Benutzer:Shogun/Quasifreie Elektronen

Ein periodisches Potential kann man als Fourierreihe schreiben:

$V(𝐫)=\sum _{m}V({𝐆}_m)\exp (i{𝐆}_m\cdot 𝐫)$

Ebenso lässt sich eine Blochfunktion (welche auch periodisch ist) als Fourierreihe schreiben:

$u(𝐫)=\sum _{m}u({𝐆}_m)\exp (i{𝐆}_m\cdot 𝐫)$

Setzt man diese Fourierreihen in die Blochgleichung ein, so bekommt man:

$(\frac{{\hslash }^2}{2m}(𝐤+{𝐆}_n{)}^2-ϵ(𝐤))u({𝐆}_n)+\sum _{m}V({𝐆}_n-{𝐆}_m)u({𝐆}_m)=0$

In einer ersten Approximation nimmt man die Energie eines freien Elektrons an:

$ϵ(𝐤)=\frac{{\hslash }^2{𝐤}^2}{2m}$

Wir betrachten auch nur die nullte Fourierkomponente ($m=0$)und nehmen an, $u(0)=1$. Dann folgt:

$u({𝐆}_n)\approx -\frac{V({𝐆}_n)}{\frac{{\hslash }^2}{2m}[(𝐤+{𝐆}_n{)}^2-k^2]}$

Da wir eine bessere Näherung als nur die nullte Ordnung erreichen wollen, wird nun folgendes getan:

1. Setze ${𝐆}_n=\mathrm{𝟎}$ und ${𝐆}_n={𝐆}_1$

2. Setze ${𝐆}_n={𝐆}_1$ und ${𝐆}_n=\mathrm{𝟎}$

Daraus ergeben sich folgende zwei Gleichungen:

$\{\begin{array}{c}(\frac{{\hslash }^2}{2m}{k}^2-ϵ(𝐤))u(\mathrm{𝟎})+V(-{𝐆}_1)u({𝐆}_1)=0\\ (\frac{{\hslash }^2}{2m}(𝐤+{𝐆}_1{)}^2-ϵ(𝐤))u({𝐆}_1)+V({𝐆}_1)u(\mathrm{𝟎})=0\end{array}$

Wegen $V(-{𝐆}_1)=V^{\ast }({𝐆}_1)$ kann man das Gleichungssystem wie folgt schreiben:

$\left(\begin{array}{cc}\frac{{\hslash }^2}{2m}{k}^2-ϵ(𝐤)& V^{\ast }({𝐆}_1)\\ V({𝐆}_1)& \frac{{\hslash }^2}{2m}(𝐤+{𝐆}_1{)}^2-ϵ(𝐤)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u(\mathrm{𝟎})\\ u({𝐆}_1)\end{array}\right)=\mathrm{𝟎}$

Wir können nun noch $(𝐤+{𝐆}_1{)}^2$ mit $k^2$ ersetzen. Für eine nichttriviale Lösung dieses Systems kann man die Determinante gleich Null setzten:

$\left|\begin{array}{cc}\frac{{\hslash }^2}{2m}{k}^2-ϵ(𝐤)& V^{\ast }({𝐆}_1)\\ V({𝐆}_1)& \frac{{\hslash }^2}{2m}{k}^2-ϵ(𝐤)\end{array}\right|=0$

Die Lösung dieses Systems ist (Übungsaufgabe!)

<math>\epsilon(\mathbf{k}) = \frac{\hbar^2 \mathbf{k}^2}{2m} \pm |V(\mathbf{G}_1)|