Benutzer:Shogun/Blochoszillationen

Bewegungsgleichungen

In diesem semiklassischen Modell wird angenommen, dass der Bandindex $n$ erhalten bleibt, d.h. Bandübergänge sind nicht erlaubt. Die Bewegungsgleichunen für ein Elektron lauten dann:

${\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v} _{n}(\mathbf {k} )={\frac {\partial \epsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial \hbar \mathbf {k} }}$

$\hbar {\dot {\mathbf {k} }}=-e\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)-{\frac {e}{c}}\mathbf {v} _{n}(\mathbf {k} )\wedge \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)$

Dabei ist $\hbar \mathbf {k}$ der Pseudoimpuls des Elektrons.

Bloch-Oszillationen

Wir benützen als einfachstes Modell den eindimensionalen Fall ohne Magnetfeld. Das Tight-binding-Modell ergibt uns:

$\epsilon _{k}=\epsilon _{0}-2\cos(ka)$

(Das Matrixelemtent wurde zu 1 gesetzt). Ohne angelegtes Magnetfeld lautet die zweite Bewegungsgleichung:

$\hbar {\dot {k}}=-eE$

Daraus ergibt sich (Integrationskonstante wird o.B.d.A. zu Null gesetzt):

$k=-{\frac {eE}{\hbar }}t$

Dieses Resultat kann man in die erste Bewegungsgleichung einsetzen:

${\dot {x}}={\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial \hbar k}}={\frac {\partial }{\partial \hbar k}}{\bigg (}\epsilon _{0}-2\cos(ka){\bigg )}=-{\frac {2a}{\hbar }}\sin(ka)=-{\frac {2a}{\hbar }}\sin {\bigg (}-{\frac {aeE}{\hbar }}t{\bigg )}$

Daraus folgt (wieder wird die Integrationskonstante auf Null gesetzt):

$x(t)={\frac {2}{eE}}\cos {\bigg (}-{\frac {aeE}{\hbar }}t{\bigg )}={\frac {2}{eE}}\cos {\bigg (}{\frac {aeE}{\hbar }}t{\bigg )}$

Weil der Cosinus eine symmetrische Funktion ist, kann man das Minuszeichen in der Klammer drin weglassen.

Wir schliessen aus dieser halbklassische Beschreibung, dass die Elektronen in einem Band oszillieren können - dies ist auch experimentell beobachtbar, allerdings nur unter ganz speziellen Bedingungen.