Benutzer:Philipendula/Spielwiese3

$=\sum _{t=1}^{T}{t\cdot y_{t}}-T\cdot {\overline {t}}\cdot {\overline {y}}$

$=\sum _{t=1}^{T}{t^{2}}-T\cdot {\overline {t}}^{2}$

$={\dfrac {\sum _{t=1}^{T}{t\cdot y_{t}}-T\cdot {\overline {t}}\cdot {\overline {y}}}{\sum _{t=1}^{T}{t^{2}}-T\cdot {\overline {t}}^{2}}}$

$b={\frac {\sum _{t=1}^{T}(t-{\overline {t}})(y_{t}-{\overline {y}})}{\sum _{t=1}^{T}(t-{\overline {t}})^{2}}}$

$={\frac {\sum _{t=1}^{T}t\cdot y_{t}-T\cdot {\overline {t}}\cdot {\overline {y}}}{\sum _{t=1}^{T}t^{2}-T\cdot {\overline {t}}^{2}}}$

$={\frac {\sum _{t=1}^{T}ty_{t}-{\frac {T(T+1)}{2}}{\overline {y}}}{{\frac {1}{12}}(T^{3}-T)}}$

und

Man sieht, dass die arithmetischen Durchschnitte unterschiedlich groß ausfallen. Sie sind also selber Zufallsvariablen. Der Erwartungswert der Normalverteilung ist unbekannt und soll durch den Schätzer geschätzt werden. Meistens wird ${\bar {x}}$ in der Nähe von $\mu$ liegen.

Wie berechnet man diese „Nähe“? Man kann bezüglich des erhaltenen ein Intervall angeben, das besagt, dass der wahre, aber unbekannte Erwartungswert der Zufallsvariablen X mit einer z.B. 95%igen Wahrscheinlichkeit in diesem Intervall liegt. Man nennt dieses Intervall ein 95%-Konfidenzintervall.

Die Zufallsvariable ist selbst normalverteilt, und zwar mit dem Erwartungswert und der Varianz , hier

.

Wenn wir die Varianz als bekannt annehmen (was eher die Ausnahme ist), können wir ein

ein Zufallsintervall für m herleiten:

,

was dann konkret in unserem Beispiel das so genannte 95%-Intervall ergibt:

wobei 1,96 der Wert der standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist, der zur Wahrscheinlichkeit 0,975 gehört, das 97,5%-Quantil. Wir benötigen ihn für die Berechnung der Quantile von .

Beispielsweise ergibt sich für das erste

Es liegt also der unbekannte Erwartungswert mit einer 95%igen Wahrscheinlichkeit in obigem Intervall, was bei =10 zutreffend ist.

Es ergaben sich hier die Konfidenzintervalle

In der unteren Grafik sind die Intervalle aufgeführt. Man sieht, dass in zwei Fällen der Erwartungswert von X nicht in dem Konfidenzintervall liegt. Hier hätte man also einen Fehlschluss getan. Der Anteil der Fehlschlüsse beträgt 0,05, genannt Signifikanzniveau a. Den Wert 1 - a = 0,95 nennt man den Konfidenzkoeffizienten. a ist also die Wahrscheinlichkeit, dass m nicht im von einem von gebildeten Konfidenzintervall liegt.