Benutzer:Jürgen-Michael Glubrecht/Klassenlogik

Formale Sprache

Definition (Formeln und Terme)

Die Formeln und Terme werden nach folgenden Regeln gebildet:

Jede Aussagenkonstante $\alpha$ ist eine Formel.
Jede Variable $x$ und jede Konstante $C$ ist ein Term.
Sind $A$ und $B$ Terme, so sind $A=B$ und $A\in B$ Formeln.
Sind $\phi$ und $\psi$ Formeln, so sind auch $\top$ , $\bot$ , $\neg \phi$ , $\phi \land \psi$ , $\phi \lor \psi$ , $\phi \rightarrow \psi$ , $\phi \leftrightarrow \psi$ Formeln.
Ist $\phi$ eine Formel und $x$ eine Variable, so sind auch $\forall x\,\phi$ und $\exists x\,\phi$ Formeln.
Ist $\phi$ eine Formel und $x$ eine Variable, so ist $\{x\,|\,\phi \}$ ein Term.

Eine Präbewertung ${\mathcal {J}}$

legt eine Menge ${\mathfrak {O}}$ als Objektbereich und eine nichtleere Teilmenge $\varnothing \neq {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {O}}$ als Individuenbereich fest,
legt eine zweistellige Relation ${\mathsf {E}}\subseteq {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {O}}$ ${\mathsf {E}}\subseteq {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {O}}$ als Elementbeziehung fest, für die gilt:
1. seien $X,Y$ beliebige Objekte aus ${\mathfrak {O}}$ , wenn $z\;{\mathsf {E}}\;X\Longleftrightarrow z\;{\mathsf {E}}\;Y$ für alle $z$ aus ${\mathfrak {B}}$ , dann $X=Y$ ,
2. es gibt ein $X$ aus ${\mathfrak {O}}$ , so dass für alle $z$ aus ${\mathfrak {B}}$ gilt: $z\;{\mathsf {E}}\;X$ ,
ordnet allen Variablen $x$ ein Element aus ${\mathfrak {B}}$ zu,
ordnet allen Konstanten $C$ ein Element aus ${\mathfrak {O}}$ zu,
ordnet allen Aussagenkonstanten $\alpha$ ein Element aus $\{{\mathsf {W}},{\mathsf {F}}\}$ zu,

Wir setzen die Präbewertung wie folgt auf alle Terme und Formeln fort:

${\mathcal {J}}(\{x\,|\,\phi \})={\begin{cases}{\text{das Objekt X aus }}{\mathfrak {O}}{\text{ mit }}\{z\,|\,z\;{\mathsf {E}}\;X\}=\{z\,|\;{\mathcal {J_{c}^{x}}}(\phi )={\mathsf {W}}\},{\text{ wenn ein solches X existiert}}\\{\text{undefiniert, sonst}}\end{cases}}$

Definition (Geordnete Paare)

Seien $A$ und $B$ zwei beliebige Mengen. Dann sei:

\langle A,B\rangle :=\{\{A\},\{A,B\}\}

Definition (Kennzeichnungen)

Seien $A$ und $B$ zwei beliebige Mengen. Dann sei:

{\boldsymbol {\iota }}\phi (x):=\{y\,|\,\exists !x\,\phi (x)\Rightarrow \forall x\,(\phi (x)\Rightarrow y\in x)\}