Allgemeine quadratische Funktionen [ Bearbeiten ] Definition. Eine Funktion der Form
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
mit
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
quadratische Funktion .
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist
f
(
x
)
=
a
⋅
(
x
−
x
s
)
2
+
y
s
,
{\displaystyle f(x)=a\cdot (x-x_{s})^{2}+y_{s},}
wobei es sich bei
S
=
(
x
s
|
y
s
)
{\displaystyle S=(x_{s}|y_{s})}
Die Scheitelpunktform kann durch Ausmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich in die Standardform umgeformt werden.
Es ergibt sich:
b
=
−
2
a
x
s
,
{\displaystyle b=-2ax_{s},}
c
=
a
x
s
2
+
y
s
.
{\displaystyle c=ax_{s}^{2}+y_{s}.}
Umgekehrt ist:
x
s
=
−
b
2
a
,
{\displaystyle x_{s}=-{\frac {b}{2a}},}
y
s
=
c
−
a
x
s
2
=
c
−
b
2
4
a
.
{\displaystyle y_{s}=c-ax_{s}^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}
Bei
x
s
{\displaystyle x_{s}}
x
s
=
x
1
+
x
2
2
.
{\displaystyle x_{s}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}.}
Gegeben ist
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
,
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}
g
(
x
)
=
m
x
+
n
{\displaystyle g(x)=mx+n}
mit
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
Aufgabe: Bestimme
L
=
{
x
∣
f
(
x
)
=
g
(
x
)
}
.
{\displaystyle L=\{x\mid f(x)=g(x)\}.}
Lösung: Äquivalenzumformung führt auf die quadratische Gleichung
0
=
a
x
2
+
(
b
−
m
)
+
c
−
n
.
{\displaystyle 0=ax^{2}+(b-m)+c-n.}
Berechnet wird die Diskriminante:
D
=
(
b
−
m
)
2
−
4
(
c
−
n
)
a
.
{\displaystyle D=(b-m)^{2}-4(c-n)a.}
D >0
D =0
D <0
Die Gerade ist eine Sekante der Parabel, d. h. sie schneidet die Parabel in zwei Punkten. Die Stellen sind:
x
1
=
−
b
−
D
2
a
,
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}},}
x
2
=
−
b
+
D
2
a
.
{\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}.}
Die Gerade ist eine Tangente der Parabel, d. h. sie berührt die Parabel an einem Punkt. Die Stelle ist:
x
1
=
x
2
=
−
b
2
a
.
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}.}
Die Gerade ist eine Passante der Parabel, d. h. es gibt keine gemeinsame Schnittmenge.
Ungestauchte Parabel durch zwei Punkte [ Bearbeiten ] Aufgabe: Der Graph der Funktion
f
(
x
)
=
x
2
+
p
x
+
q
{\displaystyle f(x)=x^{2}+px+q}
(
x
1
|
y
1
)
{\displaystyle (x_{1}|y_{1})}
(
x
2
|
y
2
)
{\displaystyle (x_{2}|y_{2})}
Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem
für
p
,
q
{\displaystyle p,q}
|
x
1
p
+
q
=
y
1
−
x
1
2
x
2
p
+
q
=
y
2
−
x
2
2
|
.
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}p+q=y_{1}-x_{1}^{2}\\x_{2}p+q=y_{2}-x_{2}^{2}\end{vmatrix}}.}
Die Lösungen sind:
p
=
(
y
2
−
y
1
)
−
(
x
2
2
−
x
1
2
)
x
2
−
x
1
,
q
=
(
y
1
−
x
1
2
)
x
2
−
(
y
2
−
x
2
2
)
x
1
x
2
−
x
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {(y_{2}-y_{1})-(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})}{x_{2}-x_{1}}},\\q&={\frac {(y_{1}-x_{1}^{2})\,x_{2}-(y_{2}-x_{2}^{2})\,x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.\end{aligned}}}
Parabel durch drei Punkte [ Bearbeiten ] Aufgabe: Der Graph der Funktion
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
(
x
1
|
y
1
)
,
(
x
2
|
y
2
)
{\displaystyle (x_{1}|y_{1}),(x_{2}|y_{2})}
(
x
3
|
y
3
)
{\displaystyle (x_{3}|y_{3})}
Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem
für
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
|
x
1
2
a
+
x
1
b
+
c
=
y
1
x
2
2
a
+
x
2
b
+
c
=
y
2
x
3
2
a
+
x
3
b
+
c
=
y
3
|
.
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}^{2}a+x_{1}b+c=y_{1}\\x_{2}^{2}a+x_{2}b+c=y_{2}\\x_{3}^{2}a+x_{3}b+c=y_{3}\end{vmatrix}}.}
Alternative Lösung: Berechnet wird zunächst
f
(
x
)
=
a
2
⋅
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
+
a
1
⋅
(
x
−
x
1
)
+
y
1
{\displaystyle f(x)=a_{2}\cdot (x-x_{1})(x-x_{2})+a_{1}\cdot (x-x_{1})+y_{1}}
mit
a
1
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
{\displaystyle a_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}
und
a
2
=
1
x
3
−
x
2
(
y
3
−
y
1
x
3
−
x
1
−
a
1
)
.
{\displaystyle a_{2}={\frac {1}{x_{3}-x_{2}}}\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-a_{1}\right).}
Ausmultiplizieren und ein Koeffizientenvergleich bringt die Lösung. Es ergibt sich:
a
=
a
2
,
b
=
a
1
−
a
2
⋅
(
x
1
+
x
2
)
,
c
=
y
1
−
a
1
x
1
+
a
2
x
1
x
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=a_{2},\\b&=a_{1}-a_{2}\cdot (x_{1}+x_{2}),\\c&=y_{1}-a_{1}x_{1}+a_{2}x_{1}x_{2}.\end{aligned}}}
Proportionale Funktionen [ Bearbeiten ] Die Graphen von proportionalen Funktionen sind Geraden, welche immer durch den Koordinatenursprung verlaufen. Abgebildet sind
f
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle f(x)=2x}
g
(
x
)
=
1
2
x
{\displaystyle g(x)={\tfrac {1}{2}}x}
h
(
x
)
=
−
1
4
x
{\displaystyle h(x)=-{\tfrac {1}{4}}x}
Definition. Proportionale Funktion.
Eine Funktion der Form
f
(
x
)
=
m
⋅
x
{\displaystyle f(x)=m\cdot x}
m
{\displaystyle m}
Definition. Affine Funktion.
Eine Funktion der Form
f
(
x
)
=
m
⋅
x
+
n
{\displaystyle f(x)=m\cdot x+n}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
Im Fall
m
≠
0
{\displaystyle m\neq 0}
Der Graph einer affinen Funktion ist eine Gerade.
Gerade durch zwei Punkte [ Bearbeiten ] Aufgabe. Bestimmt werden soll die affine Funktion, deren Graph durch die beiden unterschiedlichen Punkte
P
1
=
(
x
1
|
y
1
)
{\displaystyle P_{1}=(x_{1}|y_{1})}
P
2
=
(
x
2
|
y
2
)
{\displaystyle P_{2}=(x_{2}|y_{2})}
Ansatz: Für
f
(
x
)
=
m
x
+
n
{\displaystyle f(x)=mx+n}
n
{\displaystyle n}
y
2
−
y
1
=
f
(
x
2
)
−
f
(
x
1
)
=
m
x
2
−
m
x
1
{\displaystyle y_{2}-y_{1}=f(x_{2})-f(x_{1})=mx_{2}-mx_{1}}
eliminieren. Die Gleichung wird nach
m
{\displaystyle m}
Lösung: Anstieg:
m
=
Δ
y
Δ
x
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
.
{\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}
Ordinatenabschnitt:
n
=
y
1
−
m
x
1
.
{\displaystyle n=y_{1}-mx_{1}.}
Die Lösung kann auch direkt angegeben werden:
f
(
x
)
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
(
x
−
x
1
)
+
y
1
.
{\displaystyle f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})+y_{1}.}
Gerade mit Anstieg verläuft durch einen Punkt [ Bearbeiten ] Aufgabe. Bestimmt werden soll die affine Funktion mit Anstieg
m
{\displaystyle m}
P
=
(
x
1
|
y
1
)
{\displaystyle P=(x_{1}|y_{1})}
Lösung: Es ergibt sich die Funktion:
f
(
x
)
=
m
⋅
(
x
−
x
1
)
+
y
1
=
m
x
+
(
y
1
−
m
x
1
)
.
{\displaystyle f(x)=m\cdot (x-x_{1})+y_{1}=mx+(y_{1}-mx_{1}).}
