Benutzer:WissensDürster/Trendfunktion

Hier entsteht ein kleines Beispiel zu linearen und quadratischen Trendfunktionen. Es ist anwendungsbezogen, speziell an Studenten der Wirtschaftswissenschaften gerichtet.

Ökonomische Kennziffern sind Werte, die zu bestimmten Zeiten empirische gemessen wurden und mit diesen Zeitpunkten Wertepaare bilden. Im einfachsten Fall ist der zeitliche Abstand konstant, z.B. ein Jahr. Diese Wertepaare können wir in das uns bekannte kartesische Koordinatensystem einzeichnen. Durch diese Visualisierung fällt uns meist schon auf, dass die Punkte irgendeiner Regel zu folgen scheinen. Diese Regel könnte eine Zuordnungvorschrift sein, eine Funktion, die wir so aufstellen wollen, dass sie den gemessenen Verlauf möglichst gut wiedergibt (approximiert), um dann evtl. den (nahen) zuünftigen Verlauf abschätzen zu können.

Das ist sowohl Aufgabe der q:Analysis in der Mathematik, als auch der deskriptiven Statistik.

Beispielaufgabe

Gegeben seien folgende Werte:

Jahr	2005	2006	2007	2008	2009
Wert	155	163	174	193	225

Wir benutzen hier die Methode der kleinsten Quadrate.

Zunächst ein paar Zahlen, die wir benötigen.

Jahr	2005	2006	2007	2008	2009	Summe
$y_{i}$	155	163	174	193	225	910
$x_{i}$	-2	-1	0	1	2	0
$x_{i}^{2}$	4	1	0	1	4	10
$x_{i}^{3}$	-8	-1	0	1	8	0
$x_{i}^{4}$	16	1	0	1	16	34
$x_{i}\cdot y_{i}$	-310	-163	0	193	450	170
$x_{i}^{2}\cdot y_{i}$	1620	163	0	193	900	1876

xi erhalten wir nach Umbasierung der Jahre, wir verwenden das "mittlere" Jahr als Basisjahr. So erhalten wir aus dem Wertepaare (2007;174) das Paar (0;174). Es wird sich zeigen, dass diese Basiswahl die Rechnung entscheidend vereinfacht.

Die $x_{i}$ ergeben sich als Abweichung vom Mittelwert unserer Messzeitpunkte (das Jahr 2007). Dies ist hier besonders einfach, da wir eine ungerade Anzahl haben (5), d.h. wir müssen lediglich nach rechts und links gehend Eins abziehen oder hinzu addieren. Anschließend brauchen wir noch die Potenzen 2, 3 und 4 der $x_{i}$.

Was wir von diesen Zahlen wirklich brauchen, sind die Summen (die ganz rechts in der Tabelle stehen).

• Bemerkung zur Schreibweise von Summenzeichen:

Wir wollen hier verkürzend für die Summe $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}$ schreiben: $[x]$ (x in eckigen Klammern).

Lineare Trendfunktion

Aus der Schule kennen wir lineare Funktionen, in allgemeiner Schreibweise: $y=m\cdot x+n$ (m ist Anstieg; n Schnittpunkt mit der y-Achse)

Genauso soll unsere lineare Trendfunktion aussehen, wir beschriften: $y(t)=a_{0}+a_{1}\cdot t$

Die beiden Parameter $a_{0}$ und $a_{1}$ werden bestimmt, indem man folgendes Lineares Gleichungssystem (LGS) löst.

(Es ist in Vektorschreibweise geschrieben, das kennen manche vielleicht in der Form $A\cdot {\vec {x}}={\vec {b}}$

${\begin{pmatrix}[n]&\lbrack x\rbrack \\x&x^{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{i}\\x_{i}\cdot y_{i}\end{pmatrix}}$

Hierin ist n die Anzahl unserer Messpaare (also der Jahre). Die x in Klammern jeweils die Summen über alle $x_{i}$ in der jeweiligen Potenz.

Die Zahlen aus unserem Beispiel eingesetzt ergeben:

${\begin{pmatrix}5&0\\0&10\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}910\\170\end{pmatrix}}$

Man kann sofort entnehmen, dass $5\cdot a_{0}=910$ sind, d.h. ${\underline {a_{0}=182}}$. Entsprechend ergibt sich ${\underline {a_{1}zu17}}$.

Damit lautet unsere lineare Trendfunktion: ${\underline {\underline {y(t)_{linear}=182+17\cdot t}}}$

Quadratische Trendfunktion

Ähnlich können wir eine quadratische Trendfunktion der Form berechnen.

Das LGS das wir zu lösen haben, sieht wie folgt aus:

${\begin{pmatrix}[n]&\lbrack x\rbrack &x^{2}\\x&x^{2}&x^{3}\\x^{2}&x^{3}&x^{4}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{i}\\x_{i}\cdot y_{i}\\x_{i}^{2}\cdot y_{i}\end{pmatrix}}$ wird bei uns zu ${\begin{pmatrix}5&0&10\\0&10&0\\10&0&34\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}910\\170\\1876\end{pmatrix}}$

Hier kann man zunächst entnehmen: ${\underline {a_{1}=17}}$, und ${\underline {a_{0}=174}}$, sowie ${\underline {a_{2}=4}}$

Die quadratische Trendfunktion lautet also: ${\underline {\underline {y(t)_{quadratisch}=174+17\cdot t+4\cdot t^{2}}}}$

Vergleich der Trendfunktionen – Gütemaß

Wir konnten sowohl eine lineare als auch eine quadratische Trendfunktion für unsere Wertepaare bestimmen. Aber welche ist nun besser geeignet den Verlauf wiederzugeben?

Wir berechnen die Werte für die angegebenen Jahre mittels unserer Funktionen.

Jahr	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Wert	155	163	174	193	225
y(t)_{linear}	148	165	182	199	225	233
y(t)_{quadratisch}	156	161	174	195	224	261

Man erahnt schon, dass die quadratische Funktion weniger von unseren Messwerten abweicht.

Es wäre gut, wenn wir ein Maß hätten, dass uns sagt, wie "gut" unsere Funktion den Verlauf approximiert. Wir bilden zunächst das Quadrat der Abweichungen.

Siehe auch q:Schätzfunktion, q:Korrigierte Stichprobenvarianz

Jahr	2005	2006	2007	2008	2009	$\sum$
Wert	155	163	174	193	225
$(y(t)_{linear}-y_{i})^{2}$	7^2	2^2	8^2	6^2	9^2	234
$(y(t)_{quadratisch}-y_{i})^{2}$	1^2	1^2	0^2	2^2	1^2	10

Wir erhalten die Summe der quadratischen Abweichungen für die lineare Funktion zu 234 und für die quadratische zu 10. Die quadratische Funktion scheint also besser zu sein. Problematisch ist nur, dass die berechneten Werte relativ zum Maßstab der gemessenen Werte sind. (Man versuche die Rechnung nachzustellen, wenn die Werte alle um eine Dezimalstelle verschoben wären.)

Ein unabhängiges Maß zum Gütevergleich von Trendfunktionen, ist das Bestimmtheitsmaß.

Wir rechnen: ${\frac {Q_{linear}}{[y]}}={\frac {[(y(t)_{linear}-y_{i})^{2}]}{[y]}}={\frac {234}{168744}}=1,3867\cdot 10^{-3}$

${\frac {Q_{quadratisch}}{[y]}}={\frac {[(y(t)_{quadratisch}-y_{i})^{2}]}{[y]}}={\frac {10}{168744}}=5,9261\cdot 10^{-5}$

Die quadratische Funktion ist also etwa um den Faktor 100 genauer, als die lineare.

Ähnliche Aufgabe zum selber rechnen

Für eine ökonomische Kennziffer sind folgende Werte gegeben.

Jahr	2005	2006	2007	2008	2009
Wert	390	760	1000	1140	1210

Man ermittle eine lineare und eine quadratische Trendfunktion, berechne die Werte der beiden Trendfunktionen für die angegebenen Jahre sowie einen Prognosewert für das Jahr 2010. (Nutze: Methode der kleinsten Quadrate)

Tipp: Wieder sind 5 Jahresmessungen gegeben. Die Potenzen von $x_{i}$ sehen dann genauso aus, wie oben.

Siehe auch

• Regressionsanalyse