Benutzer:Dirk Hünniger/for 9 7

H1:

Sei $a_{n}$ eine Folge und $s$ das Supremum von $a_{n}$, dann gibt es für jedes $\epsilon >0$ ein Folgenglied $a_{k}$ mit $a_{k}>s-\epsilon$

Bew:

Andernfalls würde für jedes Folgenglied $a_{k}$ gelten $a_{k}\leq s-\epsilon$, dann wäre aber $s-\epsilon$ eine obere Schranke von $a_{n}$, somit wäre $s$ nicht die kleinste obere Schranke und somit kein Supremum.

q.e.d.

Sei $a_{n}$ eine Folge. Diese konvergiere gegen $a\in \mathbb {R}$. Sei ferner $b:=\limsup _{n\rightarrow \infty }a_{n}$. Wir wollen zeigen dass $a=b$ gilt. Dies machen wir mit einem Widerspruchsbeweis.

Fall 1) Es gelte $a>b$. Da $a_{n}$ gegen $a$ konvergiert gibt es ein $N\in \mathbb {N}$ so dass für alle $n\geq N$ gilt:

$\left|a_{n}-a\right|<{\frac {\left|a-b\right|}{8}}$

Fall 1.1) Sei $a_{n}>a$. Dann gilt auch $a_{n}>a-{\frac {a-b}{8}}$.

Fall 1.2) Sei $a_{n}<a$. Dann gilt:

$a-a_{n}<{\frac {a-b}{8}}$

$a-{\frac {a-b}{8}}<a_{n}$

Fall 1.3) Sei $a_{n}=a$. Dann gilt auch $a_{n}>a-{\frac {a-b}{8}}$.

In jedem der drei Fälle also $a-{\frac {a-b}{8}}<a_{n}$. Nach Definition ist jedoch

$\limsup _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup \left\{a_{k}:k\geq n\right\}\right)$.

Für alle $n\geq N$ ist daher

$\left|b-\sup \left\{a_{k}:k\geq n\right\}\right|<{\frac {a-b}{8}}$

also

$\sup \left\{a_{k}:k\geq n\right\}<b+{\frac {a-b}{8}}$

Es gibt also ein $a_{n}$ mit $b+{\frac {a-b}{8}}>a_{n}>a-{\frac {a-b}{8}}$. Also ist:

${\frac {a-b}{4}}>a-b$. Dies ist ein Widerspruch q.e.d.