Benutzer:Dirk Huenniger/theophys

Einleitung

Ich nehme mir das Skript Quantenfeldtheorie von der Webseite des Physikzentrums der RWTH-Aachen und versuche Lösungen auf die Übungsaufgaben zu finden.

Zettel 2

Aufgabe 1

Wir betrachten eine Abbildung aus dem Minkowski 4-Vektorraum in den Raum der komplexen $2\times 2$ Matrizen. Sei $x_{i}$ ein 4 Vektor. Dann ist die zugehörige Matrix.

$A=\sigma _{i}x_{i}$

wobei $\sigma _{i}$ die Pauli Matritzen bezeichnen, wobei sich $\sigma _{0}$ als Einheitsmatrix versteht. Gesucht sind nun zwei unabhängig Drehimpulsoperatoren für Spin 1/2 auf den Raum der aus allen Matrizen A der oben angegeben Form besteht. Ferner benötigen wir ein Skalarprodukt auf diesem Vektoraum. Wir vermuten das wir durch

$\langle A,B\rangle :=A_{ij}B_{ji}$

ein passendes gefunden haben. Bilinearität ist klar. Da die betrachteten Matrizen hermetisch sind gilt:

$\langle A,A\rangle :=A_{ij}A_{ji}=A_{ij}{\overline {A_{ij}}}>0$

wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bezeichnet. Ferner ist

$\langle B,A\rangle :=B_{ij}A_{ji}=A_{ji}B_{ij}=A_{ij}B_{ji}$

Womit auf die Symmetrie geklärt ist. Wir habe also in der Tat ein Skalarprodukt definiert.

Es sei:

$S_{k}:={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{k}$

Wir setzen

${\begin{matrix}\psi _{k}A&:=&S_{k}A\\\phi _{k}A&:=&AS_{k}\end{matrix}}$

Wir hoffen so zwei Sätze von je 3 Spin 1/2 Drehimpulsoperatoren erhalten zu haben. Hierzu muss gelten

${\begin{matrix}\left[\psi _{i},\phi _{j}\right]&=&0\\\left[\psi _{i},\psi _{j}\right]&=&i\hbar \epsilon _{ijk}\psi _{k}\\\left[\phi _{i},\phi _{j}\right]&=&i\hbar \epsilon _{ijk}\phi _{k}\end{matrix}}$

Die erste Gleichung ist wegen der Assoziativität der Matrixmultiplikation trivialerweise erfüllt. Da die $S_{k}$ die Drehimpulsalgebra erfüllen ist die zweite Gleichung ebenfalls klar. Für die dritte Gleichung berechnen wir:

$\left[\phi _{i},\phi _{j}\right]A=AS_{i}S_{j}-AS_{j}S_{i}=A[S_{i},S_{j}]=Ai\hbar \epsilon _{ijk}S_{k}=i\hbar \epsilon _{ijk}\phi _{k}A$

Womit auch dieser Fall geklärt ist. Die Definierten Operatoren sind also in der Tat kommutierende Drehimpulse. Es wäre noch zu prüfen ob diese auch zum Spin einhalb gehören. Die ist jedoch wegen der Verwendung der Pauli Matrizen sehr stark zu erwarten, weshalb wir dies nicht näher untersuchen.

Wir haben somit das Problem auf die addition der Drehimpulse von 2 Spin einhalb Teilchen reduziert. Es ergibt sich ein Spin 0 Zustand sowie 3 Spin 1 Zustände. Die Details der Rechnung können zum Beispiel im Buch Quantenmechanik von Schwabl nachgelesen werden. Um die ergebisse von dort verwenden zu können müsse wir noch die Eigenvektoren zu $\psi _{3}$ und $\phi _{3}$ finden. Also:

$\pm {\frac {1}{2}}\hbar \left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)={\frac {1}{2}}\hbar \left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)$

$\pm \left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)={\frac {1}{2}}\hbar \left({\begin{matrix}a&b\\-c&-d\end{matrix}}\right)$

Wir haben also die Lösungen:

$\left({\begin{matrix}a&b\\0&0\end{matrix}}\right)$

und

$\left({\begin{matrix}0&0\\c&d\end{matrix}}\right)$

Die Rechnung für $\phi$ ist analog.

$\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a&-b\\c&-d\end{matrix}}\right)$

Sollen die Zustände bezüglich des Skalarprodukts die Länge Eins haben so wird die Lösung eindeutig.

${\begin{matrix}|\uparrow \uparrow \rangle &=&\left({\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}}\right)\\|\uparrow \downarrow \rangle &=&\left({\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}}\right)\\|\downarrow \uparrow \rangle &=&\left({\begin{matrix}0&0\\1&0\end{matrix}}\right)\\|\downarrow \downarrow \rangle &=&\left({\begin{matrix}0&0\\0&1\end{matrix}}\right)\end{matrix}}$

Verwenden wir nun die Lösungen aus Schwabl so haben wir:

${\begin{matrix}|1,1\rangle &=&\left({\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}}\right)={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{0}+\sigma _{3}\right)\\|1,0\rangle &=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\sigma _{1}\right)\\|1,-1\rangle &=&\left({\begin{matrix}0&0\\0&1\end{matrix}}\right)=-{\frac {1}{2}}\left(\sigma _{0}-\sigma _{3}\right)\\|0,0\rangle &=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\right)\end{matrix}}$

Beim Spin 0 Zustand fügen wir eine komplexe Phase ein damit er aus den Paulimatizen linear kombiniert werden kann.

$|0,0\rangle =i{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\right)=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{2}$

Die scheint ungefärhlich da Quantenmechanische Zustände meist eindeutig bis auf Phase sind. Dies induziert offenbar eine Zerlegung des Mikowski Raumes.

Aufgabe 2

Wir betrachten die Proca-Gleichungen

${\begin{matrix}-\partial ^{\mu }A^{\nu }+\partial ^{\nu }A^{\mu }-mF^{\mu \nu }&=&0\\\partial _{\mu }F^{\mu \nu }-mA^{\nu }&=&0\end{matrix}}$

Wir betrachten die erste Feldgleichung und führen eine Umbenennung der Indizes aus:

$-\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial ^{\mu }A^{\nu }-mF^{\nu \mu }=0$

Diese addieren wir zu Ursprünglichen ersten Feldgleichung und erhalten:

$-mF^{\mu \nu }-mF^{\nu \mu }=0$

Demnach welchselt $F^{\mu \nu }$ unter index vertauschung sein Vorzeichen.

Wir leiten die zweite Feldgleichung ab und erhalten.

$\partial _{\nu }\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=m\partial _{\nu }A^{\nu }$

Die linke Seite geht unter Umbenennung der Indizes in ihr negatives über, damit ist sie 0. Also

$0=\partial _{\nu }A^{\nu }$

Aus den Feldgleichungen erhalten wir:

${\begin{matrix}-\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }+\partial _{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial _{\mu }mF^{\mu \nu }&=&0\\-\partial _{\mu }F^{\mu \nu }&=&-mA^{\nu }\end{matrix}}$

Einsetzen der unteren Gleichung in die obere liefert.

$-\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }+\partial ^{\nu }\partial _{\mu }A^{\mu }-m^{2}A^{\nu }=0$

Mit $0=\partial _{\nu }A^{\nu }$ sieht man sofort:

$-\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-m^{2}A^{\nu }=0$

Dies ist die Klein Gordon Gleichung. Damit ist das Problem gelöst. Die Gleichungen entsprechen bis auf m dem Maxwell Viererpotential. Damit denkt man natürlich sofort daran das Photonen eine Ruhemasse von 0 haben. Weitere Untersuchungen hierzu führen wir jedoch nicht durch.