Benutzer:Philipendula/Spielwiese3

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und

Man sieht, dass die arithmetischen Durchschnitte unterschiedlich groß ausfallen. Sie sind also selber Zufallsvariablen. Der Erwartungswert der Normalverteilung ist unbekannt und soll durch den Schätzer geschätzt werden. Meistens wird in der Nähe von liegen.

Wie berechnet man diese „Nähe“? Man kann bezüglich des erhaltenen ein Intervall angeben, das besagt, dass der wahre, aber unbekannte Erwartungswert der Zufallsvariablen X mit einer z.B. 95%igen Wahrscheinlichkeit in diesem Intervall liegt. Man nennt dieses Intervall ein 95%-Konfidenzintervall.

Die Zufallsvariable ist selbst normalverteilt, und zwar mit dem Erwartungswert und der Varianz , hier

.

Wenn wir die Varianz als bekannt annehmen (was eher die Ausnahme ist), können wir ein

ein Zufallsintervall für m herleiten:

,

was dann konkret in unserem Beispiel das so genannte 95%-Intervall ergibt:

wobei 1,96 der Wert der standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist, der zur Wahrscheinlichkeit 0,975 gehört, das 97,5%-Quantil. Wir benötigen ihn für die Berechnung der Quantile von .

Beispielsweise ergibt sich für das erste

Es liegt also der unbekannte Erwartungswert mit einer 95%igen Wahrscheinlichkeit in obigem Intervall, was bei =10 zutreffend ist.

Es ergaben sich hier die Konfidenzintervalle



In der unteren Grafik sind die Intervalle aufgeführt. Man sieht, dass in zwei Fällen der Erwartungswert von X nicht in dem Konfidenzintervall liegt. Hier hätte man also einen Fehlschluss getan. Der Anteil der Fehlschlüsse beträgt 0,05, genannt Signifikanzniveau a. Den Wert 1 - a = 0,95 nennt man den Konfidenzkoeffizienten. a ist also die Wahrscheinlichkeit, dass m nicht im von einem von gebildeten Konfidenzintervall liegt.