Benutzer:Philipendula/indux

Hi, hier eine Kurzfassung:

Die vollständige Induktion wird bei natürlichen Zahlen verwendet, wenn man zeigen will, dass beispielsweise eine Reihe, die eine Funktion von natürlichen Zahlen ist, als Formel dargestellt werden kann. Man geht hier in zwei Schritten vor:

1. Man zeigt, dass die Formel für eine bestimmte natürliche Zahl gilt. Meistens nimmt man 1.

2. Man geht davon aus, dass, wenn die Formel für n gilt, sie auch für n+1 gilt, denn sie soll ja für alle natürlichen Zahlen wahr sein. Also stellt man die Reihe mit n auf und setzt sie mit der Formel gleich. Dann fügt man der linken und rechten Seite den Funktionsteil für n+1 zu und zeigt, dass sich die Formel durch Umformen entsprechend ergibt.

Beispiel:

$3+3^{2}+3^{3}+\cdots +3^{n}={\frac {1}{2}}(3^{n+1}-3)$

bzw. $\sum _{k=1}^{n}3^{k}={\frac {1}{2}}(3^{n+1}-3)$

1. Schritt:

n=1: $3^{1}={\frac {1}{2}}(3^{1+1}-3)=3$

2. Schritt:

$\sum _{k=1}^{n}3^{k}={\frac {1}{2}}(3^{n+1}-3)$

Es müsste dann auch sein:

$\sum _{k=1}^{n+1}3^{k}={\frac {1}{2}}(3^{n+2}-3)$.

Das zeigt man so: Wenn die obige Aussage stimmt, muss wegen der Gleichheit der linken und rechten Seite

$\sum _{k=1}^{n}3^{k}+3^{n+1}={\frac {1}{2}}(3^{n+1}-3)+3^{n+1}$

sein. Die rechte Seite ergibt dann umgeformt

${\frac {1}{2}}(3^{n+1}-3)+3^{n+1}$

$={\frac {1}{2}}3^{n+1}+3^{n+1}-{\frac {1}{2}}3$

$={\frac {3}{2}}3^{n+1}-{\frac {1}{2}}3$

$={\frac {1}{2}}(3*3^{n+1}-3)={\frac {1}{2}}(3^{n+2}-3)$ .

qed