1.1 Nullmengenaxiom
1.2 Paarmengenaxiom
1.3 Vereinigungsmengenaxiom
1.4 Aussonderungsaxiom
Üblicherweise werden die natürlichen Zahlen
in der Mengenlehre nach John von Neumann wie folgt definiert. Die Idee hinter dieser Definition ist folgende: Die Zahl
soll eine Menge mit
Elementen sein. Da es nur eine Menge ohne Elemente gibt, muss
sein. Für die
benötigen wir eine Menge mit einem Element. Da wir gerade die
definiert haben, nehmen wir diese:
. Dieses Schema lässt sich fortsetzen: um beispielsweise die Zahl
zu definieren, nehmen wir die
Elemente der
– nämlich
– und fügen die
selbst als siebtes Element dazu:
. Also:
2.1 Natürliche Zahlen einzeln
Wir definieren der Reihe nach die einzelnen natürlichen Zahlen wie folgt:
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usw.
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Nach dieser Definition hat die Zahl
gerade
Elemente, nämlich genau alle Vorgänger-Zahlen. Dabei ist der Nachfolger
einer Klasse
wie folgt definiert:
2.2 Nachfolger, Vorgänger
Ist
eine Menge, so ist auch
eine Menge. Das ergibt sich aus dem Paarmengen- und dem Vereinigungsmengen-Axiom. Nach dem Nullmengen-Axiom ist die
eine Menge. Die anderen natürlichen Zahlen sind Nachfolger von Mengen. Also sind alle natürlichen Zahlen Mengen.
Auf diese Weise lässt sich jede einzelne natürliche Zahl definieren. Doch wie definieren wir die Klasse
aller natürlichen Zahlen? Bevor wir uns dieser Frage zuwenden, wollen wir ein paar einfache Sätze über die so definierten natürlichen Zahlen zeigen.
2.3 Transitive Klassen
Es gilt:
2.4 SATZ: Alle natürlichen Zahlen sind transitiv.
Üblicherweise so:
Definition (Natürliche Zahlen)
.
Demnach betrachten wir die Klasse aller Mengen, die
enthalten und gegen die Bildung von Nachfolgern abgeschlossen sind. Solche Klassen heissen induktiv. Da sie die
enthalten, müssen sie auch die
als Nachfolger von
enthalten, weiterhin die
als Nachfolger von
, usw. Also sind alle natürlichen Zahlen Elemente von induktiven Mengen und der Durchschnitt liefert gerade diese. In diesem Sinne ist
die kleinste induktive Menge.
Die Sache hat aber einen Schönheitsfehler: gibt es induktive Mengen? Wenn es nämlich keine induktiven Mengen gibt - sondern allenfalls induktive Klassen - dann ist
und
und
wäre die Allklasse. Das ist aber nicht das Gewünschte, denn
sollte nur die oben definierten natürlichen Zahlen enthalten und keine anderen Mengen, wie beispielsweise
. Wir brauchen daher ein Axiom, das die Existenz von induktiven Mengen gewährleistet. Da induktive Klassen unendlich viele Elemente haben, wird dieses Axiom Unendlichkeitsaxiom genannt.
Unendlichkeitssaxiom
Damit ist sicher gestellt, dass die Klasse
genau die eingangs definierten natürlichen Zahlen enthält! Mit dem Aussonderungsaxiom ist der Durchschnitt über eine nichtleere Klasse eine Menge, also ist
eine Menge.
Definition (Natürliche Zahlen)
Quine betrachtet Mengen, die gegen Vorgängerbildung abgeschlossen sind.
ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn in allen diesen Mengen gilt: wenn sie
enthalten, dann auch
. Natürlich gilt
. Sei nun
. Wir betrachten
und eine beliebige vorgängerabgeschlossene Menge
. Ist
gilt die Implikation ohnehin, also sei
. Dann enthält
auch den Vorgänger
von
. Also gilt
und somit
. Das zeigt
. Somit ist
eine induktive Klasse und enthält alle einzeln definierten natürlichen Zahlen
.
ACHTUNG: Wenn es keine Menge
mit den in der Definition von
geforderten Eigenschaften gibt, wäre
.
Wir zeigen Punkt 4. zum Schluss.
Beweis (Natürliche Zahlen)
- Sei
eine beliebige Menge mit
und
. Dann folgt natürlich
, also gilt
. ✔
- Sei
,
eine beliebige Menge,
und
. Da
ein Vorgänger von
ist und
vorgängerabgeschlossen ist, gilt auch
. Daraus folgt
, also gilt
. ✔
- Da ein Nachfolger immer wenigstens ein Element enthält, ist er nicht leer. Also gilt
. ✔
- ...
- Sei
eine beliebige Klasse,
und
eine beliebige Menge mit
und
. Dann gilt nach Definition von
. Insbesondere gilt das für
. Mit dem Aussonderungsaxiom ist das so definierte
eine Menge! Mit der Prämisse
folgt
. Wäre
folgte
also
↯ denn es gilt ja
. Somit gilt
, also
. Insgesamt also
. ✔