $A_{i}\subseteq A_{j}$ für $i\geq j,i,j\in \mathbb {N}$ und $\mu (A_{1})<\infty$. $A_{n}$ ist also eine Folge von Mengen, bei der jedes Folgenglied (also eine der Mengen $A_{n}$ im vorherigen Folgenglied (genauer gesagt in der Menge, die das vorherige Folgenglied ist) enthalten ist und das Maß der ersten in der Folge enthaltenen Menge $A_{1}$ ist endlich, womit auch alle weiteren in der Folge enthaltenen Mengen endlich sind. Wenn der Durchschnitt aller Folgenglieder zu ${\mathcal {A}}$ gehört, also $\cap _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$, dann gilt

$\mu \left(\bigcap _{i\in N}A_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})$.

Das Maß des Durchschnitts einer Folge von immer kleiner werdenden ineinander "verschachtelten" Mengen entspricht also dem Maß der Menge, die sich als Grenzwert der Folge für $i\rightarrow \infty$ ergibt.

Stetigkeit von unten

Sei $\mu$ ein Maß auf der $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$. Sei $A_{n},n\in \mathbb {N}$ eine Folge von Mengen mit $A_{i}\supseteq A_{j}$ für $i\geq j,i,j\in \mathbb {N}$. $A_{n}$ ist also eine Folge von Mengen, bei der jedes Folgenglied (also eine der Mengen $A_{n}$ das vorherige Folgenglied (genauer gesagt die Menge, die das vorherige Folgenglied ist) enthält. Wenn die Vereinigung aller Folgenglieder zu ${\mathcal {A}}$ gehört, also $\cup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$, dann gilt

$\mu \left(\bigcup _{i\in N}A_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mu (A_{i})$.

Das Maß der Vereinigung einer Folge von immer größer werdenden "übereinander liegenden" Mengen entspricht also dem Maß der Menge, die sich als Grenzwert der Folge für $i\rightarrow \infty$ ergibt.

Interpretation

Ein Maß, das in der oben dargestellten Weise definiert ist, ist anschaulich gesprochen eine Abbildung (oder auch Funktion), die einer beliebigen in einer $\sigma$-Algebra enthaltenen Menge eine nicht-negative reelle Zahl oder unendlich zuordnet. Der Funktionswert der "Maß-Funktion" kann als "Größen-Messung" der Menge interpretiert werden. Ein Maß erfüllt alle Anforderungen, die man anhand der in der realen Welt gemachten Beobachtungen an eine derartige Messung stellt: Das Maß einer Menge ist stets positiv (eine Ausnahme stellt das sogenannte signierte Maß dar, auf das allerdings an dieser Stelle nicht weiter eingeganten werden soll) und das Maß zweier nicht überlappender (also disjunkter) Mengen entspricht der Summe der Maße der beiden einzelnen Mengen (Eigenschaft der Additivität).

Wir haben uns dem Maßbegriff hier auf eine etwas abstrakte Weise über den Begriff des äußeren Maßes genähert. Das äußere Maß erfüllt nicht die Anforderungen, die man intuitiv an eine Mengen-Messung stellt, weil die Eigenschaft der Addivität nicht zwingend gefordert wird. Wenn man den Definitionsbereich des äußeren Maßes auf alle Mengen beschränkt, für die das äußere Maß additiv ist (das sind genau die Mengen, die messbar bezüglich des äußeren Maßes sind) lässt sich wie bereits erwähnt zeigen, dass es sich beim "neuen" Definitionsbereich um eine $\sigma$-Algebra handelt und das äußere Maß auf diesem Definitionsbereich zu einem Maß wird.

Eine zweite mögliche Herangehensweise zur Einführung des Maß-Begriffes ist mittels des Inhalts-Begriffes möglich und soll an dieser Stelle kurz umrissen werden: Ein Inhalt ist ähnlich wie ein Maß definiert, erfüllt allerdings statt der Forderung der $\sigma$-Additivität nur die Forderung der endlichen Additivität (die Summe bzw. Vereinigungs-Menge in der Gleichung ist jeweils endlich). Der zweite Unterschied zu einem Maß ist, dass ein Inhalt anstatt auf einer $\sigma$-Algebra auf einem Halbring definiert ist. Ein Inhalt, der die Eigenschaft der $\sigma$-Additivität aufweist wird als Prämaß bezeichnet. Ein Maß unterscheidet sich demnach von einem Prämaß durch den Definitionsbereich. Dieser ist bei einem Prämaß ein Halbring und bei einem Maß eine $\sigma$-Algebra.

Weitere Definitionen

• Als Messraum wird die Kombination aus $\Omega$ und einer $\sigma$-Algebra, die $\Omega$ enthält bezeichnet.
• Ist $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ ein Messraum, dann werden alle Mengen $A\in {\mathcal {A}}$ als messbare Mengen bezeichnet (man spricht in diesem Fall auch von ${\mathcal {A}}$-messbaren Mengen).
• Ist $\mu :{\mathcal {A}}\rightarrow [0,\infty ]$ ein Maß und ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra in $\Omega$, dann wird das Tripel $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ als Maßraum bezeichnet
• Ein auf einem Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ definiertes Maß $\mu$ wird als endliches Maß bezeichnet, wenn $\mu (\Omega )<\infty$ gilt.
• Als Nullmenge bezeichnet man eine Menge vom Maß 0. Ist also $\mu$ ein Maß und A eine Menge mit $\mu (A)=0$, so wird A als Nullmenge (bzw. in diesem Fall auch als $\mu$-Nullmenge) bezeichnet.
• Eine Aussage gilt innerhalb eines Maßraums fast überall, falls die Aussage auf allen Mengen eines Maßraumes mit einem Maß größer 0 gilt, wenn die Aussage also auf allen Mengen des Maßraums mit Ausnahme etwaiger Nullmengen gilt.
• Ein Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ wird als vollständiger Maßraum bezeichnet, wenn jede Teilmenge aller in ${\mathcal {A}}$ enthaltenen $\mu$-Nullmengen ebenfalls in ${\mathcal {A}}$ enthalten ist. In diesem Fall wird das Maß $\mu$ als vollständiges Maß bezeichnet und die Teilmengen der $\mu$-Nullmengen sind aufgrund der Monotonie des Maßes $\mu$ ebenfalls $\mu$-Nullmengen.

Integration messbarer Funktionen

Vergleich mit dem Riemann-Integral

In diesem Abschnitt wird das in den vorigen Abschnitten vorgestellte Lebesgue-Integral mit dem aus der Differential- und Integralrechnung der Analysis bekannten Riemann-Integral verglichen.

Anhang

Weiterführende Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17904-4.