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Das Integral ist neben der Ableitung eines der wichtigsten Konzepte der Analysis. Es handelt sich um eine Art Umkehrung der Differentialrechnung. Mit ihr es möglich viele interessante Fragestellungen aus der Flächenberechnung und der Physik zu beantworten.

Wir wollen in diesem Kapitel eine anschauliche Vorstellung des Integrals einführen, bevor wir im nächsten Kapitel diese mittels des Riemannintegrals präzisieren.

Definition als Fläche unter dem Graphen

Möglicherweise kennst du bereits die Vorstellung, dass das Integral einer Funktion gleich dem orientiertem Flächeninhalt unter dem Graphen dieser Funktion ist. So entspricht in der folgenden Abbildung das Integral $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ der positiven und stetigen Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ dem Inhalt der grauen Fläche, die nach oben durch den Funktionsgraphen, nach unten durch die $x$-Achse, nach links und rechts durch die Senkrechten $x=a$ und $x=b$ begrenzt wird:

Das Integral entspricht der Fläche unter dem Graphen

In dieser Vorstellung ist die Betonung auf dem orientiertem Flächeninhalt wichtig. „Orientiert“ bedeutet hier, dass Flächeninhalte, die unter der $x$-Achse liegen (wo die Funktion negative Funktionswerte annimmt), negativ zum Flächeninhalt beitragen. Unterhalb der $x$-Achse liegende Flächeninhalt werden negativ gezählt. In der folgenden Abbildung entspricht das Integral $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ der Differenz zwischen der blauen Fläche minus der gelben Fläche:

Flächeninhalte unter der x-Achse tragen negativ zum orientiertem Flächeninhalt bei

Während also in der Geometrie der Inhalt einer Fläche immer positiv ist, kann das Integral als orientierte Fläche auch negativ werden (wenn die Funktion beispielsweise nur negative Funktionswerte besitzt).

Wir können also das Integral $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ definieren:

Definition (Integral als Fläche unter dem Graphen)

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=$ „Orientierte Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse“

Definition über Stammfunktion

Wir betrachten nun eine andere Vorstellung vom Integral: Sei $f$ eine stetige Funktion und $F$ eine Stammfunktion von $f$. Eine Stammfunktion von $f$ ist dabei eine Funktion, deren Ableitung gleich $f$ ist. Für Stammfunktionen $F$ von $f$ gilt also $F'(x)=f(x)$ für alle Argumente $x$ aus dem Definitionsbereich von $f$. Wenn nun $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann können wir definieren:

Definition (Integral über Stammfunktion)

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=F(b)-F(a)$

Das Integral $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ ist damit gleich der Veränderung $F(b)-F(a)$ der Stammfunktion zwischen den Argumenten $a$ und $b$. Diese Vorstellung ist wichtig, da so Integrale ausgerechnet werden können.

Probleme mit der Definition

Die Definitionen im vorangegangen Abschnitt sind anschaulich, sind jedoch zu unexakt. Sie eignen sich nicht dafür, Beweise zu führen und Eigenschaften des Integrals nachzuweisen. Aus diesem Grund wird im Mathematikstudium das Riemannintegral eingeführt, mit dem eine mathematisch präzise Defintion für den Ausdruck $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ bestimmt wird. Mit dieser Definition ist es dann vergleichsweise einfach, die charakteristischen Eigenschaften von Integralen exakt herzuleiten.